בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע פֿון גרופּע דאַטן

בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע פֿון גרופּע דאַטן

הקדמה
אין סטאַטיסטיק, וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעווייישאַן זענען צוויי סטאַטיסטישע מאָסן וואָס זענען קריטיש פֿאַר פֿאַרשטיין די דיספּערזשאַן, אָדער פאַרשפּרייטונג, פון דאַטן פֿון דעם דורכשניט. וואַריאַנס מעסט ווי ווייט די דאַטן זענען פאַרשפּרייט פֿון דעם דורכשניט, בשעת סטאַנדאַרד דעווייישאַן איז די קוואַדראַט וואָרצל פֿון דער וואַריאַנס, וואָס גיט אַ מאָס וואָס איז אין די זעלבע איינהייטן ווי די אָריגינעלע דאַטן.

דעפֿיניציע
– וואַריאַנס (σ² אדער S²): איז דער דורכשניט פון די קוואַדראַטן פון די אונטערשיידן צווישן יעדן דאַטן ווערט און דעם דורכשניט פון די דאַטן.
– סטאַנדאַרד דעוויאַציע (σ אדער S): איז די קוואַדראַט וואָרצל פון דער וואַריאַנס.

פאָרמולע פֿאַר וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע פון ​​גרופּע דאַטן
פֿאַר גרופּע דאַטן, נוצן מיר די אָפטקייט פון די דאַטן אין יעדער קלאַס. דאָ איז די פֿאָרמולע:

וואַריאַן
[S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]

סטאַנדאַרט דיווייישאַן
\[ S = \sqrt{S^2} \]

די מאנא:
– \( f_i \) = אָפטקייט פון יעדער קלאַס.
– \(x_i \) = מיטלפונקט פון יעדער קלאַס.
– \( \bar{x} \) = דער דורכשניט פון די גרופע דאַטן.
– \(N \) = גאַנצע צאָל דאַטן.

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
אַננעמען מיר האָבן וואָג דאַטן פֿאַר אַ גרופּע מענטשן גרופּירט אין קלאַסן.

| וואָג אינטערוואַל (ק"ג) | אָפטקייט (פֿ) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |

דער ערשטער שריט איז צו באַשטימען דעם מיטלפונקט פון יעדער קלאַס (\(x_i \)) און דערנאָך רעכענען דעם דורכשניט (\( \bar{x} \)).

1. אויסרעכענען דעם מיטלפונקט (\(x_i\))
\[ \text{מיטלפונקט} = \frac{\text{נידעריקער גרענעץ} + \text{אויבערשטער גרענעץ}}{2} \]

| וואָג אינטערוואַל (ק"ג) | אָפטקייט (f) | מיטלפונקט (\(x_i \)) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |

2. אויסרעכענען דעם דורכשניט (\( \bar{x} \) \)
[\bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N }]

גאַנץ נומער פון דאַטן \( N \):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]

[\sum f_i x_i = (2 × 52) + (5 × 57) + (8 × 62) + (7 × 67) + (3 × 72)]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]

אַזוי, דער דורכשניט (\( \bar{x} \)):
[\bar{x} = \frac{ 1570 }{25 } = 62.8 \]

3. אויסרעכענען די וואַריאַנס (\(S^2 \))
מיר דאַרפֿן אויסרעכענען \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):

\[
\begin{אויסגלייַכן}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
און (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
און (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
און (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
און (72 – 62.8)^2 = 84.64
\ענד{אויסגלייַכן}
\]

טאפלען מיט פרעקווענץ:
\[
\begin{אויסגלייַכן}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
און 5 מאָל 33.64 = 168.2
און 8 מאָל 0.64 = 5.12
און 7 מאָל 17.64 = 123.48
און 3 מאָל 84.64 = 253.92
\ענד{אויסגלייַכן}
\]

\[
∫פֿי(x_i – x)^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]

איצט קענען מיר אויסרעכענען די וואַריאַנס (\( S^2 \)):
[S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \aprox 32.85 \]

4. אויסרעכענען סטאַנדאַרט דעוויאַציע (\(S \))
סטאַנדאַרט דעוויִאַציע (\(S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \aprox 5.73 \]

קעסימפּולאַן
פֿון די בייַשפּיל דאַטן אויבן, האָבן מיר:
– אויסרעכענען דעם דורכשניטלעכן קערפער וואָג: 62.8 ק״ג
– קאַלקולירנדיקע וואַריאַנס: 32.85 ק״ג²
– אויסרעכענען די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע: 5.73 ק״ג

די אויסטײַטשונג פֿון דער סטאַנדאַרט־דעוויִאַציע איז אַז די דורכשניטלעכע דעוויִאַציע פֿון די וואָג־דאַטן פֿונעם דורכשניט איז אַרום 5.73 ק"ג. דאָס ווײַזט אויף דער פֿאַרשפּרייטונג פֿון די דאַטן אין באַצוג צו דעם דורכשניט, וואָס קען העלפֿן אויסרעכענען ווי פֿאַרשידענאַרטיק אונדזערע דאַטן זענען.

א גרינטלעכע פארשטענדעניש פון וועריאַנס און סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז קריטיש, ספּעציעל פֿאַר יענע וואָס אַרבעטן אין סטאַטיסטיק, פאָרשונג און טעסטינג, ווען זיי פּרוּוון צו פֿאַרשטיין דאַטן אין דער פאָרעם פון גרופּעס אָדער דיסטריביושאַנז. וויסן ווי צו רעכענען און ינטערפּרעטירן די צוויי מאָסן קען העלפֿן אין בעסערע באַשלוס-מאכן באַזירט אויף די דאַטן וואָס זענען פֿאַראַן.