קאָמבינאַציע
הקדמה
אין מאטעמאטיק, איז א קאמבינאציע א יסודות'דיגער קאנצעפט גענוצט צו באשטימען די צאל וועגן צו אויסקלויבן א גרופע אביעקטן אן קיין בליק אויף זייער סדר. קאמבינאציעס ווערן אפט גענוצט אין פארשידענע פעלדער פון וויסנשאפט, אריינגערעכנט סטאטיסטיק, ווארשיינליכקייט, און קאמפיוטינג, ווי אויך אין טעגליכן לעבן, ווי למשל סקעדזשולינג, קארטל שפילן, און נאך. דער ארטיקל וועט אויספארשן דעם קאנצעפט פון קאמבינאציעס אין טיפקייט, די פארמולעס גענוצט, און עטליכע פון זייערע פראקטישע אנווענדונגען.
דעפֿיניציע פֿון קאָמבינאַציע
א קאָמבינאַציע איז אַ וועג פון אויסקלייבן אַ צאָל אָביעקטן פֿון אַ סכום אָן קיין באַצוג צו דער סדר אין וועלכער זיי ווערן אויסגעקליבן. אויב עס זענען \(n \) פֿאַרשידענע אָביעקטן און מיר ווילן אויסקלייבן \(r \) אָביעקטן פֿון דער סכום, דאַן קען די קאָמבינאַציע אויסגעדריקט ווערן דורך דער נאָטאַציע \(C(n, r) \) אָדער \( \binom{n}{r} \).
קאָמבינאַציע פאָרמולע
די פֿאָרמולע פֿאַר אויסרעכענען די צאָל קאָמבינאַציעס \( \binom{n}{r} \) איז:
\[ \בינאָם{n}{ר} = \frac{n!}{ר! (nr)!} \]
וואו \(n! \) (לייענט "n פאַקטאָריאַל") איז דער פּראָדוקט פֿון אַלע פּאָזיטיווע גאַנצע צאָלן ביז \(n \). למשל, \(5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 \).
קאָמבינאַציע קאַלקולאַציע בייַשפּיל
לאָמיר זאָגן מיר האָבן 5 פֿאַרשידענע אָביעקטן, און מיר ווילן אויסקלײַבן 3 אָביעקטן פֿון דער גרופּע. אויף וויפֿל אופֿנים קענען מיר דאָס טאָן?
ניצן די קאָמבינאַציע פאָרמולע:
[\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5-3)!} = \frac{5!}{3! ²!} = \frac{120}{6 ²} = 10 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 10 וועגן צו קלייבן 3 אָביעקטן פֿון 5 אָביעקטן אָן צו באַצאָלן אויפֿמערקזאַמקייט צו דער סדר.
קאָמבינאַציעס אין וואַרשיינלעכקייט
קאָמבינאַציעס ווערן אָפט גענוצט אין וואַרשיינלעכקייט צו באַשטימען די וואַרשיינלעכקייט פון אַ געשעעניש. למשל, אין קאַרטן שפּילן, קענען מיר נוצן קאָמבינאַציעס צו רעכענען די וואַרשיינלעכקייט פון באַקומען אַ געוויסע האַנט.
בייַשפּיל 1: קאַרטן שפּיל
לאָמיר זאָגן מיר ווילן אויסרעכענען די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען אַ פּאָר אַסען אין פינף קאַרטן אויסגעטיילט פֿון אַ נאָרמאַלן דעק פֿון 52 קאַרטן. מיר קענען נוצן קאָמבינאַציעס צו אויסרעכענען די גאַנצע צאָל וועגן צו קלייבן פינף קאַרטן פֿון 52 קאַרטן און די צאָל וועגן צו קלייבן צוויי אַסען פֿון פֿיר אַסען.
גאַנץ וועגן צו קלייַבן 5 קאַרטלעך פֿון 52:
[\binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
ווי אזוי אויסצוקלײַבן 2 אסן פֿון 4 אסן:
[\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \]
ווי אזוי אויסצוקלײַבן 3 קאַרטן פֿון די איבעריקע 48 קאַרטן (ווײַל 2 קאַרטן זענען שוין אויסגעקליבן געוואָרן פֿון די 4 אַסן):
[\binom{48}{3} = \frac{48!}{3! \cdot 45!} \]
אַזוי, די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען צוויי אַסעס אין אַ פינף-קאַרט האַנט איז:
[P = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3}}{\binom{52}{5}}]
קאָמבינאַציעס אין סטאַטיסטיק
אין סטאַטיסטיק, ווערן קאָמבינאַציעס גענוצט אין פֿאַרשידענע אַנאַליזן, אַרייַנגערעכנט סאַמפּלינג און היפּאָטעזע טעסטינג. קאָמבינאַציעס העלפֿן באַשטימען די צאָל וועגן צו סעלעקטירן אַ באַזונדער סאַמפּל פֿון אַ פּאָפּולאַציע.
בייַשפּיל 2: סאַמפּלינג
לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ באַפעלקערונג פון 20 מענטשן און מיר ווילן אויסקלייבן אַ מוסטער פון 4 מענטשן. מיר קענען נוצן קאָמבינאַציעס צו באַשטימען די צאָל וועגן צו אויסקלייבן יענעם מוסטער.
[\binom{20}{4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} \]
די נומער גיט וויכטיגע אינפארמאציע אין פארשידענע סטאטיסטישע אנאליזן, ווי למשל אין ווארשיינליכקייט קאלקולאציעס אדער פאראמעטער עסטימאציע.
קאָמבינאַציע און נומער טעאָריע
קאָמבינאַציעס שפּילן אויך אַ וויכטיקע ראָלע אין נומער טעאָריע, ספּעציעל אין דעם קאָנטעקסט פון בינאָמיאַל קאָעפֿיציענטן און אַנדערע מאַטעמאַטישע אידענטיטעטן. למשל, דער בינאָמיאַל טעאָרעם ניצט קאָמבינאַציעס צו אַנטוויקלען אַלגעברײַשע אויסדרוקן.
בינאָמיאַל טעאָרעם
דער בינאמיאל טעארעם זאגט אז:
\[ (רענטגענ + י)^ן = \sum_{ק=0}^{n} \binom{n}{ק} x^{נק} י^ק \]
דאָ, דער בינאָמיאַל קאָעפֿיציענט n/k ווײַזט די צאָל וועגן פֿון אויסקלײַבן k אָביעקטן פֿון n אָביעקטן.
קאָמבינאַציע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיק לעבן
דער באַגריף פֿון קאָמבינאַציעס איז נישט נאָר באַגרענעצט צו טעאָרעטישע מאַטעמאַטיק, נאָר האָט אויך אַ סך פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיקן לעבן.
בייַשפּיל 3: פּלאַן סעטטינגס
לאָמיר זאָגן מיר האָבן 5 אויפֿגאַבעס צו פֿאַרענדיקן אין אַ וואָך, און מיר ווילן אויסקלײַבן 3 צו אַרבעטן מאָנטיק. מיר קענען נוצן קאָמבינאַציעס צו באַשטימען די צאָל וועגן צו אויסקלײַבן 3 אויפֿגאַבעס פֿון די 5.
[5% פֿון 3% = 10]
אַזוי, עס זענען דאָ 10 וועגן צו אָרגאַניזירן דעם פּלאַן.
בייַשפּיל 4: עסן ברירות
לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ מעניו מיט 10 עסן ברירות, און מיר ווילן אויסקלײַבן 4 מאכלים פֿאַר אַ פּאַרטיי. מיר קענען נוצן קאָמבינאַציעס צו באַשטימען די צאָל וועגן צו אויסקלײַבן 4 מאכלים פֿון 10.
[10% פֿון 4% = 210]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 210 וועגן צו קלייבן 4 עסנוואַרג פֿון 10 ברירות.
קעסימפּולאַן
קאָמבינאַציעס זענען אַ וויכטיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק און האָבן ברייטע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט און וואָכעדיק לעבן. דורך פֿאַרשטיין דעם באַגריף פֿון קאָמבינאַציעס און ווי זיי צו רעכענען, קענען מיר גרינגער סאָלווען פֿאַרשידענע פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט אויסקלייבן אָביעקטן אָן קיין באַצוג צו סדר. קאָמבינאַציעס זענען נוצלעך אין וואַרשיינלעכקייט קאַלקולאַציעס, סטאַטיסטישער אַנאַליז, נומער טעאָריע, און אפילו אין אָרגאַניזירן וואָכעדיקע אַקטיוויטעטן. האָפֿנטלעך, האָט דער אַרטיקל געגעבן אַ בעסער פֿאַרשטאַנד פֿון קאָמבינאַציעס און זייער נוצלעכקייט אין פֿאַרשידענע קאָנטעקסטן.
