בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע וועגן דער אַפּליקאַציע פֿון אינטעגראַלן אין קאַלקולירן דעם שטח פֿון אַ פֿלאַכער פלאַך
אין מאטעמאטיק לערנען, טרעפט מען אָפט אינטעגראַלן אין קאַלקולוס. איינע פון די מערסט באַקאַנטע אַפּליקאַציעס פון אינטעגראַלן איז צו רעכענען די שטח אונטער אַ קורווע אָדער פלאַך. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוטירן די אַפּליקאַציע פון אינטעגראַלן צו רעכענען די שטח פון אַ פלאַך.
הקדמה צו טעאָריע
איידער מיר גייען ווייטער צום ביישפּיל פּראָבלעם, לאָמיר איבערקוקן דעם גרונט־קאָנצעפּט פון רעכענען דעם שטח אונטער אַ קורווע ניצנדיק אינטעגראַלן. אויב מיר האָבן אַ פֿונקציע f(x) וואָס איז קאָנטינויִערלעך אויף דעם אינטערוואַל [a, b], דאַן איז דער שטח אונטער דער קורווע y = f(x) פֿון x = a ביז x = b:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
געאמעטריש, מיינט דאס אז מיר סומען די שטח פון א זייער דין רעכטעק פון x = a ביז x = b.
בייַשפּיל קשיא 1
סאָאַל
רעכנט אויס די שטח אונטער דער קורווע y = x² אין דעם אינטערוואַל [1, 3].
דיסקוסיע
צו רעכענען די שטח, ניצן מיר דעם אינטעגראל:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
מיר הייבן אָן מיטן געפֿינען דעם אַנטידעריוואַטיוו פֿון \(x^2 \). דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון \(x^2 \) איז \( \frac{x^3}{3} \). דערנאָך ווערט דער אינטעגראַל:
\[ ל = \לענק[ \frac{x^3}{3} \רעכטס]_{1}^{3} \]
געדענקט אז מיר דארפן עוואַלויִרן דעם אַנטידעריוואַטיוו אויף די גרענעצן פון דעם אינטעגראַל:
\[ ל = \( \frac{3^3}{3} \רעכטס) – \( \frac{1^3}{3} \רעכטס) \]
\[ ל = \( \frac{27}{3} \רעכטס) – \( \frac{1}{3} \רעכטס) \]
\[ ל = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ ל = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ ל = \frac{26}{3} \]
אַזוי, די שטח אונטער דער קורווע y = x² פֿון x = 1 ביז x = 3 איז:
\[ \frac{26}{3} \, \text{שטח איינהייט} \]
בייַשפּיל קשיא 2
סאָאַל
באַשטימט די שטח פֿון דער געגנט באַגרענעצט דורך דער קורווע y = x³ און די ליניעס x = 1 און x = 2.
דיסקוסיע
צו רעכענען די שטח, ניצן מיר דעם אינטעגראל:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
ווי געוויינטלעך, הייבן מיר אָן מיטן געפֿינען דעם אַנטידעריוואַטיוו פֿון \(x^3 \). דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון \(x^3 \) איז \( \frac{x^4}{4} \). דער אינטעגראַל ווערט:
\[ ל = \לענק[ \frac{x^4}{4} \רעכטס]_{1}^{2} \]
אָפּשאַצן די גרענעצן פון די אינטעגראַל:
\[ ל = \( \frac{2^4}{4} \רעכטס) – \( \frac{1^4}{4} \רעכטס) \]
\[ ל = \( \frac{16}{4} \רעכטס) – \( \frac{1}{4} \רעכטס) \]
\[ ל = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ ל = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ ל = \frac{15}{4} \]
אַזוי, די שטח אונטער דער קורווע y = x³ פֿון x = 1 ביז x = 2 איז:
\[ \frac{15}{4} \, \text{שטח איינהייט} \]
בייַשפּיל קשיא 3
סאָאַל
באַשטימט דעם שטח פֿון דעם ראַיאָן באַגרענעצט דורך די קורוועס y = x² + 1 און y = 2x + 2 אין דעם אינטערוואַל x = 0 ביז x = 1.
דיסקוסיע
ערשטנס, דארפן מיר געפינען די דורכשניט פונקטן צו באשטימען די גרענעצן פון דער אינטעגראציע. די לייזונג צו \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
ניצן די קוואַדראַטישע פאָרמולע:
[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
\[x = 1 \pm \sqrt{2} \]
אבער, פאר די אויבערשטע און אונטערשטע גרענעצן צווישן 0 און 1, דארפן מיר נישט ניצן די קוואדראטישע לייזונג, נאר די געווענליכע אינטעגראלע גרעניץ פון 0 ביז 1. דערנאך, רעכנט אויס די שטח פון דער אויבערשטער y קורווע מינוס די אונטערשטע y קורווע לויט די גרענעצן:
\[ ל = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
פונקציע סימפליפיקאציע:
\[ ל = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ ל = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
ווייטער, געפינען מיר דעם אנטי-דעריוואטיוו:
דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון (-x²) איז (-x³}{3),
דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון \( (2x) \) איז \( x^2 \),
דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון _((1)_) איז _(x_).
אַזוי אַז,
[ ל = \(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x) \) | _0^1
נעקסטע עוואַלואַציע:
\[ ל = \left[-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ ל = \[-\frac{1}{3} + 1 + 1 \] – \[ 0 \] \]
\[ ל = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ ל = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ ל = \frac{5}{3} \]
אַלזאָ, די שטח פֿון דער געגנט באַגרענעצט דורך די קורוועס y = x² + 1 און y = 2x + 2 אויף דעם אינטערוואַל [0, 1] איז:
\[ \frac{5}{3} \, \text{שטח איינהייט} \]
-
פֿון די אויבן דערמאָנטע ביישפּילן קענען מיר זען ווי אינטעגראַלן קענען גענוצט ווערן צו רעכענען דעם שטח אונטער אַ קורווע אָדער צווישן צוויי קורוועס. מיט אַ ריכטיקן פֿאַרשטאַנד פֿון די גרונטלעכע קאָנצעפּטן פֿון אינטעגראַלן און אַנטידעריוואַטיווע טעכניקן, ווערט רעכענען די שטחים זייער סיסטעמאַטיש און עפֿעקטיוו. האָפֿנטלעך האָט דער אַרטיקל פֿאַרגרעסערט אונדזער פֿאַרשטאַנד פֿון דער אַפּליקאַציע פֿון אינטעגראַלן אין דער רעאַלער וועלט, באַזונדערס אין דעם פֿעלד פֿון מעסטן דעם שטח פֿון פלאַכע פֿלאַכן.
