פֿאַרשטיין דעם אָנהייב פֿון קאָמפּלעקסע נומערן
די וועלט פון מאטעמאטיק ווערט אויפגעפילט מיט קאנצעפטן וואס, אויף דער אויבערפלאך, שיינען אבסטראקט און קעגן-אינטואיטיוו, נאר כדי זיך צו אנטפלעקן אלס טיף עלעגאנטע און עיקר ראמען פארן פארשטיין די וועלט. איין אזא קאנצעפט איז דער פון קאמפלעקסע נומערן. די נומערן, וואס שליסן איין סיי א רעאלן טייל און סיי אן אימאגינערן טייל, קענען אנפאנגס אויסזען אזאטעריש. אבער, זיי האבן טיפע ווארצלען אין דער געשיכטע פון מאטעמאטיק און שפילן קריטישע ראלן אין געביטן אזוי פארשידענארטיג ווי אינזשעניריע, פיזיק, און סיגנאל פארארבעטונג. כדי צו אפשאצן זייער באדייטונג, איז עס וויכטיג צו נאכפאלגן זייערע ווארצלען און פארשטיין זייער אנטוויקלונג.
די אָנהייב פֿון אויסגעטראַכטע נומערן
די געשיכטע פון קאָמפּלעקסע נומערן הייבט זיך אָן מיט דער קוואַדראַטישער גלייכונג. פֿון אוראלטע צייטן האָבן מאַטעמאַטיקער געלייזט גלייכונגען פֿון דער פֿאָרעם \(x^2 + bx + c = 0\). אָבער, לייזונגען וואָס האָבן צו טאָן מיט די קוואַדראַט וואָרצלען פֿון נעגאַטיווע נומערן בלייבן שווער צו פֿאַרשטיין און פֿאַרפּלעקסן. למשל, דער אַלטגריכישער מאַטעמאַטיקער דיאָפאַנטוס האָט באַמערקט לייזונגען וואָס האָבן צו טאָן מיט נעגאַטיווע קוואַדראַט וואָרצלען אָבער האָט זיי אָפּגעוואָרפֿן ווי נישט מעגלעך. ענלעך, אַרום דער זעלבער צייט, האָבן מאַטעמאַטיקער אין אינדיע און כינע אויסגעפֿאָרשט פּאָלינאָמיאַלע גלייכונגען, און געפֿונען די נעגאַטיווע וואָרצלען פּראָבלעמאַטיש.
ערשט אין 16טן יאָרהונדערט האָט דער איטאַליענישער מאַטעמאַטיקער דזשעראָלאַמאָ קאַרדאַנאָ געמאַכט אַ באַמערקנסווערטן פֿאָרשריט. אין זײַן וויכטיקן ווערק "אַרס מאַגנאַ" (1545), האָט קאַרדאַנאָ פֿאָרגעשטעלט אַ פֿאָרמולע פֿאַר סאָלווען קובישע גלייכונגען. בשעת ער האָט געאַרבעט אויף די גלייכונגען, האָט ער זיך באַגעגנט מיט קוואַדראַטוואָרצלען פֿון נעגאַטיווע נומערן. כאָטש ער האָט זיך געצווייפֿלט צו אָננעמען די לייזונגען פֿולשטענדיק, האָט ער זיי נישט אָפּגעוואָרפֿן גלייך. אַנשטאָט, האָט ער באַמערקט זייער עקזיסטענץ און אַפֿילו מאַניפּולירט זיי אַלגעברעיש, און אַזוי געלייגט דעם יסוד פֿאַר שפּעטערע מאַטעמאַטיקער צו אויספֿאָרשן די "אימאַדזשינערישע" נומערן מער ערנסט.
אַנטוויקלונג אין די 17טע און 18סטע יאָרהונדערטער
דער טערמין "אימאַדזשינערי" איז אויסגעטראַכט געוואָרן דורך רענע דעקאַרט אין 1637, אָנהייב געמיינט ווי אַ פּעדזשאָראַטיוו טערמין צו באַשרײַבן די לכאורה אויסגעטראַכטע קוואַנטיטעטן. אָבער, דער טערמין איז געבליבן און ביסלעכווײַז פאַרלאָרן זײַן באַליידיקנדיקע קאָנאָטאַציע. דערווײַל, האָט זיך פֿאָרגעזעצט ווען מאַטעמאַטיקער ווי ראַפאַעל באָמבעלי האָבן אָנגעהויבן שטרענג דעפינירן און אַרבעטן מיט די נומערן.
באָמבעליס אַרבעט איז געווען קריטיש. אין זיין בוך אַלגעברע (1572), האָט באָמבעלי באַשריבן כּללים פֿאַר מאַניפּולירן אימאַגינערע נומערן. ער האָט דעמאָנסטרירט ווי צו צולייגן, אַראָפּרעכענען, און אפילו טאפלען די נומערן, אין עסענץ אַנטוויקלנדיק אַ פאָרלייפיקע אַלגעברע פֿאַר קאָמפּלעקסע נומערן. באָמבעליס אַרבעט איז געווען קריטיש אין מאַכן דעם באַגריף פון אימאַגינערע נומערן מער פּאַסיק פֿאַר דער מאַטעמאַטישער קהילה.
די אקצעפטאציע און פארמאלע פארשטענדעניש פון קאמפלעקסע נומערן האט באקומען א באדייטנדיקן שטופּ אין 18טן יארהונדערט דורך די ביישטייערונגען פון מאטעמאטיקער ווי לעאנהארד איילער און קארל פרידריך גאוס. איילער איז געווען אינסטרומענטאל אין רעפרעזענטירן קאמפלעקסע נומערן אין דער פארעם פון עקספאנענטן. ער האט איינגעפירט די נאטאציע \(i\) פאר דער קוואדראט ווארצל פון -1 און האט אויפגעשטעלט די בארימטע איילער'ס פארמל \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\), באלויכטנדיק א טיפע פארבינדונג צווישן טריגאנאָמעטריע און קאמפלעקסע עקספאנענטיאציע.
די פּיאָנירישע אַרבעט פֿון גאַוס
כאָטש איילער האָט געלייגט דעם יסוד, איז עס געווען גאַוס וואָס האָט צוגעשטעלט דעם שטרענגן יסוד פֿאַר קאָמפּלעקסע נומערן. אין די פריע 19טע יאָרהונדערט, האָט גאַוס באַוויזן דעם יסודותדיקן טעאָרעם פֿון אַלגעברע, וואָס זאָגט אַז יעדע נישט-קאָנסטאַנטע פּאָלינאָם גלייכונג האָט כאָטש איין קאָמפּלעקסע וואָרצל. דער טעאָרעם האָט אונטערגעשטראָכן די פֿולשטענדיקייט פֿון קאָמפּלעקסע נומערן אין סאָלווען פּאָלינאָם גלייכונגען און פֿעסטיקט זייער אָרט אין מאַטעמאַטישער טעאָריע.
גאוס האט אויך איינגעפירט די געאמעטרישע אינטערפּרעטאַציע פון קאָמפּלעקסע נומערן. ער האט רעפּרעזענטירט קאָמפּלעקסע נומערן ווי פונקטן אין אַ פלאַך, איצט באַקאַנט ווי די קאָמפּלעקסע פלאַך אָדער אַרגאַנד פלאַך (גערופן נאָך זשאַן-ראָבערט אַרגאַנד וואָס האָט עס אויך זעלבשטענדיק באַשריבן). אַ קאָמפּלעקסע נומער _(a + bi_) קען ווערן וויזואַליזירט ווי אַ פונקט מיט קאָאָרדינאַטן (a, b), וואו _(a_) איז דער רעאַלער טייל און _(b_) איז דער אימאַגינערי טייל. די געאמעטרישע רעפּרעזענטאַציע האט צוגעשטעלט אַן אינטואיטיוו מיטל צו פֿאַרשטיין קאָמפּלעקסע נומער אָפּעראַציעס, אַזאַ ווי אַדיציע, סובטראַקציע און מאַלטיפּליקאַציע.
קאָמפּלעקסע נומערן אין דער מאָדערנער תקופה
מיט די יסודות געלייגט דורך איילער און גאוס, זענען קאָמפּלעקסע נומערן געוואָרן אַן אינטעגראַלער טייל פון מאַטעמאַטיק און געפֿונען אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע וויסנשאַפֿטלעכע פֿעלדער. אין פֿיזיק, באַזונדערס אין עלעקטראָמאַגנעטיזם און קוואַנטום מעכאַניק, זענען קאָמפּלעקסע נומערן נייטיק. למשל, די כוואַליע פֿונקציע אין קוואַנטום מעכאַניק ווערט באַשריבן מיט קאָמפּלעקסע נומערן, וואָס ערמעגליכט די רעכענונג פֿון וואַרשיינלעכקייטן און די באַשרײַבונג פֿון כוואַליע אייגנשאַפֿטן אין פּאַרטיקלען.
אין אינזשעניריע, ספּעציעל אין עלעקטרישער אינזשעניריע, ווערן קאָמפּלעקסע נומערן גענוצט צו אנאליזירן וועקסלשטראָם קרייזן. אינזשענירן נוצן דעם באַגריף פון פאַסאָרן, וואָס זענען קאָמפּלעקסע נומערן וואָס רעפּרעזענטירן סינוסאָידאַלע פונקציעס, צו פאַרפּשוטערן און סאָלווען דיפערענציאַל גלייכונגען וואָס רעגירן קרייז נאַטור. די צוגאַנג איז יסודותדיק אין פּלאַנירן און פֿאַרשטיין סיסטעמען ווי ראַדיאָס, טעלעוויזיעס און מאַכט גרידס.
דערצו, אין סיגנאַל פּראַסעסינג, ווערן קאָמפּלעקסע נומערן גענוצט אין פוריער אַנאַליז - אַ מאַטעמאַטישע טעכניק וואָס צעטיילט פונקציעס אָדער סיגנאַלן אין פרעקווענצן. דאָס איז קריטיש פֿאַר פילע טעכנאָלאָגיעס, אַרייַנגערעכנט אַודיאָ און בילד קאַמפּרעסיע אַלגערידאַמז ווי MP3s און JPEGs.
א ווייטערדיגע רייזע
די רייזע פון קאָמפּלעקסע נומערן פון אַ מאָדנע מאַטעמאַטישע מאָדנעקייט צו אַ ווינקלשטיין פון מאָדערנער וויסנשאַפֿט און אינזשעניריע איז אַ עדות צו דער מאַכט פון אַבסטראַקט טראכטן. וואָס האָט זיך אָנגעהויבן ווי אַ פּרוּוו צו סאָלווען לכאורה אוממעגלעכע גלייכונגען האָט געפֿירט צו דער אַנטוויקלונג פון אַ מאַטעמאַטישן ראַם מיט ווייטגרייכנדיקע אימפּליקאַציעס.
היינט, די שטודיע פון קאָמפּלעקסע נומערן פאָרזעצט צו אַנטוויקלען זיך, און באַאיינפלוסן געביטן ווי כאַאָס טעאָריע, פליסיק דינאַמיק און נומער טעאָריע. די אויספאָרשונג פון זייערע אייגנשאַפטן גיט איינבליקן נישט בלויז אין מאַטעמאַטישע דערשיינונגען, נאָר אויך אין די נאַטירלעכע און אינזשענירטע וועלטן. קאָמפּלעקסע נומערן דערמאָנען אונדז אַז די יאָג נאָך וויסן הייבט זיך אָפט אָן מיטן אַרומנעמען דאָס אומבאַקאַנטע און פרעגן דאָס אוממעגלעכע.
אין עיקר, דער אָנהייב און אַנטוויקלונג פון קאָמפּלעקסע נומערן זענען סימבאָליש פֿאַר דער ברייטערער רייזע פון מאַטעמאַטישן געדאַנק. פֿון די שוועריקייטן פון אַלטע מאַטעמאַטיקער וואָס קאָנפראָנטירן נעגאַטיווע וואָרצלען ביז די ריזיקע אינטעלעקטן פון איילער און גאַוס וואָס האָבן זיי דעמיסטיפיצירט, ווײַזן קאָמפּלעקסע נומערן ווי אַבסטראַקטע געדאַנקען קענען פירן צו טיפֿע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. דורך פֿאַרשטיין זייערע אָנהייב, אָפּשאַצן מיר דעם שפּרונג פֿון דעם "ימאַדזשינערישן" צום אויסערגעוויינטלעכן אין ביידע טעאָריע און פּראַקטיק.
