בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן טראַנספאָרמאַציע אין דער קאַרטעזישער פלאַך
טראַנספאָרמאַציעס אין דער קאַרטעזישער פלאַך זענען אַ וויכטיקע טעמע אין מאַטעמאַטיק, ספּעציעל געאָמעטריע. די טראַנספאָרמאַציעס אַרייַננעמען פֿאַרשידענע אָפּעראַציעס ווי טראַנסלאַציע, אָפּשפּיגלונג, ראָטאַציע און דילאַציע, וואָס צילן צו באַוועגן אָדער ענדערן די פאָרעם פון אַן אָביעקט אין אַ צוויי-דימענסיאָנעלער פלאַך. דער אַרטיקל וועט איבערקוקן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוטירן זיי שייך צו טראַנספאָרמאַציעס אין דער קאַרטעזישער פלאַך.
טיפּן פון טראַנספאָרמאַציע
איידער מיר גייען אריין אין דעם ביישפיל פראבלעם, לאמיר ערשט איבערקוקן די פאלגענדע טיפן טראנספארמאציעס:
1. איבערזעצונג (שיפט)
טראַנסלאַציע איז די פֿאַרשיבונג פֿון אַ פּונקט אָדער אָביעקט אין אַ פֿלאַך מיט אַ געוויסער דיסטאַנץ אין אַ געוויסער ריכטונג. טראַנסלאַציע קען ווערן דעפֿינירט ווי:
\[
(x, y) \רעכטער פֿײַער (x+a, y+b)
\]
וואו \(a\) און \(b\) זענען די האָריזאָנטאַלע און ווערטיקאַלע דיספּלייסמאַנט דיסטאַנסן.
2. רעפלעקציע
אָפּשפּיגלונג איז די אָפּשפּיגלונג פון אַ פּונקט אָדער אָביעקט אַריבער אַן אַקס, צי די x-אַקס, y-אַקס, אָדער אַן אַנדער ליניע. למשל, אָפּשפּיגלונג אַריבער די x-אַקס:
\[
(x, y) \רעכטער פֿײַער (x, -y)
\]
3. ראָטאַציע (דרייען)
ראָטאַציע איז די ראָטאַציע פון אַ פּונקט אָדער אָביעקט אַרום אַ צענטראלן פּונקט מיט אַ געוויסן ווינקל. אַ ראָטאַציע קעגן זייגער מיט אַ ווינקל _(\theta\) קען אויסגעדריקט ווערן ווי:
\[
(רענטגענ, י) \rightarrow (רענטגענ \קאָס \טהעטאַ - י \זינט \טהעטאַ, X \sin \טהעטאַ + י \קאָס \טהעטאַ)
\]
4. דיליישאַן (סקיילינג)
דיליישאַן איז די ענדערונג אין דער גרייס פון אַן אָביעקט מיט אַ געוויסן וואָג פאַקטאָר. אויב דער וואָג פאַקטאָר איז \(k\), קען דיליישאַן אויסגעדריקט ווערן ווי:
\[
(x, y) \רעכטער פייל (kx, ky)
\]
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
פראגע 1: איבערזעצונג
פראגע:
פירט אויס אן איבערזעצונג ביי פונקט \(A(2, 3)\) מיט א פארשיבונג פון 5 איינהייטן רעכטס און 4 איינהייטן ארויף.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
איבערזעצן 5 איינהייטן צו רעכטס מיינט פארגרעסערן די x-קאארדינאט מיט 5. די אויסזאג "4 איינהייטן ארויף" מיינט פארגרעסערן די y-קאארדינאט מיט 4. דער רעזולטאט פון דער איבערזעצונג איז:
\[
(x, y) \רעכטער אַרראָו (x+5, y+4)
\]
אַזוי ווערט דער פּונקט \(A(2, 3)\) נאָך איבערזעצונג:
\[
(x+5, y+4) \רעכטער אַרראָו (2+5, 3+4) \רעכטער אַרראָו (7, 7)
\]
אַזוי, דער פּונקט \(A(2, 3)\) נאָך איבערזעצונג איז \(A'(7, 7)\).
פראגע 2: רעפלעקציע
פראגע:
שפּיגלט אָפּ דעם פּונקט \(B(-4, 7)\) אַרום דער y-אַקס.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
רעפלעקציע ארום דער y-אקס ענדערט די x-קאארדינאט צו דעם נעגאטיוון פון דער אריגינעלער x-קאארדינאט, בשעת די y-קאארדינאט בלייבט די זעלבע.
\[
(x, y) \רעכטער פֿײַער (-x, y)
\]
אַזוי ווערט דער פּונקט \(B(-4, 7)\) נאָך אָפּשפּיגלונג:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
אַזוי, דער פּונקט \(B(-4, 7)\) נאָך אָפּשפּיגלונג אַרום די y-אַקס איז \(B'(4, 7)\).
פראגע 3: ראָטאַציע
פראגע:
דריי דעם פונקט \(C(1, 2)\) מיט \(90^\circ\) קעגן זייגער מיטן צענטער ביים אָריגין \((0, 0)\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
א ראָטאַציע פון \(90°\circ\) קעגן זייגער קען אויסגעדריקט ווערן ווי:
\[
(x, y) \רעכטער פֿײַער (-y, x)
\]
אַזוי ווערט דער פּונקט \(C(1, 2)\) נאָך ראָטאַציע:
\[
(x, y) \רעכטער פֿײַער (-2, 1)
\]
אַלזאָ, דער פּונקט \(C(1, 2)\) נאָך אַ ראָטאַציע פֿון \(90°\circ\) קעגן זייגער איז \(C'(-2, 1)\).
פראגע 4: אויסברייטערונג
פראגע:
פארברייטערט דעם פונקט \(D(3, 4)\) מיט א סקאלע פאקטאר \(k = 2\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דילאַציע מיט אַ סקאַלע פאַקטאָר פון 2 מיינט טאפלען ביידע קאָאָרדינאַטן מיט 2.
\[
(x, y) רעכטערהאנט (2x, 2y)
\]
אַזוי ווערט דער פּונקט \(D(3, 4)\) נאָך דער דילאַציע:
\[
(x, y) רעכטער אַרראָו (2 × 3, 2 × 4) רעכטער אַרראָו (6, 8)
\]
אַזוי, דער פּונקט _(D(3, 4)_) נאָך דילאַציע מיט סקאַלע פאַקטאָר _(2_) איז _(D'(6, 8)_).
פראגע 5: קאמבינאציע פון טראנספארמאציעס
פראגע:
רעפלעקטיר אַרום דער x-אַקס און דערנאָך פֿאַרברייטער זיך מיט אַ סקאַלע פֿאַקטאָר _k = 0.5_ בײַם פּונקט _E(8, -6)_.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער ערשטער שריט איז צו רעפלעקטירן ארום די x-אקס:
\[
(x, y) \רעכטער פֿײַער (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \רעכטער פײַל (8, 6)
\]
דער צווייטער שריט איז דורכצופירן א פארברייטערונג מיט א סקאלע פאקטאר פון \(0.5\):
\[
(x, y) רעכטערהאנט (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) רעכטער אַרראָו (0.5 × 8, 0.5 × 6) רעכטער אַרראָו (4, 3)
\]
אַזוי, דער פּונקט \(E(8, -6)\) נאָך אָפּשפּיגלונג אַרום די x-אַקס און דילאַציע דורך סקאַלע פאַקטאָר \(0.5\) איז \(E'(4, 3)\).
פראגע 6: טראנספארמאציע מיט ראָטאַציע און טראַנסלאַציע
פראגע:
דריי דעם פונקט \(F(-3, 4)\) מיט \(180^\circ\) קעגן זייגער, און דערנאך טראַנסלירט דאָס רעזולטאַט מיטן וועקטאָר \((2, -1)\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער ערשטער שריט איז צו דרייען זיך מיט \(180^\circ\) קעגן זייגער:
\[
(x, y) \רעכטער פֿײַער (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \רעכטער פײַל (3, -4)
\]
דער צווייטער שריט איז דורכצופירן אן איבערזעצונג מיטן וועקטאָר \((2, -1)\):
\[
(x, y) \רעכטער אַרראָו (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \רעכטער פײַל (3+2, -4-1) \רעכטער פײַל (5, -5)
\]
אַלזאָ, דער פּונקט \(F(-3, 4)\) נאָך ראָטאַציע \(180^\circ\) און טראַנסלאַציע דורך וועקטאָר \(2, -1)\) איז \(F'(5, -5)\).
קעסימפּולאַן
טראַנספאָרמאַציעס אין דער קאַרטעזישער פלאַך זענען אַ וויכטיקער באַגריף אין געאָמעטריע, וואָס נעמט אַרום פֿאַרשידענע אָפּעראַציעס ווי טראַנסלאַציע, אָפּשפּיגלונג, ראָטאַציע און דילאַציע. דורך פֿאַרשטיין ווי יעדער טיפּ טראַנספאָרמאַציע אַרבעט, קענען מיר לייכט ענדערן די פּאָזיציע אָדער פֿאָרעם פֿון אַן אָביעקט אין דער פלאַך. דורך די אויבן דערמאָנטע ביישפּילן קענען מיר זען די פּראַקטישע אַפּליקאַציעס פֿון פֿאַרשידענע טראַנספאָרמאַציעס און ווי זיי קענען קאָמבינירט ווערן צו דערגרייכן מער קאָמפּליצירטע טראַנספאָרמאַציעס. האָפֿנטלעך איז דער אַרטיקל געווען נוצלעך אין פֿאַרשטיין טראַנספאָרמאַציעס אין דער קאַרטעזישער פלאַך.
