סאָלווינג סימולטאַנישע גלייכונגען

סאָלווינג סימולטאַנישע גלייכונגען

גלייכצייטיגע גלייכונגען, אויך באקאנט אלס סיסטעמען פון גלייכונגען, זענען סעטס פון גלייכונגען מיט קייפל וועריאַבלען. די גלייכונגען ווערן גערופן גלייכצייטיגע ווייל זיי ווערן געלייזט צוזאמען, דאס מיינט אז די לייזונג מוז באפרידיקן אלע גלייכונגען אין דער זעלבער צייט. לייזן גלייכצייטיגע גלייכונגען איז א יסודות'דיגע סקיל אין מאטעמאטיק וואס געפינט אנווענדונגען אין פארשידענע פעלדער ווי פיזיק, עקאנאמיק, אינזשעניריע, און קאמפיוטער וויסנשאפט. דער ארטיקל האט די ציל צו געבן אן אויספירלעכן איבערבליק פון מעטאדן וואס ווערן געווענליך גענוצט צו לייזן גלייכצייטיגע גלייכונגען.

יקערדיק קאַנסעפּס

איידער מען גייט אריין אין די מעטאָדן פון לייזן סימולטאַנישע גלייכונגען, איז עס וויכטיג צו פֿאַרשטיין עטלעכע יסודותדיקע טערמינאָלאָגיע און קאָנצעפּטן.

– וועריאַבלען: סימבאָלן וואָס רעפּרעזענטירן אומבאַקאַנטע ווערטן, געוויינטלעך באַצייכנט מיט אותיות ווי x, y, און z.
– לינעאַרע גלייכונגען: גלייכונגען אין וועלכע וועריאַבלען ווערן אויפגעהויבן צו דער מאַכט פון איינס און דערשייַנען אין אַ לינעאַרער פאָרעם (למשל, \(2x + 3y = 6\)).
– נישט-לינעאַרע גלייכונגען: גלייכונגען וואָס אַרייַננעמען וועריאַבאַלן אויפגעהויבן צו אַנדערע כוחות ווי איינס, אַרייַנגערעכנט פּראָדוקטן פון וועריאַבאַלן, טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס, אאז"וו (למשל, \(x^2 + y^2 = 9\)).
– סיסטעמען פון גלייכונגען: סעטס פון צוויי אדער מער גלייכונגען וואָס טיילן דעם זעלבן סעט פון וועריאַבאַלן.

לאָמיר באַטראַכטן אַ נאָרמאַל בייַשפּיל פון אַ סיסטעם פון לינעאַרע גלייכונגען:

\[
\begin{ קאַסעס}
2x + 3y = 6
4x – י = 5
\ענד{ קאַסעס}
\]

די לייזונג צו דעם סיסטעם איז יעדע פּאָר \((x, y)\) וואָס באַפרידיקט ביידע גלייכונגען סיימאַלטייניאַסלי.

מעטאָדן פֿאַר סאָלווינג סימולטאַנישע גלייכונגען

1. גראַפֿישע מעטאָדע

די גראַפֿישע מעטאָדע באַשטייט פֿון אויסשטעלן יעדע גלייכונג אויף אַ קאָאָרדינאַט גריד און אידענטיפֿיצירן די פּונקטן וואו די גראַפֿן זיך דורכשניידן. די דורכשניט פּונקטן רעפּרעזענטירן לייזונגען צו דער סיסטעם פֿון גלייכונגען.

טריט:
1. קאָנווערטיר יעדע גלייכונג צו דער פאָרעם \(y = mx + c \) וואו \(m \) איז די שיפּוע און \(c \) איז דער y-אינטערסעפּט.
2. צייכנט די ליניעס רעפּרעזענטירט דורך די גלייכונגען אויף אַ גראַפיק.
3. געפינט די דורכשניט-פונקטן פון די ליניעס.

בייַשפּיל:
באַטראַכט די סיסטעם פון גלייכונגען:
\[
\begin{ קאַסעס}
2x + 3y = 6
4x – י = 5
\ענד{ קאַסעס}
\]

קאָנווערטירן די צו סלאָופּ-אינטערסעפּט פאָרעם:
\[
\begin{ קאַסעס}
y = -\frac{2}{3}x + 2 \\
י = 4x – 5
\ענד{ קאַסעס}
\]

צייכנט די ליניעס אויף א גראף צו געפינען דעם דורכשניט פונקט וואס רעפרעזענטירט די לייזונג. אין דעם ביישפיל, איז די לייזונג \((x, y) = (1.5, 1)\).

2. סאַבסטיטוציע מעטאָד

די סובסטיטוציע מעטאָדע באַשטייט פון סאָלווען איינע פון ​​די גלייכונגען פֿאַר איין וועריאַבל און סובסטיטוטירן יענעם אויסדרוק אין די אַנדערע גלייכונג.

טריט:
1. לייזט אויס איינע פון ​​די גלייכונגען פאר איין וועריאַבל.
2. שטעל אריין דעם אויסדרוק אין דער אנדערער גלייכונג, וואס רעזולטירט אין איין גלייכונג מיט איין וועריאַבל.
3. לייזט די גלייכונג מיט איין וועריאַבאַל.
4. לייג צוריק אריין דעם באקומענעם ווערט אין דעם אויסדרוק געפונען אין שריט 1 כדי צו באקומען דעם ווערט פון דער צווייטער וואריאבל.

בייַשפּיל:
באַטראַכט די סיסטעם:
\[
\begin{ קאַסעס}
2x + 3y = 6
4x – י = 5
\ענד{ קאַסעס}
\]

לייזט אויס די ערשטע גלייכונג פאר \(y \):
\[
y = 2 – \frac{2}{3}x
\]

שטעלט אריין דעם אויסדרוק אין דער צווייטער גלייכונג:
\[
4x – (2 – \frac{2}{3}x) = 5
\]

פאַרפּשוטערן און לייזן אויס פֿאַר \(x \):
\[
4x – 2 + \frac{2}{3}x = 5 \\
\frac{14x}{3} = 7 \\
x = \frac{3}{2}
\]

שטעלט צוריק אריין (x = \frac{3}{2}) אין (y = 2 – \frac{2}{3}x):
\[
y = 2 – \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 2 – 1 = 1
\]

אזוי, די לייזונג איז ((x, y) = (3/2, 1)).

3. עלימינאַציע מעטאָד

די עלימינאציע מעטאד באשטייט פון צולייגן אדער אפנעמען גלייכונגען צו עלימינירן איין וועריאבל, מאכנדיג עס מעגליך צו לייזן פאר די פארבליבענע וועריאבל.

טריט:
1. טאפלען איין אדער ביידע גלייכונגען מיט א קאנסטאנט אזוי אז די קאעפיציענטן פון איינע פון ​​די וועריאַבלען זענען פארקערט.
2. צולייגן אדער אַראָפּרעכענען די גלייכונגען צו עלימינירן איין וועריאַבל.
3. לייזט אויס די רעזולטירנדיקע גלייכונג פאר די איבעריגע וועריאַבלען.
4. שטעל אריין דעם ווערט אין איינע פון ​​די ארגינעלע גלייכונגען צו געפינען דעם ווערט פון דער עלימינירטער וועריאַבל.

בייַשפּיל:
באַטראַכט די סיסטעם:
\[
\begin{ קאַסעס}
2x + 3y = 6
4x – י = 5
\ענד{ קאַסעס}
\]

טאפלט די צווייטע גלייכונג מיט 3:
\[
4x – y = 5
12x – 3י = 15
\]

לייג צו די מאדיפיצירטע צווייטע גלייכונג צו דער ערשטער גלייכונג:
\[
2x + 3y + 12x – 3y = 6 + 15 \\
14x = 21
x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
\]

שטעלט איין \( x = \frac{3}{2} \) אין איינע פון ​​די ארגינעלע גלייכונגען:
\[
2 (3/2) + 3y = 6
3 + 3y = 6 \\
3y = 3 \\
י = 1
\]

אזוי, די לייזונג איז (\left(x, y) = \left(\frac{3}{2, 1)).

4. מאַטריץ מעטאָד (גאַוסישע עלימינאַציע און אינווערס)

פֿאַר גרעסערע סיסטעמען, קענען מאַטריץ מעטאָדן ווי גאַוסישע עלימינאַציע אָדער ניצן די מאַטריץ ינווערס זיין מער עפֿעקטיוו.

גאַוסישע עלימינאַציע:
1. שרייב די סיסטעם ווי אַן אַרויפֿגענומענע מאַטריץ.
2. ניצט ריי אפעראציעס צו פארוואנדלען די מאטריץ צו ריי עטשעלאן פארעם.
3. צוריק-פארטרעטן צו געפינען די לייזונג.

בייַשפּיל:
די סיסטעם:
\[
\begin{ קאַסעס}
2x + 3y = 6
4x – י = 5
\ענד{ קאַסעס}
\]

פארגרעסערטע מאַטריץ:
\[
\begin{pmatrix}
2 און 3 און | און 6 \\
4 און -1 און | און 5
\ענד{פּמאַטריץ}
\]

רודערן אפעראציעס צו רודערן עטשעלאן פארעם:
1. \( R2 \leftarrow R2 – 2R1 \):
\[
\begin{pmatrix}
2 און 3 און | און 6 \\
0 און -7 און | און -7
\ענד{פּמאַטריץ}
\]

צוריק-ערזאַץ:
\[
-7y = -7 \implices y = 1 \\
2x + 3(1) = 6 \implices 2x =