בייַשפּיל פֿון מאַטעמאַטישע ראָטאַציע דיסקוסיע פֿראַגעס

בייַשפּיל פּראָבלעמען דיסקוטירן מאַטעמאַטישע ראָטאַציע

הקדמה

ראָטאַציע איז אַ געאָמעטרישע טראַנספאָרמאַציע וואָס מען טרעפט אָפט אין מאַטעמאַטיק, ספּעציעל געאָמעטריע. ראָטאַציע באַשטייט פון ראָטירן אַן אָביעקט אַרום אַ ספּעציפֿישן פּונקט (דער צענטער פון ראָטאַציע) דורך אַ ספּעציפֿישן ווינקל אין אַ זייגער-ווייז אָדער קעגן-זייגער ריכטונג. דער באַגריף פון ראָטאַציע איז קריטיש אין פעלדער ווי קאָמפּיוטער גראַפיקס, פיזיק און אינזשעניריע. דער אַרטיקל וועט אויספאָרשן פֿאַרשידענע ביישפילן און דיסקוסיעס פון ראָטאַציע אין מאַטעמאַטיק.

פֿאַרשטיין ראָטאַציע

ראָטאַציע איז אַ טראַנספאָרמאַציע וואָס באַוועגט יעדן פּונקט פון אַן אָביעקט דורך אים ראָטירן אַרום אַ פעסטן פּונקט, גערופן דער צענטער פון ראָטאַציע, מיט אַ געוויסן ווינקל אין אַ געוויסער ריכטונג. די אַלגעמיינע נאָטאַציע פֿאַר אַ ראָטאַציע מיט אַ ווינקל θ און אַ צענטער פון ראָטאַציע (a, b) קען געשריבן ווערן ווי R_(a, b)(θ).

פֿאַר אַ פּונקט P(x, y) ראָטירט מיט θ גראַד מיטן צענטער פֿון ראָטאַציע בײַם אָנהייב (0, 0), וועלן די נײַע קאָאָרדינאַטן פֿון P' (x', y') נאָך דער ראָטאַציע באַקומען ווערן מיט דער פֿאָרמולע:
– x' = x cos θ – י זינד θ
– y' = x sin θ + y cos θ

לאָמיר פאָרזעצן מיט עטלעכע ביישפילן פון ראָטאַציע פּראָבלעמען, צוזאַמען מיט זייערע דיסקוסיעס.

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע

בייַשפּיל קשיא 1
פראגע: באשטימט די נייע קאארדינאטן פון פונקט A(3, 4) נאכדעם וואס איר דרייט עס 90 גראד קעגן זייגער מיטן צענטער פון ראָטאַציע ביים אָנהייב (0, 0).

דיסקוסיע: ניצן די ראָטאַציע פאָרמולע מיט אַ 90 גראַד ווינקל קעגן זייגער:

- רענטגענ' = רענטגענ קאָס (90 °) - י זינד (90 °) = 3 (0) - 4 (1) = -4
– י' = רענטגענ זינד(90°) + י קאָס(90°) = 3(1) + 4(0) = 3

אַלזאָ, די נייע קאָאָרדינאַטן פֿון A' נאָך ראָטאַציע זענען (-4, 3).

בייַשפּיל קשיא 2
פראגע: פונקט ב(2, -1) ווערט ראָטירט 180 גראַד אין אַ זייגער ריכטונג מיטן צענטער פון ראָטאַציע בלייבן ביים אָנהייב (0, 0). באַשטימט די נייע קאָאָרדינאַטן פון פונקט ב נאָך דער ראָטאַציע.

דיסקוסיע: א ראָטאַציע פון ​​180 גראַד, צי זייגער-ווייז צי קעגן-זייגער-ווייז, גיט דעם זעלבן רעזולטאַט, נעמלעך די קאָאָרדינאַטן פון דעם פּונקט טוישן זיך צו (-x, -y).

– x' = -x = -2
– y' = -y = 1

אַזוי, די נייע קאָאָרדינאַטן פון B' זענען (-2, 1).

בייַשפּיל קשיא 3
פראגע: א פונקט C(-3, 5) ווערט ראָטירט 270 גראַד קעגן זייגער מיטן צענטער פון ראָטאַציע ביים אָנהייב (0, 0). באַשטימט פונקט C נאָך דער ראָטאַציע.

דיסקוסיע: א 270 גראד קעגן-זייגער-ווייז ראָטאַציע איז גלייך צו א 90 גראד זייגער-ווייז ראָטאַציע.

– רענטגענ' = רענטגענ קאָס (90 °) + י זינד (90 °) = -3 (0) + 5 (1) = 5
– י' = -קס זינד(90°) + י קאָס(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3

אַזוי, די נייע קאָאָרדינאַטן פון C' נאָך ראָטאַציע זענען (5, -3).

בייַשפּיל קשיא 4
פראגע: באשטימט די נייע קאארדינאטן פון פונקט ד(5, 5) נאכדעם וואס מען דרייט עס 45 גראד מיטן צענטער פון ראָטאַציע ביים אָנהייב (0, 0).

דיסקוסיע: ניצן די ראָטאַציע פאָרמולע מיט אַ 45 גראַד ווינקל:

– רענטגענ' = רענטגענ קאָס(45°) – י זינד(45°) = 5(קאָס(45°)) – 5(זינד(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– י' = רענטגענ זינד(45°) + י קאָס(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2

אַזוי, די נייע קאָאָרדינאַטן פון D' נאָך ראָטאַציע זענען (0, 5√2).

ראָטאַציע מיטן ראָטאַציע־צענטער נישט בײַם אָנהייב

ראָטאַציעס ווערן נישט שטענדיק דורכגעפירט אַרום דעם אָנהייב. למשל, זאָגן מיר אַז מיר ווילן ראָטירן אַ פּונקט מיטן ראָטאַציע־צענטער (h, k). כּדי דאָס צו טאָן, דאַרפֿן מיר צופּאַסן די קאָאָרדינאַטן ווי פֿאָלגט:

1. טראַנסלירט דעם פּונקט אַזוי אַז (h, k) ווערט דער אָנהייב.
2. ניצט די ראָטאַציע פאָרמולע.
3. איבערזעצן צוריק צו דער אריגינעלער פאזיציע.

בייַשפּיל קשיא 5
פראגע: פונקט E(5, 7) ווערט ראָטירט 90 גראַד קעגן זייגער מיטן צענטער פון ראָטאַציע ביי פונקט (2, 3). באַשטימט די נייע קאָאָרדינאַטן פון פונקט E נאָך דער ראָטאַציע.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

1. איבערזעצן פונקט E צום אָריגין אין באַצוג צו דעם צענטער פון ראָטאַציע (2, 3):
– נייַער פּונקט E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)

2. דריי זיך 90 גראַד קעגן זייגער אַרום דעם נייעם פּונקט:
– רענטגענ' = 3 קאָס (90 °) - 4 זינד (90 °) = -4
– י' = 3 זינד (90 °) + 4 קאָס (90 °) = 3

אַזוי, די קאָאָרדינאַטן נאָך ראָטאַציע זענען (-4, 3).

3. טראַנסלאַציע צוריק צו דער אָריגינעלער פּאָזיציע אין באַצוג צו דעם צענטער פון ראָטאַציע (2, 3):
– ענדפונקט E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)

אַזוי, די נייע קאָאָרדינאַטן פון פּונקט E נאָך ראָטאַציע זענען (-2, 6).

קעסימפּולאַן

אנאליזירן און פארשטיין מאטעמאטישע ראטאציעס איז קריטיש אין פארשידענע אנווענדונגען. דורך די ביישפילן און דיסקוסיעס אויבן, ווערט פון לייענער ערווארטעט צו פארשטיין ווי ראטאציע פארמולעס ארבעטן און ווי זיי קענען ווערן אנגעווענדט אין פארשידענע סיטואציעס. די געניטונג פארשטארקט נישט נאר גרונטלעכע מאטעמאטיק, נאר איז אויך נוצלעך אין אנדערע פעלדער וואס האבן צו טון מיט געאמעטרישע טראנספארמאציעס.