ביישפילן פון מאטעמאטישע איבערזעצונג פראגעס און דיסקוסיעס
טראַנסלאַציע איז אַ געאָמעטרישע טראַנספאָרמאַציע וואָס באַוועגט יעדן פּונקט אויף אַ פלאַך אַ ספּעציפֿישע דיסטאַנץ אין אַ ספּעציפֿישע ריכטונג. אין מאַטעמאַטיק, ווערט טראַנסלאַציע אָפט געניצט צו פֿאַרשייבן אַן אָביעקט אין איין ריכטונג אָן צו ענדערן זיין פֿאָרעם אָדער אָריענטאַציע. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס שייך צו מאַטעמאַטישע איבערזעצונג צו העלפֿן לייענער בעסער פֿאַרשטיין דעם באַגריף.
גרונטלעכע קאנצעפטן פון איבערזעצונג
איבערזעצונג אין צוויי-דימענסיאָנאַלע קאָאָרדינאַטן קען אויסגעדריקט ווערן מיט וועקטאָר נאָטאַציע. אויב פּונקט A(x, y) ווערט טראַנסלירט דורך דעם וועקטאָר \((a, b)\), דעמאָלט קען דער רעזולטאַט פּונקט A' (\(x'\), \(y'\)) אויסגערעכנט ווערן מיט דער פאָרמולע:
\[x' = x + a \]
\[ y' = y + b \]
דימאַנאַ:
– \( (x, y) \) איז די ערשטע קאָאָרדינאַט,
– \( (a, b) \) איז דער איבערזעצונג וועקטאָר,
– \( (x', y') \) זענען די קאָאָרדינאַטן פון די איבערזעצונג רעזולטאַט.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
דאָ זענען עטלעכע ביישפילן פון פֿראַגעס וועגן מאַטעמאַטישן איבערזעצונג און זייערע דיסקוסיעס:
בייַשפּיל קשיא 1:
פראגע:
פונקט A איז ביי קאארדינאטן (3, 4). איבערזעצט פונקט A מיטן וועקטאָר \( (5, -2) \). באשטימט די נייע קאארדינאטן פון פונקט A.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
\[ \text{אריגינעלע קאארדינאטן פון פונקט A} = (3, 4) \]
\[ \text{איבערזעצונג וועקטאָר} = (5, -2) \]
ניצט די איבערזעצונג פאָרמולע:
\[x' = x + a \]
\[ y' = y + b \]
פאַרבייַטן די ווערטן:
\[x' = 3 + 5 = 8 \]
\[ y' = 4 + (-2) = 2 \]
אַזוי, די נייע קאָאָרדינאַטן פון פּונקט A נאָך טראַנסלאַציע זענען \( (8, 2) \).
בייַשפּיל קשיא 2:
פראגע:
א דרייעק האט שפּיץ קאָאָרדינאַטן (A(1, 2)), (B(3, 5)) און (C(6, 1)). טראַנסלירט דעם דרייעק מיטן וועקטאָר (-2, 4)). באַשטימט די שפּיץ קאָאָרדינאַטן פֿונעם דרייעק נאָך טראַנסלאַציע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די קאָאָרדינאַטן פון דעם שפּיץ פון דעם דרייַעק און דער טראַנסלאַציע וועקטאָר זענען באַקאַנט.
קאָאָרדינאַטן פון פּונקט A':
\[x' = 1 + (-2) = -1 \]
\[ y' = 2 + 4 = 6 \]
דעמאָלט, \(A' = (-1, 6) \).
קאָאָרדינאַטן פון פּונקט ב':
\[x' = 3 + (-2) = 1 \]
\[ y' = 5 + 4 = 9 \]
דעמאָלט, \(B' = (1, 9) \).
קאָאָרדינאַטן פון פּונקט C':
\[x' = 6 + (-2) = 4 \]
\[ y' = 1 + 4 = 5 \]
דעמאָלט, \(C' = (4, 5) \).
אַלזאָ, נאָך דער טראַנסלאַציע, די קאָאָרדינאַטן פֿון די שפּיץ־פּונקטן פֿון דעם נײַעם דרײַעק זײַנען _(A'(-1, 6)_), _(B'(1, 9)_), און _(C'(4, 5)_).
בייַשפּיל קשיא 3:
פראגע:
געגעבן פונקט פּ ביי קאָאָרדינאַטן _( (-3, 0) _). באַשטימט דאָס רעזולטאַט פֿון דער טראַנסלאַציע פֿון פונקט פּ דורך דעם וועקטאָר _( (7, -5) _).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
געגעבן די קאָאָרדינאַטן פון P און דעם טראַנסלאַציע וועקטאָר.
ניצט די איבערזעצונג פאָרמולע:
\[x' = x + a \]
\[ y' = y + b \]
פאַרבייַטן די ווערטן:
\[x' = -3 + 7 = 4 \]
\[ y' = 0 + (-5) = -5 \]
אַזוי, די קאָאָרדינאַטן פון די איבערזעצונג רעזולטאַט פון פּונקט P זענען \( (4, -5) \).
בייַשפּיל קשיא 4:
פראגע:
פונקט Q געפינט זיך ביי קאארדינאטן \( (4, -3) \). אויב פונקט Q ווערט איבערגעזעצט אזוי אז די נייע קאארדינאטן ווערן \( (9, 1) \), באשטימט דעם איבערזעצונג וועקטאָר וואס ווערט גענוצט.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
\[ \text{אנהייב קאארדינאטן} = (4, -3) \]
\[ \text{רעזולטאט קאארדינאטן} = (9, 1) \]
ניצט די איבערזעצונגס-פאָרמולע צו געפֿינען דעם וועקטאָר \( (a, b) \):
\[x' = x + a \]
\[ y' = y + b \]
די איבערזעצונג רעזולטאַטן זענען באַקאַנט:
\[ 9 = 4 + a \]
\[ 1 = -3 + b \]
אזוי, קען מען אויסרעכענען דעם איבערזעצונג וועקטאָר ווי פאלגנד:
\[a = 9 – 4 = 5 \]
\[ ב = 1 + 3 = 4 \]
אַזוי, דער איבערזעצונג וועקטאָר געניצט איז \( (5, 4) \).
בייַשפּיל קשיא 5:
פראגע:
די קוואדרילעיטל ABCD האט ווינקל פונקטן (A(1, 2)), (B(1, 5)), (C(4, 5)) און (D(4, 2)). איבערזעצט דעם קוואדרילעיטל מיטן וועקטאָר (3, -1)). באַשטימט די נייע קאָאָרדינאַטן פון דער קוואדרילעיטל ABCD.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
\[ \text{איבערזעצונג וועקטאָר} = (3, -1) \]
קאָאָרדינאַטן פון פּונקט A':
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
\[ y' = 2 + (-1) = 1 \]
דעמאָלט, \(A' = (4, 1) \).
קאָאָרדינאַטן פון פּונקט ב':
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
\[ y' = 5 + (-1) = 4 \]
דעמאָלט, \(B' = (4, 4) \).
קאָאָרדינאַטן פון פּונקט C':
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
\[ y' = 5 + (-1) = 4 \]
דעמאָלט, \(C' = (7, 4) \).
קאָאָרדינאַטן פון פּונקט ד':
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
\[ y' = 2 + (-1) = 1 \]
דעמאָלט, \(D' = (7, 1) \).
אַלזאָ, די נייע קאָאָרדינאַטן פֿון קוואדרילאַטעראַל ABCD נאָך טראַנסלאַציע זענען _(A'(4, 1)_), _(B'(4, 4)_), _(C'(7, 4)_), און _(D'(7, 1)_).
קעסימפּולאַן
טראַנסלאַציע איז אַ זייער באַזישע אָבער וויכטיקע טראַנספאָרמאַציע אין געאָמעטריע. באַהערשן די טעכניק דערמעגלעכט אונדז צו דורכפירן פֿאַרשידענע געאָמעטרישע אָפּעראַציעס, ווי למשל פֿאַרשייבן אָביעקטן אָן צו ענדערן זייער פֿאָרעם אָדער גרייס.
דורך פארשטיין דעם קאנצעפט פון איבערזעצונג דורך די פארשידענע ביישפיל פראבלעמען וואס זענען אויבן דיסקוטירט געווארן, האפט מען אז לייענער וועלן קענען בעסער פארשטיין און אנווענדן דעם קאנצעפט אין פארשידענע פראבלעמען און אין רעאלן לעבן. איבערזעצונג איז נוצלעך נישט נאר אין מאטעמאטיק נאר אויך אין פארשידענע אנדערע פעלדער, אריינגערעכנט פיזיק, קאמפיוטער גראפיקס, און דיזיין.
