קלענסטע קוואַדראַטן מעטאָד

קלענסטע קוואדראטן מעטאד: הקדמה און אנווענדונג אין דאטן אנאליז

הקדמה

די קלענסטע קוואדראטן מעטאד איז איינע פון ​​די מערסט פונדאַמענטאַלע און ברייט גענוצטע טעכניקן אין דאַטן אַנאַליז, ספּעציעל אין סטאַטיסטיק און אַפּליקירטע מאַטעמאַטיק. די מעטאד האט די ציל צו אָפּשאַצן פּאַראַמעטערס וואָס מינימיזירן די סומע פון ​​די קוואַדראַטן פון די באמערקטע אָפּנייגונגען פון אַ פארגעשלאגענעם מאָדעל. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר אויספאָרשן די גרונטלעכע קאָנצעפּטן פון דער קלענסטע קוואַדראַטן מעטאד, אירע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פעלדער, און פּראַקטישע טריט פֿאַר איר דורכפירונג.

גרונטלעכע קאנצעפטן פון דער קלענסטער קוואדראטן מעטאד

די קלענסטע קוואדראטן מעטאָדע קען פשוט דערקלערט ווערן דורך לינעאַרע רעגרעסיע. לאָמיר זאָגן מיר האָבן דאַטן אין דער פֿאָרעם פֿון פּאָרן (x_i, y_i)), וואו i = 1, 2, …, n. דאָס לינעאַרע מאָדעל וואָס מיר ווילן בויען קען אויסגעדריקט ווערן ווי:
[y = β₁ + β₁x + β₂]
וואו β₀ און β₁ זענען די פּאַראַמעטערס וואָס מיר ווילן אָפּשאַצן, בשעת β₀ איז דער טעות אָדער רעזידועל וואָס מען ערוואַרטעט זאָל האָבן אַ דורכשניט פון נול.

די ציל פון דער קלענסטער קוואַדראַטן מעטאָדע איז צו מינימיזירן די פאלגענדע אָביעקטיוו פונקציע:
[ S(β₀, β₁) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – β₀ – β₁ x_i)^2 \]

געפינען אָפּטימאַלע פּאַראַמעטערס: אַ מאַטעמאַטישער צוגאַנג

כדי צו געפֿינען די פּאַראַמעטער ווערטן וואָס מינימיזירן די אָביעקטיוו פֿונקציע S, דאַרפֿן מיר רעכענען די פּאַרציעלע דעריוואַטיוון פֿון S אין באַצוג צו β₀ און β₁, און דערנאָך סאָלווען די פֿאָלגנדיקע גלייכונג:

[\frac{\partial S}{\partial \beta_0} = -2 \sum_{i=1}^n (y_i – \beta_0 – \beta_1 x_i) = 0 \]
[\frac{\partial S}{\partial \beta_1} = -2 \sum_{i=1}^n x_i (y_i – \beta_0 – \beta_1 x_i) = 0 \]

דורך לייזן דעם סיסטעם פון לינעארע גלייכונגען, קענען מיר געפינען די עסטימאַטאָרן \(\hat{\beta_0}\) און \(\hat{\beta_1}\):
[\hat{\beta_1} = \frac{n \sum_{i=1}^n x_i y_i – \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n y_i}{n \sum_{i=1}^n x_i^2 – (\sum_{i=1}^n x_i)^2} \]
[\hat{\beta_0} = \bar{y} – \hat{\beta_1} \bar{x} \]

וואו \(\bar{y}\) און \(\bar{x}\) זענען די דורכשניטן פון \(y\) און \(x\) בהתאמה.

אַפּליקאַציע פון ​​קלענסטע קוואַדראַטן מעטאָד

1. עקאָנאָמיק און פינאַנץ

די מעטאָדע פון ​​קלענסטע קוואַדראַטן ווערט ברייט גענוצט אין עקאָנאָמעטריקס צו מאָדעלירן באַציִונגען צווישן עקאָנאָמישע וועריאַבלען. למשל, אַן עקאָנאָמישער אַנאַליסט קען וועלן מאָדעלירן דעם עפֿעקט פֿון דער אַרבעטסלאָזיקייט ראַטע אויף אינפֿלאַציע. ניצנדיק די מעטאָדע פון ​​קלענסטע קוואַדראַטן, קען דער אַנאַליסט אַנטוויקלען אַ רעגרעסיע מאָדעל וואָס פֿאַרבינדט די צוויי וועריאַבלען און מאַכט סטאַטיסטישע מסקנות וועגן דער שטאַרקייט און נאַטור פֿון דער באַציִונג.

2. סאציאלע וויסנשאפטן

אין די סאציאלע וויסנשאפטן, ווערט די מעטאד פון קלענסטע קוואדראטן אפט גענוצט אין אנקעטעס און פסיכאלאגישע פארשונג צו שטודירן די באציאונג צווישן מענטשלעכן אויפפירונג און אנדערע וועריאַבלען. א קלאסישער ביישפיל איז א פשוטע לינעארע רעגרעסיע וואס פארבינדט א מענטש'ס גליק-לעוועל מיט זייער יערלעכן איינקונפט.

3. אינזשעניריע

אין אינזשעניריע, קען מען ניצן די קלענסטע קוואדראטן מעטאד פאר אינסטרומענט קאליבראציע און סיגנאל פראצעסירונג. למשל, אין דיגיטאלער בילד פראצעסירונג, ווערט די מעטאד געניצט צו רעדוצירן ראַש אין בילדער דורך צופּאַסן א מאָדעל באַזירט אויף באַאָבאַכטע דאַטן.

4. מעטעאָראָלאָגיע און קלימאַטאָלאָגיע

מעטעאָראָלאָגן ניצן דעם אופֿן צו אַנאַליזירן דאַטן פֿאַרבונדן מיט טעמפּעראַטור, רעגן, אָדער אַנדערע וועטער וועריאַבאַלן. מיט רעגרעסיע מאָדעלן קענען זיי פֿאָרויסזאָגן וועטער מוסטערן באַזירט אויף היסטאָרישע דאַטן, וואָס העלפֿט צו שאַפֿן מער גענויע פֿאָרויסזאָגן.

פּראַקטישע אימפּלעמענטאַציע מיט פּיטהאָן

כדי צו אימפלעמענטירן די קלענסטע קוואדראטן מעטאד אין פראקטיק, ספעציעל פשוטע לינעארע רעגרעסיע, קענען מיר ניצן די פּיטהאן פראגראמירן שפראך מיט דער הילף פון די `numpy` און `matplotlib` לייברעריס. דא איז א קאוד ביישפיל וואס אילוסטרירט דעם פראצעס:

"פּיטהאָן
אַרייַנפיר נומפּי ווי נפּ
אַרייַנפיר מאַטפּלאָטליב.פּיפּלאָט ווי פּלט

מוסטער דאַטן
x = np.אַרעי([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 5, 7, 11])

דורכשניט פון x און y
מיטל_x = נישט קיין מיטל(x)
מיטל_י = נישט.מיין(י)

רעכענען פּאַראַמעטערס
ציילער = np.sum((x – mean_x) (y – mean_y))
נענער = np.sum((x – mean_x) 2)
b1 = ציילער / נענער
b0 = מיטל_y – b1 מיטל_x

פאָרויסזאָגן י
y_pred = b0 + b1 x

רעזולטאַטן פון דעם פּלאַן
plt.scatter(x, y, color='blue', label='אָבסערוואַציע דאַטן')
plt.plot(x, y_pred, color='red', label='רעגרעסיע ליניע')
פּלט.קסלייבל('קס')
פּלט.ילעיבל('י')
plt.legend()
plt.show ()

דרוק(f”רעגרעסיע קאָעפֿיציענטן: b0 = {b0}, b1 = {b1}”)
““

קעסימפּולאַן

די מעטאָדע פון ​​קלענסטע קוואַדראַטן איז אַ שטאַרקע און וויכטיקע יסוד אין סטאַטיסטיק און דאַטן אַנאַליז. איר פיייקייט צו מינימיזירן ערראָרס און מאַקסאַמיזירן מאָדעל פּאַסיק מאכט עס גאָר נוצלעך אין אַ ברייט קייט פון פעלדער, פון עקאָנאָמיק ביז אינזשעניריע און די סאציאלע וויסנשאפטן. כאָטש די גרונט קאָנצעפּט איז פּשוט, קען די מעטאָדע ווערן פארברייטערט צו מער קאָמפּליצירטע מאָדעלן ווי ניט-לינעאַרע רעגרעסיע, געמישט-עפעקטן מאָדעלן, און מאַשין לערנען. מיט אַ גוט פארשטאנד פון די מעטאָדע פון ​​קלענסטע קוואַדראַטן און גענוג פּראַקטיק, קענען מיר פֿאַרבעסערן די אַקיעראַסי פון אונדזער דאַטן אַנאַליז און מאַכן מער אינפאָרמירטע באַשלוסן.

האָפֿנטלעך גיט דער אַרטיקל אַ קלאָרן און פֿולשטענדיקן איבערבליק פֿון דער קלענסטער קוואַדראַטן מעטאָדע און אירע אַפּליקאַציעס.