גרונטלעכע טריגאָנאָמעטריע פֿאַר אָנפֿענגער

# גרונטלעכע טריגאָנאָמעטריע פֿאַר אָנפֿענגער

טריגאָנאָמעטריע, אָפּגעשטאַמט פֿון די גריכישע ווערטער "טריגאָנאָן" (וואָס מיינט דרייַעק) און "מעטראָן" (וואָס מיינט מאָס), איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס פֿאָרשט אויס די באַציִונגען צווישן די ווינקלען און זייטן פֿון דרייַעקן. הויפּטזעכלעך באַהאַנדלט עס רעכט-ווינקלדיקע דרייַעקן, וואו איין ווינקל איז שטענדיק 90 גראַד. טריגאָנאָמעטריע געפֿינט ברייטע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער, אַרייַנגערעכנט פֿיזיק, אינזשעניריע, אַסטראָנאָמיע, און אַפֿילו אין טעגלעכער פּראָבלעם-לייזונג. אויב איר זענט נײַ אין טריגאָנאָמעטריע, וועט דער אַרטיקל אײַך דורכפֿירן עטלעכע יסודותדיקע קאָנצעפּטן און פֿונקציעס, וואָס איר דאַרפֿט פֿאַרשטיין, כּדי אָנצוהייבן.

די יסודותדיקע קאנצעפטן

### רעכט-ווינקלדיקער דרייעק

א רעכט-ווינקלדיקער דרייעק איז א דרייעק אין וועלכן איינער פון די ווינקלען איז פונקט 90 גראד. די זייט קעגן איבער דעם רעכטן ווינקל ווערט גערופן די היפאטענוז, די לענגסטע זייט אין דעם דרייעק. די אנדערע צוויי זייטן זענען באקאנט אלס די שכנות'דיגע זייט און די קעגן-זייט, אין באצוג צו א געגעבענעם ווינקל.

### ווינקלען און זייער מעסטונג

ווינקלען ווערן טיפּיש געמאָסטן אין גראַדן (°) אדער ראַדיאַנען. איין גאַנצע דריי איז 360°, בשעת אין ראַדיאַנען איז איין גאַנצע דריי \(2\pi\) ראַדיאַנען. פֿאַר פּשוטקייט, אָנהייבן אָנפֿענגער אָפֿט מיט גראַדן.

## גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס

טריגאָנאָמעטריע דרייט זיך אַרום זעקס גרונטלעכע פֿונקציעס. די פֿונקציעס זענען דעפֿינירט באַזירט אויף אַ רעכט-ווינקלדיקן דרייַעק און זענען וויכטיק פֿאַר סאָלווען פֿאַרשידענע פּראָבלעמען.

1. סינוס (sin):
\[
\sin \theta = \frac{\text{אויסגעזעצטער}}{\text{היפּאָטענוזע}}
\]
דער סינוס פון אַ ווינקל איז די פאַרהעלטעניש פון דער לענג פון דער אַנדערער זײַט צו דער היפּאָטענוז.

2. קאָסינוס (קאָס):
\[
\cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}
\]
דער קאָסינוס פֿון אַ ווינקל איז די פּראָפּאָרציע פֿון דער לענג פֿון דער שכנותדיקער זײַט צום היפּאָטענוז.

3. טאַנגענט (טאַן):
\[
טאַן \טהעטאַ = \frac{\text{אויסגעקערט}}{\text{צוגעבונדן}}
\]
דער טאַנגענט פֿון אַ ווינקל איז די פּראָפּאָרציע פֿון דער לענג פֿון דער אַנדערער זײַט צו דער שכנותדיקער זײַט.

4. קאָסעקאַנט (csc):
\[
∫_csc ∫_theta = \frac{1}{\sin ∫_theta} = \frac{\text{היפּאָטענוזע}}{\text{קעגן־געגנט}}
\]
דער קאָסעקאַנט איז די קעגנגעזעצטע פון ​​דער סינוס פונקציע.

5. סעקאַנט (סעק):
\[
√\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\text{היפּאָטענוזע}}{\text{אַדדזשאַסענט}}
\]
דער סעקאַנט איז די קעגנגעזעצטע פונקציאָנירן פון דער קאָסינוס פונקציע.

6. קאָטאַנגענט (קאָט):
\[
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{אַדדזשאַסענט}}{\text{אָפּגעזעצטער}}
\]
די קאָטאַנגענט איז די קעגנגעזעצטע פון ​​דער טאַנגענט פונקציע.

## מענעמאָניקס פֿאַר טריגאָנאָמעטרישע פֿונקציעס

געדענקען די פונקציעס קען זיין שווער אין אנפאנג. א געוויינטלעכע mnemonic גענוצט צו געדענקען די דעפיניציעס פון סינוס, קאסינוס, און טאנגענט איז SOH-CAH-TOA:
– S (סינוס) = פאַרקערט / היפּאָטענוז
– C (קאָסינוס) = צוגעבונדן / היפּאָטענוז
– ט (טאַנגענט) = קעגן איבער / צוגעבונדן

## געוויינטלעכע טריגאָנאָמעטרישע ווערטן

פֿאַר געוויסע נאָרמאַלע ווינקלען, זענען די ווערטן פֿון סינוס, קאָסינוס און טאַנגענט פֿונקציעס באַקאַנט און מעמעריזירט פֿאַר באַקוועמלעכקייט:

– 0° אדער 0 ראַדיאַנען:
– \(\sin 0° = 0\)
– \(\cos 0° = 1\)
– \(\tan 0° = 0\)

– 30° אדער \(\frac{\pi}{6}\) ראַדיאַנען:
– \(\sin 30° = \frac{1}{2}\)
– \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
– \(\טאַן 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

– 45° אדער \(\frac{\pi}{4}\) ראַדיאַנען:
– \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
– \(\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
– \(\tan 45° = 1\)

– 60° אדער \(\frac{\pi}{3}\) ראַדיאַנען:
– \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
– \(\cos 60° = \frac{1}{2}\)
– \(\tan 60° = \sqrt{3}\)

– 90° אדער \(\frac{\pi}{2}\) ראַדיאַנען:
– \(\sin 90° = 1\)
– \(\cos 90° = 0\)
– \(\tan 90° = \text{אומדעפינירט}\)

## טריגאָנאָמעטרישע אידענטיטעטן

טריגאָנאָמעטרישע אידענטיטעטן זענען גלייכונגען וואָס אַרייַננעמען טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס וואָס זענען אמת פֿאַר יעדן ווערט פון די ווינקלען וואָס זענען ינוואַלווד. די אידענטיטעטן זענען נוציקע מכשירים פֿאַר סימפּליפייינג אויסדרוקן און סאָלווינג גלייכונגען. דאָ זענען עטלעכע גרונט אידענטיטעטן:

### פּיטהאַגאָרעאַנישע אידענטיטעטן
די אידענטיטעטן שטאמען פון דעם פיטאגאראס טעארעם.

1. (sin^2 θ + cos^2 θ = 1)
2. \(1 + \ טאַן ^ 2 \ טעטאַ = \ סעק ^ 2 \ טעטאַ \)
3. (1 + √² טהעטאַ = √² טהעטאַ)

### ווינקל סומע און חילוק אידענטיטעטן
די זענען נוצלעך ווען מען ארבעט מיט דער סומע אדער חילוק פון צוויי ווינקלען.

1. \(\sin (א + ב) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
2. \(\sin (א - ב) = \sin א \קאָס ב - \קאָס א \זינט ב\)
3. \(\קאָס (א + ב) = \קאָס א \קאָס ב – \סין א \זינט ב\)
4. \(\קאָס (א - ב) = \קאָס א \קאָס ב + \סין א \סין ב\)

### טאָפּל ווינקל אידענטיטעטן
די אידענטיטעטן אויסדריקן טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס פון טאָפּלטע ווינקלען אין טערמינען פון איין ווינקלען.

1. \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
2. \(\קאָס 2א = \קאָס^2 א – \זינ^2 א\)
3. \(\טאַן 2A = \frac{2 \tan A}{1 – \tan^2 A}\)

## פּראַקטישע אַפּליקאַציעס

טריגאָנאָמעטריע האט פילע פראקטישע אנווענדונגען. למשל:

– נאַוויגאַציע און געאָגראַפֿיע: געניצט אין טריאַנגולירן פּאָזיציעס אויף מאַפּעס און GPS טעכנאָלאָגיע.
– אַרכיטעקטור און אינזשעניריע: עסענציעל אין באַשטימען הייכן, דיסטאַנסן און ווינקלען אין סטרוקטורן.
– פיזיק: קריטיש אין שטודירן כוואַליע מוסטערן, ווייבריישאַנז און אָלטערנייטינג שטראָמען.
– אַסטראָנאָמיע: גענוצט אין קאַלקולירן