אויסרעכענען טרייענגל שטח: א טיפע אנווייזונג
טרייענגלעך זענען צווישן די פשוטסטע און מערסט פונדאַמענטאַלע פֿאָרמען אין געאמעטריע, אָבער רעכענען זייער שטח קען פאָרשטעלן אַ פאַרשיידנקייט פון אינטערעסאַנטע טשאַלאַנדזשיז. מיט אַפּליקאַציעס וואָס גייען פון גרונטלעכע מאַטעמאַטיק ביז אַוואַנסירטע אינזשעניריע, קען פֿאַרשטיין ווי צו רעכענען די שטח פון אַ טרייענגלעך זיין גאָר נוצלעך. דער אַרטיקל וועט זיך פֿאַרטיפֿן אין קייפל מעטאָדן פון געפֿינען די שטח פון פֿאַרשידענע טיפּן טרייענגלעך, ווײַזנדיק ביידע קלאַסישע און ינאָוואַטיווע צוגאַנגען. צי איר זענט אַ תּלמיד, אַ פּראָפעסיאָנאַל, אָדער אַ מאַטעמאַטיק ענטוזיאַסט, דער גייד האט די ציל צו צושטעלן אײַך מיט אַ קאָמפּרעהענסיוו פֿאַרשטאַנד פון דעם וויכטיקן טעמע.
פֿאָרמולע יסודות: באַזע און הייך
די גרינגסטע מעטאָדע צו רעכענען די שטח פון אַ דרייַעק איז דורך ניצן די באַזע-הייך פאָרמולע:
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \times \text{באַזע} \times \text{הייך} \]
די פֿאָרמולע איז אָנווענדלעך צו אַלע טיפּן טרייענגלעך, צוגעשטעלט אַז איר ווייסט די לענג פֿון דער באַזע און די פּערפּענדיקולאַרע הייך (הייך) פֿון דער באַזע ביזן פאַרקערטן שפּיץ.
בייַשפּיל:
באַטראַכט אַ דרייַעק מיט אַ באַזע פון 8 איינהייטן און אַ הייך פון 5 איינהייטן. די שטח וואָלט אויסגערעכנט ווערן ווי פאלגנד:
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \, \text{קוואַדראַט איינהייטן} \]
העראָנס פֿאָרמולע
העראָנס פֿאָרמולע איז באַזונדערס נוצלעך ווען מען ווייסט די לענג פֿון אַלע דריי זײַטן פֿונעם דרייַעק אָבער נישט די הייך. די מעטאָדע פֿאָדערט אויסרעכענען דעם האַלב-פּערימעטער פֿונעם דרייַעק, וואָס איז האַלב פֿונעם פּערימעטער.
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
שטח = s(s – a)(s – b)(s – c)]
וואו \(a\), \(b\), און \(c\) זענען די לענג פון די זייטן.
בייַשפּיל:
פֿאַר אַ דרייַעק מיט זייטן 5, 6, און 7 איינהייטן:
\[s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \]
\[ \text{שטח} = \sqrt{9 (9 – 5)(9 – 6)(9 – 7)} \]
\[ \text{שטח} = \sqrt{9 \מאל 4 \מאל 3 \מאל 2} \]
שטח = 216 קוואדראט־איינהייטן, בערך 14.7
ניצן טריגאָנאָמעטרי
אין געוויסע סצענאַרן, קען מען וויסן צוויי זייטן פון אַ דרייַעק און דעם איינגעשלאָסענעם ווינקל (דער ווינקל צווישן די צוויי זייטן). אין אַזעלכע פאַלן, קען מען אויסרעכענען די שטח מיט דער פאלגענדער טריגאָנאָמעטרישער פאָרמולע:
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \]
וואו \(a\) און \(b\) זענען די זייטן, און \(C\) איז דער אריינגערעכנטער ווינקל.
בייַשפּיל:
אויב אַ דרייַעק האָט זייטן פֿון 7 און 9 איינהייטן, מיט אַן איינגעשלאָסענעם ווינקל פֿון 30°:
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \times 7 \times 9 \sin(30^\circ) \]
שטח = 1/2 × 7 × 9 × 0.5
\[ \text{שטח} = 15.75 \, \text{קוואַדראַט איינהייטן} \]
קאָאָרדינאַטע געאָמעטרי
נאך א מעטאד צו געפינען די שטח פון א דרייעק, ספעציעל נוצלעך אין אנאליטישע געאמעטריע, איז צו וויסן די קאארדינאטן פון אירע שפיץ-פונקטן. די שטח קען אויסגערעכנט ווערן מיט דער דעטערמינאנט-פארמל:
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right| \]
וואו \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), און \((x_3, y_3)\) זענען די קאארדינאטן פון די עקן.
בייַשפּיל:
אויב די שפּיץ־פּונקטן פֿון אַ דרייַעק זענען ביי (1, 2), (4, 6), און (7, 4):
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \left| 1(6 – 4) + 4(4 – 2) + 7(2 – 6) \right| \]
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \left| 1(2) + 4(2) + 7(-4) \right| \]
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \left| 2 + 8 – 28 \right| \]
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \left| -18 \right| \]
\[ \text{שטח} = 9 \, \text{קוואַדראַט איינהייטן} \]
ספּעציעלע קאַסעס
עקווילאַטעראַל טריאַנגלע
פֿאַר אַן גלייכזײַטיקן דרייַעק, וואו אַלע דריי זײַטן זענען גלייך, קען מען אויסרעכענען די שטח מיט דער פֿאָרמל:
שטח = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
וואו \(a\) איז די לענג פון א זייט.
בייַשפּיל:
פֿאַר אַן גלייכזײַטיקן דרייַעק מיט זײַטן פֿון לענג 6 אײנהייטן:
שטח = ¾² = µm²
שטח = ¾ (³/³/³/³)
\[ \text{שטח} = 9 \sqrt{3} \approx 15.59 \, \text{קוואַדראַט איינהייטן} \]
רעכט טריאַנגלע
אין אַ רעכטן דרייַעק, קען מען גרינג אויסרעכענען די שטח, ווײַל די באַזע און הייך פּאַסן צו די צוויי פֿיס פֿונעם דרייַעק:
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \times \text{leg}_1 \times \text{leg}_2 \]
בייַשפּיל:
פֿאַר אַ רעכטן דרייַעק מיט פֿיס פֿון 3 און 4 איינהייטן:
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \, \text{קוואַדראַט איינהייטן} \]
סאָף
מען קען אויסרעכענען די שטח פון א דרייעק מיט פארשידענע טעכניקן, יעדע פאסיג פאר פארשידענע סעטס פון געגעבענער אינפארמאציע. פון דער קלאסישער באזע-הייך פארמל ביז העראן'ס פארמל און מעטאדן וואס שליסן איין טריגאנאָמעטריע און קאארדינאט געאמעטריע, די אפציעס זענען פיל. פארשטיין די מעטאדן נישט נאר פארשטארקט דעם פארשטאנד פון געאמעטרישע פרינציפן, נאר גיט אויך פראקטישע מכשירים פארן לייזן פראבלעמען אין דער רעאליטעט. צי איר פלאנט לאנד, דיזיינט א סטרוקטור, אדער פשוט פארנומט זיך מיט רעקרעאציאנעלער מאטעמאטיק, די טעכניקן זענען אומפארמיידלעך. באוואפנט מיט דעם וויסן, זענט איר יעצט גוט צוגעגרייט צו באהאנדלען פראבלעמען וואס שליסן איין דרייעק שטחים מיט בטחון און פּינקטלעכקייט.
