ערוואַרטע ווערט פון נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג

ערוואַרטע ווערט פון נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג

די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, אויך באַקאַנט ווי די גאַוסישע פאַרשפּרייטונג, איז איינע פון ​​די מערסט פונדאַמענטאַלע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען אין סטאַטיסטיק און ווערט אָפט גענוצט אין פֿאַרשידענע וויסנשאַפֿטלעכע פֿעלדער, אַרייַנגערעכנט עקאָנאָמיק, פּסיכאָלאָגיע, פֿיזיק און ביאָלאָגיע. איינער פון די שליסל קאָנצעפּטן אין דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג איז דער ערוואַרטעטער ווערט (דורכשניט), וואָס איז אַ צענטראַלער פּאַראַמעטער וואָס באַשרײַבט די אָרט פֿון דעם צענטער פֿון דער פאַרשפּרייטונג. דער אַרטיקל וועט אויספֿירלעך דיסקוטירן דעם ערוואַרטעטן ווערט פֿון דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג, אַרייַנגערעכנט איר דעפֿיניציע, אייגנשאַפֿטן און אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער.

1. פֿאַרשטיין נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג

די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז אַ קאָנטינויִערלעכע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג וואָס איז גלאָק-פאָרעם און סימעטריש אַרום דעם דורכשניט. מאַטעמאַטיש, קען די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג אויסגעדריקט ווערן דורך די פאלגענדע וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע (pdf):

[f(x | μ, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} \exp (-\frac{(x – μ)^2}{2\sigma^2} רעכטס)]

וואו:
– \(x \) איז אַ צופֿעליקע וועריאַבל.
– \( \mu \) איז דער ערוואַרטעטער ווערט אָדער דורכשניט פֿון דער פֿאַרטיילונג.
– \( \sigma \) איז די סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון דער פאַרשפּרייטונג.
– \( \sigma^2 \) איז די וואַריאַנס פון דער פאַרשפּרייטונג.

די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג האט צוויי הויפּט פּאַראַמעטערס: דער דורכשניט (\(\mu\)) און די סטאַנדאַרט דיווייישאַן (\(\sigma\)). דער דורכשניט באַשטימט דעם צענטער פון דער פאַרשפּרייטונג, בשעת די סטאַנדאַרט דיווייישאַן באַשטימט די ברייט אָדער פאַרשפּרייטונג פון דער פאַרשפּרייטונג.

2. ערוואַרטעטער ווערט (דורכשניט)

דער ערוואַרטעטער ווערט, אויך באַקאַנט ווי די ערוואַרטונג, פון אַ וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג איז די בעסטע שאַץ פון דעם צענטער פון דער פאַרשפּרייטונג, ספּעציעל אין דעם קאָנטעקסט פון אַ נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג. דער ערוואַרטעטער ווערט פון אַ צופֿעליקער וועריאַבל (X) וואָס איז נאָרמאַלערהייט פאַרשפּרייט מיט אַ דורכשניט (μu) און אַ וואַריאַנס (ρυ²) איז (μu).

פארמאל, דער ערווארטעטער ווערט פון א קאנטינעווער צופעליגער וועריאַבל \(X \) מיט א ווארשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע \(f \) איז דעפינירט אלס:

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx \]

פֿאַר אַ נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג, מיינט דאָס אַז דער דורכשניטלעכער אָדער ערוואַרטעטער ווערט (\(\mu\)) איז דער פּונקט וואו די פֿאַרטיילונג־קורווע איז אין איר העכסטן פּונקט און וואו די פֿאַרטיילונג איז סימעטריש.

3. אייגנשאפטן פון ערווארטעטן ווערט

עס זענען דא עטלעכע וויכטיגע אייגנשאפטן פון דעם ערווארטעטן ווערט אין דער נארמאלער פארטיילונג וואס זענען נוצלעך פאר א טיפערן פארשטאנד און פראקטישע אנווענדונג:

1. סימעטריע:
די נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג האָט אַ פּערפֿעקטע סימעטריע אַרום דעם דורכשניט \(\mu\). דאָס מיינט אַז האַלב פֿון די דאַטן ליגט לינקס פֿונעם דורכשניט און די אַנדערע האַלב ליגט רעכטס פֿונעם דורכשניט.

2. דורכשניט ווי ערוואַרטעטער ווערט:
אין אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג, איז דער דורכשניט (\(\mu\)) אויך דער ערוואַרטעטער ווערט, וואָס שפּיגלט אָפּ דעם דורכשניט פֿון אַלע מעגלעכע ווערטן וואָס אַ צופֿעליקע וואַריאַבל קען נעמען.

3. לינעאַרע פאַקטאָר גאַנצע צאָלן:
אויב \(X \) איז אַ צופֿעליקע וועריאַבל מיט אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג \(N(\mu, \sigma^2) \), און \(a \) און \(b \) זענען קאָנסטאַנטע נומערן, דעמאָלט איז דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון דער לינעאַרער צופֿעליקער וועריאַבל \(Y = aX + b \) \(E[Y] = aE[X] + b \). פֿאַר אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג, גיט דאָס \(E[Y] = a\mu + b \).

4. צולייגן צופֿעליקע וועריאַבלען:
אויב \(X_1 \) און \(X_2 \) זענען צוויי אומאפהענגיקע צופעליקע וועריאַבלען וואָס זענען ביידע נאָרמאַל פאַרטיילט, דעמאָלט איז די סומע \(X = X_1 + X_2 \) אויך נאָרמאַל פאַרטיילט מיט אַ דורכשניט \(\mu_X = \mu_1 + \mu_2 \) און וואַריאַנס \(\sigma_X^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 \).

4. אנווענדונג פון ערווארטעטן ווערט אין נארמאלער פארטיילונג

דער ערוואַרטעטער ווערט אין אַ נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג האט פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס אין דער פאַקטישער וועלט, אַרייַנגערעכנט די פֿאָלגנדיקע:

1. פינאַנץ:
אין פינאַנציעלער אַנאַליז, ווערט ערוואַרטעטער ווערט גענוצט צו אָפּשאַצן די צוריקקער פון אַן אינוועסטמענט פּאָרטפעל. למשל, אויב די צוריקקער אויף אַן אַסעט גייט נאָך אַ נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג, קען מען נוצן דעם דורכשניט פון יענער פאַרשפּרייטונג צו באַשרייבן די ערוואַרטעטע דורכשניטלעכע צוריקקער.

2. פאַרזיכערונג:
פארזיכערונג קאָמפּאַניעס נוצן ערוואַרטעטע ווערט צו אָפּשאַצן צוקונפֿטיקע פאָדערונגען באַזירט אויף היסטאָרישע דאַטן. די פאַרשפּרייטונג פון די פאָדערונגען ווערט אָפט אנגענומען צו נאָכפאָלגן אַ נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג.

3. קוואַליטעט און פּראָדוקציע פּראָצעס:
אין דער מאַנופאַקטורינג אינדוסטריע, ניצט קוואַליטעט קאָנטראָל אָפט די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג צו מאָדעלירן די וואַריאַציע פון ​​​​​​דעם פּראָדוקציע פּראָצעס און באַשטימען צי אַ פּראָצעס לויפט גוט אָדער צי עס זענען פּראָדוקציע חסרונות.

4. פּסיכאָלאָגיע און בילדונג:
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ווערט גענוצט צו באַשרײַבן די פאַרשפּרייטונג פון טעסט סקאָרס אין בילדונגס- און פּסיכאָלאָגישע מעסטונגען. עס העלפֿט סטאַנדאַרדיזירן אַסעסמאַנץ און פֿאַרשטיין די פאַרשפּרייטונג פון פֿעיִקייטן צווישן פּאָפּולאַציעס.

5. קעסימפולאַן

ערוואַרטעטער ווערט איז אַ קריטישער באַגריף אין דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג. אַלס אַ מאָס פֿון דער צענטראַליטעט פֿון אַ פאַרשפּרייטונג, גיט דער ערוואַרטעטער ווערט אַן איבערבליק איבער דעם דורכשניט פֿון דאַטן וואָס ווערן גענערירט דורך אַ צופֿעליקן פּראָצעס. אין דער רעאַלער וועלט ווערן ערוואַרטעטע ווערטן גענוצט אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון פֿעלדער פֿאַר באַשלוס-מאכן און דאַטן-אַנאַליז. די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, מיט אירע סימעטרישע אייגנשאַפֿטן דעפֿינירט דורך דעם ערוואַרטעטן ווערט און סטאַנדאַרט-דעוויִאַציע, גיט אַ העכסט אינטואיטיוו און גרינג-צו-אימפּלעמענטירן וואַרשיינלעכקייט מאָדעל.

דורך פֿאַרשטיין דעם ערוואַרטעטן ווערט אין אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג, קענען מיר בעסער אַנאַליזירן דאַטן, מאַכן פאָרויסזאָגן און מאַכן מער אינפאָרמירטע באַשלוסן אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון געשעפֿטלעכע, וויסנשאַפֿטלעכע און געזעלשאַפֿטלעכע קאָנטעקסטן.