מאַטעמאַטישע דילאַציע

מאַטעמאַטישע דילאַציע: טוישן גרייס אָן טוישן פאָרעם

הקדמה

אין מאטעמאטיק, שפּילט דער באַגריף פון דיליישאַן אַ וויכטיקע ראָלע, ספּעציעל אין געאָמעטריע. דיליישאַן, אדער פּראָפּאָרציאָנעלע טראַנספאָרמאַציע, איז דער פּראָצעס פון פֿאַרגרעסערן אָדער פֿאַרקלענערן אַן אָביעקט אָן צו ענדערן זיין אָריגינעלע פֿאָרעם. דער פּראָצעס באַשטייט פֿון ניצן אַ ספּעציפֿישע וואָג צו פּראָפּאָרציאָנעל פֿאַרגרעסערן אָדער פֿאַרקלענערן דעם גאַנצן אָביעקט. דער אַרטיקל וועט אויספֿאָרשן דעם באַגריף, אַפּליקאַציעס און ביישפּילן פֿון דיליישאַן אין מאטעמאטיק אין טיפֿקייט.

דעפֿיניציעס און שליסל קאָנצעפּטן

דיליישאַן איז אַ טיפּ געאָמעטרישע טראַנספאָרמאַציע וואָס ענדערט די גרייס פון אַ פאָרעם באַזירט אויף אַ וואָג פאַקטאָר, בשעת עס האַלט די ענלעכקייט פון דער פאָרעם. אין פּשוטע ווערטער, דיליישאַן באַציט זיך צו אַ טראַנספאָרמאַציע אין וועלכער די גרייס פון אַן אָביעקט ווערט פאַרגרעסערט אָדער פאַרקלענערט, אָבער די פאָרעם און אָריענטאַציע פון ​​דעם אָביעקט בלייבן די זעלבע.

אויב מיר באַשרײַבן אַן אָביעקט אין קאָאָרדינאַטן אויף אַ צוויי-דימענסיאָנאַלער (2D) פלאַך, דעמאָלט קען די דיליישאַן טראַנספאָרמאַציע אויסגעדריקט ווערן מיט אַ פּשוטער מאַטעמאַטישער פאָרמולע. לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ פּונקט מיט קאָאָרדינאַטן (x, y) וואָס מיר ווילן טראַנספאָרמירן מיט אַ סקאַלע פאַקטאָר k. די נײַע קאָאָרדינאַטן פון דעם פּונקט זענען (kx, ky).

אויב k > 1, וועט דער אביעקט ווערן פארגרעסערט. אויב 0 < k < 1, וועט דער אביעקט ווערן פארקלענערט. למשל, אויב מיר האבן א דרייעק מיט פונקטן A(2, 3), B(4, 6), און C(6, 5), און ווילן פארגרעסערן דעם דרייעק מיט א סקאלע פאקטאר פון 2, דאן זענען די נייע פונקטן פון דעם דרייעק A'(4, 6), B'(8, 12), און C'(12, 10).

ווי אזוי דילאציע ארבעט כדי צו פארשטיין ווי אזוי דילאציע ארבעט, מוזן מיר באטראכטן צוויי וויכטיגע עלעמענטן: 1. צענטער פון דילאציע: א פעסטער פונקט פון וועלכן די דיסטאנצן פון אלע פונקטן אויפן אביעקט ווערן געמערט מיט א סקאלע פאקטאר. דער צענטער קען זיין אינעווייניק, אינדרויסן, אדער פונקט ביי איינעם פון די פונקטן פונעם אביעקט. 2. סקאלע פאקטאר (k): א ווערט גענוצט צו מערן די דיסטאנצן פונעם צענטער פון דילאציע צו אלע פונקטן אינעם אביעקט. למשל, אויב דער סקאלע פאקטאר איז 2, דאן וועלן אלע דיסטאנצן פונעם צענטער פון דילאציע צו די פונקטן פונעם אביעקט ווערן פארדאפלט. לאמיר זאגן אז דער צענטער פון דילאציע איז ביים אנהייב (0,0). אויב פונקט A(x, y) אויפן אריגינעלן אביעקט ווערט דילירט מיט א סקאלע פאקטאר k, דאן וועלן די נייע קאארדינאטן פון A' זיין (kx, ky). אין דעם פאל, וועט די ליניע וואס פארבינדט דעם צענטער פון דילאציע מיטן פונקט אויפן אריגינעלן אביעקט און דעם פונקט אויפן דילירטן אביעקט שטענדיג זיין גלייך, וואס ווייזט אז דער אביעקט איז פארגרעסערט אדער פארקלענערט געווארן פראפארציאנעל. אַפּליקאַציעס פון דיליישאַן אין וואָכעדיק לעבן 1. מאַפּינג און סקאַלאַביליטי: מאַפּינג ניצט אָפט דעם באַגריף פון דיליישאַן. למשל, אַ מאַפּע פון ​​אַ שטאָט אָדער לאַנד. אַזאַ מאַפּע איז אַ דיליישאַן פון דער פאַקטישער געגנט מיט אַ געוויסן וואָג פאַקטאָר, וואָס אַלאַוז די פּרעזענטירונג פון געאָגראַפֿישע דאַטן אין אַ מער פֿאַרדייַלעך פֿאָרמאַט. 2. פאָטאָגראַפֿיע און גראַפֿישער דיזיין: אין דער וועלט פֿון פאָטאָגראַפֿיע און גראַפֿישער דיזיין, ווערט דילאַציע ברייט גענוצט אין פֿאַרקלענערן די גרייס פֿון בילדער און אילוסטראַציעס. דער פּראָצעס דאַרף געטאָן ווערן אָן צו ענדערן דעם אַספּעקט פאַרהעלטעניש (פּראָפּאָרציעס) פֿון דעם בילד כּדי צו פֿאַרמייַדן פֿאַרדרייונג. 3. מאַטעמאַטישע מאָדעלירן: אין מאַטעמאַטישער מאָדעלירן, ספּעציעל אין פֿיזיק און אינזשעניריע, ווערט דילאַציע גענוצט צו סימולירן פֿאַרשידענע סצענאַרן אָן צו דאַרפֿן ענדערן די גרונט פֿאָרעם פֿון דעם מאָדעל. למשל, אין דער סימולאַציע פֿון בנין סטרוקטורן, קען די נוצ פֿון דילאַציע העלפֿן זען דעם עפֿעקט פֿון פֿאַרגרעסערן דעם סקאַלע אָן צו ענדערן די פּראָפּאָרציעס פֿון יחיד קאָמפּאָנענטן. בייַשפּיל פּראָבלעמען און לייזונגען פּראָבלעם 1: באַטראַכט אַ פּונקט P(3, 4) אין דער קאָאָרדינאַט פלאַך. דילירט דעם פּונקט מיטן צענטער ביי (0,0) ניצנדיק אַ סקאַלע פֿאַקטאָר פֿון 3. לייזונג: פּונקט P האט קאָאָרדינאַטן (3,4). אויב מיר נוצן אַ סקאַלע פֿאַקטאָר פֿון 3, פֿאַרמערן מיר די קאָאָרדינאַטן מיט 3: \[ P'(x', y') = (3 3, 3 4) = (9, 12) \] אַזוי, דער נײַער פּונקט P' נאָך דילאַציע איז (9,12). פראגע 2: א דרייעק האט פונקטן A(1, 2), B(3, 4), און C(5, 6). לייגט אן א פארברייטערונג מיטן צענטער ביי (0,0) און א סקאלע פאקטאר פון 0.5. לייזונג: פונקט A(1,2): \[ A'(x', y') = (0.5 1, 0.5 2) = (0.5, 1) \] פונקט B(3,4): \[ B'(x', y') = (0.5 3, 0.5 4) = (1.5, 2) \] פונקט C(5,6): \[ C'(x', y') = (0.5 5, 0.5 6) = (2.5, 3) \] אַלזאָ, די חשבון נאָך דער טרייענגל דילאַציע וועט האָבן פּונקטן A'(0.5,1), B'(1.5,2), און C'(2.5,3). באַציִונג מיט אַנדערע טראַנספאָרמאַציעס חוץ דילאַציע, זענען פֿאַרשידענע אַנדערע טראַנספאָרמאַציעס באַקאַנט אין געאָמעטריע ווי טראַנסלאַציע, ראָטאַציע, און אָפּשפּיגלונג. אָבער וואָס אונטערשיידט דילאַציע פֿון די טראַנספאָרמאַציעס? - טראַנסלאַציע באַוועגט אַן אָביעקט פֿון איין אָרט צום אַנדערן אין דער קאָאָרדינאַט פלאַך אָן צו ענדערן זיין גרייס, פֿאָרעם, אָדער אָריענטאַציע. - ראָטאַציע ראָטירט אַן אָביעקט אַרום דעם צענטער פֿון ראָטאַציע מיט אַ געוויסן ווינקל, האַלטנדיק זיין גרייס און פֿאָרעם אָבער ענדערנדיק זיין אָריענטאַציע. - אָפּשפּיגלונג ענדערט די פּאָזיציע פֿון אַן אָביעקט באַזירט אויף דער אָפּשפּיגלונג ליניע, ווי אָפּשפּיגלונג פֿון אַן אָביעקט אויף אַ ליניע צו פּראָדוצירן אַ סימעטרישער פֿאָרעם. דערווייל, דילאַציע, ספּעציפֿיש, ענדערט נאָר די גרייס בשעת זי האַלטנדיק זיין פֿאָרעם און אָריענטאַציע. מסקנה דילאַציע איז אַן עיקר מאַטעמאַטישער באַגריף אין פֿאַרשטיין ווי אָביעקטן קענען ווערן געענדערט פּראָפּאָרציאָנעל. פֿאַרגרעסערן אָדער פֿאַרקלענערן אַן אָביעקט אָן צו ענדערן זיין גרונט פֿאָרעם איז די באַזע פֿאַר פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער, פֿון מאַפּינג ביז גראַפֿיש פּלאַן, און אינזשעניריע סימולאַציע. פֿאַרשטיין און אָנווענדן דיליישאַן עפֿנט די טיר צו מער קאָמפּליצירטע טיפּן געאָמעטרישע טראַנספֿאָרמאַציעס און זייערע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין פאַקטישן לעבן. ווי איינער פֿון די פֿילע מכשירים געניצט אין מאַטעמאַטיק און וויסנשאַפֿט, דערמאָנט אונדז דער קאָנצעפּט פֿון אַ וויכטיקן פֿאַקט: גרייס קען זיך ענדערן, אָבער פֿאָרעם און עסענץ בלייבן קאָנסטאַנט.