בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע: וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויאַציע פֿון איין דאַטן
סטאַטיסטיק איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס באַהאַנדלט דאָס זאַמלען, אַנאַליזירן, אינטערפּרעטירן, פּרעזענטירן און אָרגאַניזאַציע פֿון דאַטן. צוויי וויכטיקע קאָנצעפּטן אין סטאַטיסטיק זענען וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן אין דעטאַל ווי אַזוי צו רעכענען די וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע פֿון אַן איינציקן דאַטן-זאַמלונג דורך עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען.
פֿאַרשטיין וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויאַציע
וואַריאַנס איז אַ מאָס וואָס קוואַנטיפיצירט ווי ווייט די נומערן אין אַ דאַטן-זאַמלונג זענען פאַרשפּרייט פֿון דעם דורכשניט. וואַריאַנס ווערט אויסגעדריקט אין קוואַדראַטישע איינהייטן פֿון די אָריגינעלע דאַטן, וואָס מאַכט עס אָפֿט שווער צו אינטערפּרעטירן.
די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז די קוואַדראַט וואָרצל פון דער וואַריאַנס. עס גיט אַ מער אינטואיטיווע מאָס פון ווי ווייט די דאַטן בכלל ווייכט פון די דורכשניט ווייַל אירע איינהייטן זענען די זעלבע ווי די אָריגינעלע איינהייטן פון די דאַטן.
אַלגעמיינע פֿאָרמולע
פֿאַר איין דאַטן, די פֿאָרמולע פֿאַר די וואַריאַנס \( \sigma^2 \) און סטאַנדאַרט דיווייישאַן \( \sigma \) פֿון דער פּאָפּולאַציע איז ווי פֿאָלגט:
1. וואַריאַנס (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. סטאַנדאַרט דעוויאַציע (σ):
(סיגמא = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
וואו:
– \(N \) איז די צאָל דאַטן אין דער פּאָפּולאַציע.
– \(x_i \) איז דער i-טער דאטן ווערט.
– \( \mu \) איז דער דורכשניט אדער דורכשניט פון די דאַטן.
אויב מיר רעכענען די וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון די מוסטער, דאַן איז די אויבן פאָרמולע אַ ביסל מאָדיפיצירט:
1. מוסטער וואַריאַנס (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2)
2. מוסטער סטאַנדאַרט דיווייישאַן (s):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
וואו:
– \(n \) איז די צאָל דאַטן אין דעם מוסטער.
– \( \bar{x} \) איז דער דורכשניט אדער דורכשניט פון דעם מוסטער.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
בייַשפּיל קשיא 1:
געגעבן די פאלגענדע דאטן:
קסנומקס, קסנומקס, קסנומקס, קסנומקס, קסנומקס, קסנומקס
רעכנט אויס די וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון די דאַטן!
לייזונג טריט:
1. אויסרעכענען דעם דורכשניט (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. רעכנט אויס דעם חילוק צווישן די דאַטן און דעם דורכשניט, און דערנאָך קוואַדראַטירט:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. צולייגן אלע קוואדראטישע רעזולטאטן:
\[
\ סאַם (קס_י - \מו)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. אויסרעכענען די וואַריאַנס (σ²) פון באַפעלקערונג דאַטן:
\[
∫סיגמא^2 = ∫פראַק{21.3534}{6} = 3.559
\]
באַמערקונג: ווײַל די דאַטן ווערן אָנגעגעבן ווי באַפעלקערונג דאַטן, טיילן מיר אויף 6.
5. אויסרעכענען סטאַנדאַרט דעוויאַציע (σ):
\[
∫סיגמא = ∫קװאַדראַט{3.559} ∫אַפּפּראָקס 1.886
\]
אַזוי, די וואַריאַנס פון די דאַטן איז 3.559 און די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז 1.886.
בייַשפּיל קשיא 2:
געגעבן די פאלגענדע ביישפּיל דאַטן:
קסנומקס, קסנומקס, קסנומקס, קסנומקס, קסנומקס, קסנומקס
רעכנט אויס די וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע פֿון דעם מוסטער!
לייזונג טריט:
1. אויסרעכענען דעם דורכשניט (מיטל) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. רעכנט אויס דעם חילוק צווישן די דאַטן און דעם דורכשניט, און דערנאָך קוואַדראַטירט:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. צולייגן אלע קוואדראטישע רעזולטאטן:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. אויסרעכענען די מוסטער וועריאַנס (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
באַמערקונג: ווײַל דאָס איז מוסטער דאַטן, טיילן מיר מיט 5 (n-1).
5. אויסרעכענען סטאַנדאַרט דעוויאַציע (s):
\[
ס = 5.351 אַפּראָקס. 2.313
\]
אַזוי, די וואַריאַנס פון די מוסטער דאַטן איז 5.351 און די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז 2.313.
קעסימפּולאַן
אויסרעכענען וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויִאַציע איז וויכטיק צו פֿאַרשטיין ווי פֿאַרשפּרייט דאַטן זענען אין אַ געגעבענער סכום. כאָטש וואַריאַנס גיט אַ טעאָרעטישע מאָס פֿון פֿאַרשפּרייטונג אין קוואַדראַטן פֿון די אָריגינעלע איינהייטן, אינטערפּרעטירט סטאַנדאַרד דעוויִאַציע די מאָס פֿון פֿאַרשפּרייטונג אין טערמינען פֿון די אָריגינעלע איינהייטן פֿון די דאַטן, מאַכנדיג עס גרינגער צו פֿאַרשטיין. אין דאַטן אַנאַליז, ווערן די צוויי מאָסן אָפֿט געניצט צו אָפּשאַצן דאַטן וואַריאַביליטי און מאַכן סטאַטיסטישע באַשלוסן.
דורך פֿאַרשטיין די נויטיקע טריט און פֿאָרמולעס, קענען מיר לייכט רעכענען וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע פֿאַר פֿאַרשידענע סיטואַציעס וואָס מיר טרעפֿן אין טעגלעכער דאַטן זאַמלונג און אַנאַליז. האָפֿנטלעך, גיט דער אַרטיקל אַ טיפֿער פֿאַרשטאַנד פֿון די קאָנצעפּטן פֿון וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע אין איין דאַטן זאַמלונג.
