נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג: קאָנצעפּט און רעאַלע-וועלט אַפּליקאַציעס
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, אָפט באַקאַנט ווי די גאַוסישע פאַרשפּרייטונג, איז איינער פון די מערסט יסודותדיקע קאָנצעפּטן אין סטאַטיסטיק און מאַטעמאַטיק. עס האט פילע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע דיסציפּלינעס ווי עקאָנאָמיק, פּסיכאָלאָגיע, אינזשעניריע און די נאַטור וויסנשאַפֿטן. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, אירע אייגנשאַפֿטן, איר מאַטעמאַטישע פֿאָרמולע און פֿאַרשידענע ביישפּילן פֿון אירע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיקן לעבן.
וואָס איז נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג?
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז אַ סימעטריש, גלאָק-פאָרמיק וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג (באַקאַנט ווי אַ 'גלאָק פאָרעם'). די פאַרשפּרייטונג באַשרײַבט ווי פאַרשידענע דאַטן ווערטן זענען פאַרשפּרייט אַרום דעם דורכשניט (דורכשניט). אין אַ נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג, דאַטן נאָענט צום דורכשניט קומען פֿאָר מער אָפט ווי דאַטן ווייט פֿונעם דורכשניט.
עס זענען דא עטלעכע הויפּט כאַראַקטעריסטיקס פון דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג:
1. סימעטריש: דער גראַף פֿון דער נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג איז סימעטריש מיטן דורכשניט אין צענטער. דאָס מיינט אַז האַלב פֿון די דאַטן ווערטן זענען אונטערן דורכשניט, און האַלב זענען העכער דעם דורכשניט.
2. דורכשניט, מעדיאַן, און מאָד זענען די זעלבע: אין אַ נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג, זענען די דורכשניט, מעדיאַן, און מאָד אין דער זעלבער פּונקט.
3. גלאָק פֿאָרעם: די נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג גראַף איז גלאָק-פֿאָרעם און פֿאַרקלענערט זיך עקספּאָנענציעל צו דער x-אַקס אויף ביידע זייטן פֿון דורכשניט.
4. פארקלענערטע עקסטרעמען: ווערטן וואָס זענען ווייט פֿון דורכשניט (עקסטרעמען) זענען זייער זעלטן קאַמפּערד צו ווערטן וואָס זענען נאָענט צום דורכשניט.
נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג פאָרמולע
מאטעמאטיש, ווערט די נארמאלע פארטיילונג אויסגעדריקט דורך די פאלגנדע ווארשיינליכקייט געדיכטקייט פונקציע:
[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2π}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}} \]
וואו:
– \( f(x) \) איז די ווארשיינליכקייט געדיכטקייט פונקציע.
– \( \mu \) איז דער דורכשניט אדער דורכשניט פון די דאַטן.
– \( \sigma \) איז די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע, וואָס מעסט ווי פֿאַרשפּרייט די דאַטן זענען.
– \(e \) איז די באַזע פֿון דעם נאַטירלעכן לאָגאַריטם, אַפּראָקסימאַטיוו 2.718.
– \( \pi \) איז די קאָנסטאַנטע פּי, אַפּראָקסימאַטיוולי 3.14159.
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג קען אויך אויסגעדריקט ווערן אין סטאַנדאַרט אָדער 'סטאַנדאַרט נאָרמאַל' פאָרעם מיט דורכשניט 0 און סטאַנדאַרט דיווייישאַן 1. דאָס ווערט באַצייכנט מיט דער נאָטאַציע \( N(0, 1) \).
אייגנשאפטן פון נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג
1. עמפּירישע הערשן
די עמפּירישע כלל איז אַ מעטאָדע וואָס ווערט אָפט גענוצט צו פֿאַרשטיין די נאָרמאַלע פֿאַרשפּרייטונג. די כלל דערקלערט ווי דאַטן אין אַ נאָרמאַלער פֿאַרשפּרייטונג ווערן פֿאַרשפּרייט אַרום דעם דורכשניט:
– ארום 68% פון די דאטן ליגט אינערהאלב איין סטאנדארט-דעוויאציע פונעם דורכשניט (\( μ \pm \sigma \)).
– ארום 95% פון די דאטן איז אינערהאלב צוויי סטאנדארט דעוויאציעס פון דעם דורכשניט (\( μ \pm²\sigma \)).
– ארום 99.7% פון די דאטן איז אינערהאלב דריי סטאַנדאַרט דעוויִאַציעס פון די דורכשניט (\( μ \pm 3\sigma \)).
2. ז-סקאָר
דער ז-סקאר איז א מאס פון וויפיל סטאנדארט דעוויאציעס א דאטן-זאמלונג איז פון דעם דורכשניט. עס ווערט אויסגערעכנט דורך צעטיילן דעם חילוק צווישן די דאטן און דעם דורכשניט מיטן סטאנדארט דעוויאציע. דער ז-סקאר העלפט באשטימען די דאטן'ס פאזיציע אין א נארמאלער פארטיילונג.
\[ ז = \frac{(X – \mu)}{\sigma} \]
וואו \(X \) איז דער געמאסטענער דאטן ווערט, \(\mu \) איז דער דורכשניט, און \(\sigma \) איז די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע.
3. גלאָק קרוו
א גלאָק קורווע איז אַ וויזועלע רעפּרעזענטאַציע פון אַ נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג. דער שפּיץ, אָדער העכסטער פּונקט, פון דער קורווע איז ביים דורכשניט, און די קורווע גייט אַראָפּ סימעטריש אין ביידע ריכטונגען פון דורכשניט, פאָרמענדיק אַ גלאָק פאָרעם.
אַפּליקאַציעס פון נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג אין דער רעאַלער וועלט
1. סטאַטיסטיק און דאַטן אַנאַליז
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ווערט ברייט גענוצט אין סטאַטיסטיק פֿאַר דאַטן אַנאַליז. פילע סטאַטיסטישע טעקניקס פאַרלאָזן זיך אויף דער הנחה אַז דאַטן נאָכפאָלגן אָדער אַפּראָקסימירן אַ נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג. דאָס נעמט אַרײַן היפּאָטעזע טעסטינג, קאָנפידענץ אינטערוואַלן און רעגרעסיע אַנאַליז.
2. פּסיכאָלאָגיע און סאציאלע וויסנשאפטן
אין פסיכאלאגיע, ווערט די נארמאלע פארטיילונג אפט גענוצט צו באשרייבן די פארטיילונג פון פארשידענע מענטשלעכע אייגנשאפטן, ווי למשל IQ סקאָרס, הייך, און אזוי ווייטער. אסאך פסיכאמעטרישע טעסטן ווערן דיזיינט מיט דער הנחה אז די רעזולטאטן פון די טעסט וועלן נאכפאלגן א נארמאלע פארטיילונג.
3. עקאָנאָמיק און געשעפט
עקאנאמיסטן און ביזנעס אנאליסטן ניצן די נארמאלע פארטיילונג צו מאדעלירן פארשידענע עקאנאמישע דערשיינונגען ווי אקציע צוריקקער, איינקונפט און הוצאות. די פארטיילונג העלפט אין ריזיקע אפשאצונג און באשלוס-מאכן.
4. אינזשעניריע און נאַטירלעכע וויסנשאַפֿטן
אין אינזשעניריע און די נאטירלעכע וויסנשאפטן, ווערט די נארמאלע פארטיילונג גענוצט צו אנאליזירן און פאראויסזאגן די רעזולטאטן פון פארשידענע נאטירלעכע און מענטשלעכע פראצעסן. למשל, אין קוואליטעט קאנטראל, העלפט די נארמאלע פארטיילונג באשטימען צי א פראדוקט טרעפט די קוואליטעט סטאנדארטן.
5. וואַרשיינלעכקייט און באַשלוס-מאכן
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז נוצלעך אין וואַרשיינלעכקייט טעאָריע און באַשלוס-מאכן. טעקניקס ווי מאָנטע קאַרלאָ אַנאַליז נוצן די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג צו דורכפירן סימולאַציעס וואָס העלפֿן אין פאָרויסזאָגן און פּלאַנירונג.
קעסימפּולאַן
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז איינע פון די מערסט פונדאַמענטאַלע און נוצלעכע קאָנצעפּטן אין סטאַטיסטיק און פילע אַנדערע פעלדער. פֿאַרשטיין די פאַרשפּרייטונג דערמעגלעכט אונדז צו מער עפֿעקטיוו פּראָצעסירן און אַנאַליזירן דאַטן, און צו צולייגן דעם וויסן אין אַ פאַרשיידנקייט פון פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. צי אין פּסיכאָלאָגישער מעסטונג, געשעפט אַנאַליז, אָדער אינדוסטריעלער קוואַליטעט קאָנטראָל, די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג גיט אַ שטאַרקע יסוד פֿאַר פֿאַרשטיין און פאָרויסזאָגן פאַקטישע דערשיינונגען.
