בייַשפּיל פון וועקטאָר אָפּעראַציע דיסקוסיע פֿראַגעס
וועקטאָר אָפּעראַציעס זענען אַ יסודותדיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק וואָס דערשיינט אָפט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון פֿאָרשונג, ווי פֿיזיק, אינזשעניריע און קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע ביישפּילן פֿון וועקטאָר אָפּעראַציעס און זייערע לייזונגען צו געבן אַ טיפֿערן און מער קאָנקרעטן פֿאַרשטאַנד. די ביישפּילן וועלן דעקן גרונטלעכע אָפּעראַציעס ווי וועקטאָר אַדיציע און סובטראַקציע, ווי אויך מער אַוואַנסירטע אָפּעראַציעס ווי סקאַלאַרע מאַלטיפּליקאַציע און קראָס-וועקטאָר מאַלטיפּליקאַציע.
1. וועקטאָר אַדיציע און סובטראַקציע
בייַשפּיל קשיא 1
געגעבן צוויי וועקטאָרן A און B אין קאָמפּאָנענט פאָרעם:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \\ ענד{pmatrix} \]
רעכנט אויס דעם רעזולטאַט פון צולייגן און סובטראַקציע פון די צוויי וועקטאָרן.
דיסקוסיע
פֿאַר וועקטאָר אַדיציע, לייגן מיר צו יעדן קאָרעספּאָנדירנדיקן קאָמפּאָנענט פֿון די צוויי וועקטאָרן.
[\mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\end{pmatrix} + \\end{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \\end{pmatrix} = \\end{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \\end{pmatrix} = \\end{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \\end{pmatrix}]
פֿאַר וועקטאָר סובטראַקציע, סובטראַקירן מיר יעדן קאָרעספּאָנדירנדיקן קאָמפּאָנענט פֿון ביידע וועקטאָרן.
[\mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\end{pmatrix} – \\end{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \\end{pmatrix} = \\end{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \\end{pmatrix} = \\end{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \\end{pmatrix}]
2. סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע מיט וועקטאָר
בייַשפּיל קשיא 2
געגעבן אַ וועקטאָר C און אַ סקאַלאַר k:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ ענד{pmatrix} \]
\[k = 4 \]
רעכנט אויס דעם סקאלארן פּראָדוקט פֿון וועקטאָר C דורך סקאלאר k.
דיסקוסיע
מאַלטיפּליקאַציע פון אַ סקאַלאַר מיט אַ וועקטאָר ווערט געטאָן דורך מאַלטיפּליקירן יעדן קאָמפּאָנענט פון דעם וועקטאָר מיטן סקאַלאַר.
[k = 4 pmatrix 1 -2 3 pmatrix = 4 1 4 (-2) 4 3 pmatrix = 4 -8 12]
3. פּונקט פּראָדוקט
בייַשפּיל קשיא 3
געגעבן צוויי וועקטאָרן D און E:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \\ ענד{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
רעכנט אויס דעם פּונקט־פּראָדוקט פֿון די צוויי וועקטאָרן.
דיסקוסיע
דער פּונקט־פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן ווערט באַקומען דורך צולייגן די פּראָדוקטן פֿון זייערע קאָרעספּאָנדירנדיקע קאָמפּאָנענטן.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. קראָס פּראָדוקט
בייַשפּיל קשיא 4
געגעבן צוויי וועקטאָרן F און G:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ ענד{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
רעכנט אויס דעם קראָס-פּראָדוקט פֿון די צוויי וועקטאָרן.
דיסקוסיע
דער קראָס פּראָדוקט פון צוויי וועקטאָרן אין אַ דריי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ ווערט באַקומען דורך ניצן דעם דעטערמינאַנט פון דער מאַטריץ וואָס ווערט געשאַפֿן דורך יענע וועקטאָרן. דער קראָס פּראָדוקט ווערט געגעבן דורך דער פֿאָרמולע:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
דאָס קען מען אויסרעכענען אויף דעם פאלגנדן אופן:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} – \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} {vmatrix} + \}}bf 3 & -1 \ענד{וומאַטריק}
\]
אויסרעכענען דעם דעטערמינאנט פון יעדער סובמאַטריק:
\[
= ∫i (3 ⋅2 – 4 ⋅1) – ∫j (2 ⋅2 – 4 ⋅1) + ∫k (2 ⋅1 – 3 ⋅1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) - \mathbf{j} (4 - 4) + \mathbf{ק} (-2 - 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) - \mathbf{j} (0) + \mathbf{ק} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \\ ענד{pmatrix}
\]
אַזוי, דער קראָס פּראָדוקט פון F און G איז:
[\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. באַשטימען דעם ווינקל צווישן צוויי וועקטאָרן
בייַשפּיל קשיא 5
געגעבן צוויי וועקטאָרן H און I:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \\ ענד{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \\ end{pmatrix} \]
באַשטימען דעם ווינקל צווישן די צוויי וועקטאָרן.
דיסקוסיע
דער ווינקל \(\theta\) צווישן צוויי וועקטאָרן קען מען געפֿינען דורך ניצן די באַציִונג צווישן דעם פּונקט־פּראָדוקט און די מאַגניטודן פֿון די צוויי וועקטאָרן:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{איך} = \| \מאַטבף{ה} \| \| \mathbf{איך} \| \cos \theta \]
ערשטנס, רעכנט אויס דעם פּונקט־פּראָדוקט \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
[\mathbf{H} \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
ווייטער, רעכנט אויס די מאַגניטוד פון ביידע וועקטאָרן:
\[ \| \מאַטבף{ה} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{איך} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
דערנאך, שטעלט אריין די ווערטן אין די ווינקל פאָרמולע:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \מאַטבף{ה} \| \| \mathbf{איך} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
[טהעטאַ = קאאָס^{-1} (פראַקציע{8}{7\sqrt{21} רעכטס)]
אלס א לעצט רעזולטאט, קענען מיר ניצן דעם קאלקולאטאר צו געפינען דעם ווערט פונעם ווינקל:
\[ טהעטאַ \אַפּפּראָקס 73,4^\circ \]
קעסימפּולאַן
דער באַגריף פֿון וועקטאָר אָפּעראַציעס איז קריטיש אין מאַטעמאַטיק און וויסנשאַפֿט. דער אַרטיקל דיסקוטירט עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען, פֿון וועקטאָר אַדיציע און סובטראַקציע, סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע, פּונקט פּראָדוקט, קראָס פּראָדוקט, און באַשטימען דעם ווינקל צווישן צוויי וועקטאָרן. דורך דורכאַרבעטן די ביישפילן, האָפן מיר צו פֿאַרבעסערן אייער פֿאַרשטאַנד פֿון וועקטאָר אָפּעראַציעס און העלפֿן אייך סאָלווען פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט וועקטאָרן אין פֿאַרשידענע קאָנטעקסטן.
