בינאָמיאַל דיסטריביושאַן פונקציע

בינאָמיאַל דיסטריביושאַן פונקציע: פולשטענדיקע דערקלערונג און אַפּליקאַציעס

די בינאמיאלע פארטיילונג איז איינע פון ​​די מערסט גענוצטע דיסקרעטע ווארשיינליכקייט פארטיילונגען אין סטאטיסטיק און ווארשיינליכקייט. די פארטיילונג מאדעלירט די צאל פון הצלחות אין א סעריע פון ​​אידענטישע, אומאפהענגיקע פארזוכן, וואו יעדער פארזוך האט צוויי מעגלעכע רעזולטאטן: הצלחה אדער דורכפאל. אין דעם ארטיקל וועלן מיר אויספארשן די דעפיניציע, פארמולע, אייגנשאפטן, און אנווענדונגען פון דער בינאמיאלע פארטיילונג פונקציע אין טיפקייט.

פֿאַרשטיין בינאָמיאַל פֿאַרשפּרייטונג

די בינאמיאלע פארטיילונג באשרייבט די צאל "הצלחות" אין n אומאפהענגיקע פארזוכן, וואו:

– יעדע פּראָבע ברענגט בלויז צוויי מעגלעכע רעזולטאַטן: הצלחה אָדער דורכפאַל.
– די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אויף יעדן פּראָבע איז p.
– די וואַרשיינלעכקייט פון דורכפאַל איז 1 – פּ.
– יעדע פּראָצעס איז אומאָפּהענגיק פֿון יעדן אַנדערן.

די בינאמיאלע פארטיילונג ווערט באצייכנט אלס B(n, p), וואו n איז די צאל פארזוכן און p איז די ווארשיינליכקייט פון הצלחה אין איין פארזוך.

בינאמיאלע פארטיילונג פארמולע

די בינאמיאלע פארטיילונג ווערט אויסגערעכנט מיט דער פאלגנדער פארמולע:

\[ פּ(קס = ק) = \בינאָם{n}{ק} פּ^ק (1-פּ)^{נק} \]

וואו:
– \( P(X = k) \): די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען פּונקט k סוקסעסן אין n פּראָבעס.
– \( \binom{n}{k} \): קאָמבינאַציע פֿון n אָביעקטן גענומען k.
– \(p \): וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אויף יעדן פּרוּוו.
– \(n \): גאַנץ נומער פון פּראָבעס.
– \(k \): געוואונטשענע צאָל פון סוקסעסן.

די קאָמבינאַציע \(\binom{n}{k}\) ווערט אויסגערעכנט ווי:

\[ \binom{n}{ק} = \frac{n!}{ק!(נק)!} \]

אייגנשאפטן פון דער בינאמיאלער פארטיילונג

1. ערוואַרטונג (מיטל) און וואַריאַנס:
– די ערוואַרטונג אָדער דורכשניט פֿון דער בינאָמיאַלער פֿאַרטיילונג איז \( \mu = np \).
– די וואַריאַנס איז ∫( ∫sigma^2 = np(1-p) ∫).

2. סימעטריע:
– די בינאמיאלע פארטיילונג איז סימעטריש אויב p = 0.5. אויב p ≠ 0.5, ווערט די פארטיילונג גענייגט צו רעכטס (p < 0.5) אדער צו לינקס (p > 0.5).

3. סקעוונעס און קורטאָסיס:
– די סקיוקייט פון דער בינאמיאלער פארטיילונג איז \( \gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}} \).
– קורטאָסיס איז \( \gamma_2 = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)} \).

4. אומגעפערע פארשפרייטונג:
– פֿאַר גרויסע n און p וואָס דערנענטערן זיך צו 0.5, קען מען אַפּראָקסימירן די בינאָמיאַלע פֿאַרטיילונג דורך דער נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג.
– אויב p איז זייער קליין און n איז זייער גרויס אַזוי אַז np בלייבט קאָנסטאַנט, דעמאָלט קען מען אַפּראָקסימירן די בינאָמיאַל פֿאַרטיילונג דורך דער פּואַסאָן פֿאַרטיילונג.

ניצן די בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג

די בינאמיאלע פארטיילונג ווערט גענוצט אין פעלדער ווי ביאלאגיע, עקאנאמיק, מארקעטינג, און אינזשעניריע צו מאדעלירן געשעענישן וואס קענען אויסגעדריקט ווערן אין בינארישע טערמינען (ערפאלג/דורכפאל). דא זענען עטלעכע קאנקרעטע ביישפילן פון איר באנוץ:

פּראָדוקט קוואַליטעט טעסטינג

לאָמיר זאָגן אַז אַ פּאַרטיע פּראָדוקט האָט אַ 2% וואַרשיינלעכקייט צו זיין דעפעקטיוו. אויב מיר טעסטן 50 איינהייטן פון דעם פּראָדוקט, קענען מיר נוצן די בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג צו רעכענען די וואַרשיינלעכקייט צו געפֿינען אַ געגעבענע צאָל דעפעקטיווע איינהייטן. מיט n = 50 און p = 0.02, קענען מיר רעכענען די וואַרשיינלעכקייט צו געפֿינען פּונקט k דעפעקטיווע איינהייטן אין דעם פּאַרטיע.

מוסטערונג אַסעסמאַנט

אין מאַרקעט פאָרשונג, למשל, ווערן אפט דורכגעפירט אנקעטעס מיט יאָ/ניין פראגעס. אויב מיר ווילן וויסן די צאָל פון ענטפֿערער וואָס שטימען צו מיט אַ סטעיטמענט אין אַ מוסטער פון 100 מענטשן (אַננעמענדיג אַ וואַרשיינלעכקייט פון הסכמה פון 0.7), קען די בינאָמיאַל דיסטריביושאַן העלפֿן אָפּשאַצן די ערוואַרטעטע צאָל פון מענטשן וואָס שטימען צו.

גענעטיקס

אין גענעטיק, ווערט די בינאמיאלע פארטיילונג גענוצט צו מאָדעלירן די ירושה פון געוויסע אייגנשאפטן פון איין דור צום נעקסטן. למשל, אויב עס איז דא א 25% ווארשיינליכקייט אז אן אפשטאם וועט האבן א געוויסע גענעטישע אייגנשאפט, קענען מיר נוצן די בינאמיאלע פארטיילונג צו באשטימען די ווארשיינליכקייט אז פון פיר אפשטאם וועלן צוויי האבן יענע אייגנשאפט.

פינאַנץ און פאַרזיכערונג

אין פינאַנץ, קען מען ניצן די בינאָמיאַלע פֿאַרטיילונג צו מאָדעלירן דאָס פֿאָרקומען פֿון באַנקראָטן, צאָלונגען פֿאַר פֿאָדערונגען, אָדער אינטערעס ראַטעס אויף געוויסע סחורות וואָס טרעפֿן די באַדינגונגען פֿאַר הצלחה/דורכפֿאַל.

קאַלקולאַציע בייַשפּיל

לאָמיר זאָגן מיר ווילן אויסרעכענען די וואַרשיינלעכקייט אַז, פֿון 10 מטבע־וואָרפֿן, באַקומען מיר פּונקט 6 קעפּ (אַננעמענדיג אַז די מטבעות זענען יושרדיק און p=0.5):

[P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^4 \]

\[ = \frac{10!}{6!4!} (0.5)^{10} \]

\[ = \frac{210}{1024} \]

\[ = 0.205 \]

אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען פּונקט 6 קעפּ פֿון 10 מטבע וואָרף איז 0.205.

קאמפיוטינג אַפּליקאַציעס

אין היינטיקן טעכנאלאגישן צייטן, ווערן בינאמיאלע פארטיילונגען אפט אויסגערעכנט מיט סטאטיסטישע ווייכווארג ווי R, Python, אדער ספּרעדשיט מכשירים ווי Microsoft Excel. דא איז א ביישפיל פון א פשוטן Python סקריפט ניצנדיג די `scipy` ביבליאטעק:

"פּיטהאָן
פֿון scipy.stats אימפארט בינאָם

למשל, מיר ווילן געפֿינען P(X = 6) פֿאַר n=10 און p=0.5
N = קסנומקס
פּ = 0.5
ק = 6

פּראָב = בינאָם.פּמף(ק, נ, פּ)

דרוק(f”די ווארשיינליכקייט צו באקומען פונקט {k} קעפּ פון {n} מטבע ווארפן איז {prob:.3f}”)
““

קעסימפּולאַן

די בינאמיאלע פארטיילונג איז א וויכטיגע געצייג אין סטאטיסטיק און ווארשיינליכקייט, ספעציעל ווען מען אנאליזירט אומאפהענגיקע בינארישע געשעענישן. באהערשן דעם קאנצעפט קען אונז העלפן מער עפעקטיוו אדרעסירן פראבלעמען וואס האבן צו טון מיט פינאנציעלע באשלוסן, מארקעט פארשונג, פראדוקט קוואליטעט, גענעטיק, און א פארשיידנקייט פון אנדערע אנווענדונגען.

דורך פארשטיין די בינאמיאלע פארטיילונג פונקציע, קענען מיר מאדעלירן און אויסרעכענען די ווארשיינלעכקייטן פון געשעענישן מיט פּינקטלעכקייט, און באזירן באשלוסן אויף שטארקע סטאטיסטישע אנאליזן. פארשריטן אין טעכנאלאגיע און סטאטיסטישע ווייכווארג האבן אויך געמאכט עס גרינגער צו אויסרעכענען און וויזואליזירן די פארטיילונג, מאכנדיג עס מער צוטריטלעך אין א ברייטע קייט פון שטודיע פעלדער און אנווענדונגען.