רימאַן סומע

רימאַן סומע: איינער פון די זיילן פון אינטעגראַל קאַלקולוס

אין מאטעמאטיק, ספעציעל אין אינטעגראל קאלקולוס, שפילט דער קאנצעפט פון דער רימאן סומע אן אינסטרומענטאלע ראלע. איינגעפירט דורך דעם בארימטן דייטשן מאטעמאטיקער בערנהארד רימאן, איז די מעטאד אן עיקר וועג צו דעפינירן די אינטעגראציע פון ​​א פונקציע איבער א געגעבענעם אינטערוואל. פארשטיין די רימאן סומע ערלויבט אונז צו שאצן די שטח אונטער א קורווע, א קריטישע אנווענדונג אין פילע פעלדער פון וויסנשאפט און טעכנאלאגיע, פון פיזיק ביז עקאנאמיק.

כדי צו באַגרייפן די עסענץ פון דער רימאַן סומע, מוזן מיר אויספאָרשן אירע גרונט־עלעמענטן, אַרייַנגערעכנט אינטערוואַל־פּאַרטישאַנינג, באַשטימען עוואַלואַציע־פּונקטן, קאָנסטרויִרן סומעס, און זייער אַפּליקאַציע אין אינטעגראַציע. לאָמיר זיך טיפער אַריינלאָזן אין דעם טעמע.

הקדמה צו גרונטלעכע קאנצעפטן

די רימאַן סומע איז אַן צוגאַנג צו רעכענען דעם באַשטימטן אינטעגראַל פון אַ פונקציע איבער אַ פֿאַרמאַכטן אינטערוואַל \([a, b]\). די מעטאָדע באַשטייט פֿון צעטיילן דעם אינטערוואַל אין קלענערע אונטער-אינטערוואַלן, עוואַלויִרן די פונקציע אין ספּעציפֿישע פּונקטן אין יעדן אונטער-אינטערוואַל, און דערנאָך סאַמען די פּראָדוקטן פֿון די פונקציע ווערטן מיט די לענג פֿון די קאָרעספּאָנדירנדיקע אונטער-אינטערוואַלן.

אינטערוואַל צעטיילונג
דער ערשטער שריט אין דעפינירן די רימאַן סומע איז צו צעטיילן דעם אינטערוואַל \([a, b]\) אין סוב-אינטערוואַלן פון אַ געגעבענער לענג. לאָמיר זאָגן אַז דער אינטערוואַל \([a, b]\) איז צעטיילט אין \(n\) גלייכע טיילן, דעמאָלט:

[Δx = b – a}{n]

יעדער סובאינטערוואַל האט די לענג Δx), און די צעטיילונג פונקטן זענען געוויינטלעך Δx₁, Δx₁, Δx₂, …, Δxₙ), וואו Δx₁ = a), Δx₁ = a + Δx), Δx₂ = a + 2Δx), און אַזוי ווייטער ביז Δx₁ = b).

באַשטימונג פון עוואַלואַציע פונקט
פֿאַר יעדן סובאינטערוואַל \([x_{i-1}, x_i]\), איז נויטיק אַן עוואַלואַציע־פּונקט \(x_i \) וואָס ליגט אין יענעם סובאינטערוואַל. דעם פּונקט קען מען באַשטימען ווי פֿאָלגט:

1. לינקער פונקט: \(x_i^ = x_{i-1}\)
2. רעכטער פונקט: \(x_i^ = x_i\)
3. מיטלפונקט: \(x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}\)
4. צופֿעליקע פּונקטן: יעדער \(x_i \) איז אַ צופֿעליקער פּונקט אין \([x_{i-1}, x_i]\)

די אויסוואַל פון עוואַלואַציע פונקטן קען אַפעקטירן דעם רעזולטאַט פון דער רימאַן סומע, ספּעציעל אויב די פונקציע איז נישט קאָנטינויִערלעך אָדער האט שנעלע וואַריאַציע.

פאָרמאַציע פון ​​סומע
אזוי שנעל ווי די אינטערוואַל פּאַרטישאַנינג און עוואַלואַציע פּונקט באַשטימונג זענען פֿאַרטיק, איז דער ווייַטער שריט צו רעכענען די פֿונקציע ווערט ביי יעדן עוואַלואַציע פּונקט _(f(x_i^)_)_ און טאפלען דעם ווערט מיט די סובאינטערוואַל לענג _(Deltax_). די רימאַן סומע _(R_)_ ווערט דעפינירט ווי:

[R = \sum_{i=1}^nf(x_i^) \Deltax]

ווען די צאָל פון סוב-אינטערוואַלן \(n\) ווערט געוואקסן אָן אַ גרענעץ (\(n \rightarrow \infty\)), ווערט די לענג פון דעם סוב-אינטערוואַל \(Δx\) אומענדלעך קליין און די רימאַן סומע דערנענטערט זיך צום אינטעגראל פון דער פונקציע \(f\) אויף דעם אינטערוואַל \([a, b]\). די גרענעץ נאָטאַציע ווערט געשריבן ווי:

[\int_a^bf(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i^) \Deltax\]

בייַשפּיל אימפּלעמענטאַציע פון ​​רימאַן סאַם

אלס אן אילוסטראציע, לאמיר אנwenden די רימאן סומע צו באשטימען דעם אינטעגראל פון דער פונקציע \(f(x) = x^2\) אויף דעם אינטערוואל \([0, 1]\).

שריט 1: אינטערוואַל פּאַרטישאַן
לאָמיר זאָגן מיר טיילן דעם אינטערוואַל \([0, 1]\) אין \(n\) סוב-אינטערוואַלן פון גלייכער לענג, דעמאָלט איז די לענג פון די סוב-אינטערוואַלן:

[Δx = 1 – 0}{n} = 1}{n}

שריט 2: עוואַלואַציע פונקט
ניצט דעם מיטלפונקט \(x_i \) צו עוואַלויִרן די פונקציע אויף יעדן סובאינטערוואַל \([x_{i-1}, x_i]\):

[x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} = \frac{\left(\frac{i-1}{n}) + \left(\frac{i}{n})}{2} = \frac{2i – 1}{2n}]

שריט 3: אויסרעכענען די סך הכל
דער ווערט פון דער פונקציע \(f(x_i^) = \left(\frac{2i – 1}{2n} \right)^2 = \frac{(2i-1)^2}{4n^2}\), דעמאָלט ווערט די רימאַן סומע:

[ R = \sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i – 1}{2n}\right) \DELTA x = \sum_{i=1}^n \frac{(2i-1)^2}{4n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 \]

מיט ווייטערדיגע עוואַלואַציע, גיט די סומע פון ​​די קוואַדראַטן פון אומגעראַדע נומערן דעם סיגמאַ סימבאָל, וואָס קען ווייטער פאַרפּשוטעט ווערן ביז עס דערגרייכט דעם גרענעץ.

צום סוף, ווי \(n\) גייט צו אומענדלעכקייט, וועט דער ווערט פון דער רימאַן סומע זיך דערנענטערן צום רעזולטאַט פון דעם גענויע אינטעגראל:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \frac{1}{3} \]

און אין דעם אנאליטישן רעזולטאט פונעם אינטעגראל באקומען מיר:

[\int_0^1x^2\, dx = \left[\frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}\]

וואַריאַנטן און אַפּליקאַציעס פון רימאַן סאַמס

חוץ טראדיציאנעלע אינטעגראציע, האט די רימאן סומע אויך אנדערע וועריאציעס, אריינגערעכנט די רימאן-קראנעקער סומע און די רימאן-שטיעלטיעס סומע פאר מעטרישע רוימען און ברייטערע אנווענדונגען אין פונקציאנעלער אנאליז. עס פארמירט אויך די באזע פאר נומערישע מעטאדן ווי די טראפזאיד און סימפסאן מעטאדן גענוצט אין וויסנשאפטלעכער קאמפיוטינג.

קלאָוזינג

רימאַן סומעס שטעלן צו אַ שטאַרקע און פלעקסיבלע מעטאָדע פֿאַר דעפינירן און רעכענען אינטעגראַלן אין אַ פאַרשיידנקייט פון מאַטעמאַטישע קאָנטעקסטן. ווי אַ לערן-געצייג פֿאַר גרונטלעכע אינטעגראַל פּראָבלעמען אין קאַלקולוס, עפֿנט אַ גרונטלעכע פֿאַרשטענדעניש פון דעם באַגריף איינבליקן אין די ברייטערע אַפּליקאַציעס פון אינטעגראַלן אין פאַקטישן לעבן, סיי אין די גענויע וויסנשאַפֿטן און סיי אין סאָציאָ-עקאָנאָמישע געביטן. בערנהאַרד רימאַן האָט נישט נאָר באַרייכערט די מאַטעמאַטישע טעאָריע מיט דעם ענטדעקונג, נאָר אויך געעפֿנט נייע וועגן אין מאָדערנער אינטעגראַל אַנאַליז.