בייַשפּיל פון קלענסטע קוואַדראַטן מעטאָד דיסקוסיע פֿראַגעס
די קלענסטע קוואַדראַטן מעטאָדע (LEM) איז אַ סטאַטיסטישע מעטאָדע געניצט צו געפֿינען די ליניע פון בעסטער פּאַסיק וואָס פֿאָרויסזאָגט דאַטן אויף דעם עפֿעקטיווסטן אופן. די מעטאָדע ווערט אָפֿט געניצט אין לינעאַרער רעגרעסיע אַנאַליז צו דעטעקטירן די באַציִונג צווישן אומאָפּהענגיקע און אָפּהענגיקע וועריאַבלען. דער אַרטיקל וועט דעקן די גרונטלעכע קאָנצעפּטן פֿון דער קלענסטע קוואַדראַטן מעטאָדע, צוזאַמען מיט ביישפּילן און שריט-פֿאַר-שריט דערקלערונגען פֿאַר אַ טיפֿערן פֿאַרשטאַנד פֿון ווי די מעטאָדע אַרבעט.
גרונטלעכע קאנצעפטן פון דער קלענסטער קוואדראטן מעטאד
די ציל פון דער קלענסטע קוואדראטן מעטאָדע איז צו מינימיזירן די סומע פון די קוואַדראַטן פון די אונטערשיידן צווישן די באַאָבאַכטע ווערטן און די ווערטן פאָרויסגעזאָגט דורך די רעגרעסיע מאָדעל. די גלייכונג פון אַ פּשוט לינעאַר רעגרעסיע ליניע קען געשריבן ווערן ווי:
\[ y = a + bx \]
וואו:
– \(y \) איז די אפהענגיקע וועריאַבל,
– \(x \) איז די אומאפהענגיקע וועריאַבל,
– \(a \) איז דער אינטערסעפּשאַן (דער ווערט פון \(y \) ווען \(x = 0 \)),
– \(b \) איז די שיפּוע פֿון דער ליניע (שיפּוע, אדער רעגרעסיע קאָעפֿיציענט).
די קלענסטע קוואַדראַטן מעטאָדע שאַצט די פּאַראַמעטערס \(a \) און \(b \) וואָס מינימיזירן די פאלגענדע פונקציע:
[\text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
וואו SSE איז די סומע פון קוואַדראַטישע טעותים, \(y_i \) איז דער פאַקטישער ווערט, און \( \hat{y_i} = a + bx_i \) איז דער פאָרויסגעזאָגטער ווערט.
קלענסטע קוואַדראַטן מעטאָד טריט
כדי צו קלארשטעלן דעם באַגריף, וועלן מיר סאָלווען אַ בייַשפּיל פּראָבלעם וואָס ינוואַלווז די נוצן פון די קלענסטע קוואַדראַטן מעטאָד.
פראבלעמען ביישפיל
געגעבן די פאלגענדע דאטן:
| x (לערן שעה) | y (עקזאַמען רעזולטאַט) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
באַשטימען די לינעאַרע רעגרעסיע ליניע וואָס פּאַסט בעסטן צו די דאַטן.
דיסקוסיע
1. אויסרעכענען דעם דורכשניט פון \( \bar{x} \) און \( \bar{y} \)
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. אויסרעכענען דעם פאראמעטער \(b \) (סלאָופּ)
דער פּאַראַמעטער \(b \) ווערט אויסגערעכנט דורך:
\[
ב = \frac{\sum(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum(x_i – \bar{x})^2}
\]
אויסרעכענען יעדן קאָמפּאָנענט:
\[
(x_i – x)(y_i – y) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
אַזוי אַז:
\[
ב = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. אויסרעכענען דעם פּאַראַמעטער \(a \) (אינטערסעפּט)
ניצנדיק דעם דורכשניט פון \( \bar{x} \) און \( \bar{y} \):
\[
a = \bar{y} – b \bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. שרייבן די רעגרעסיע ליניע גלייכונג
מיט די געפונענע פאראמעטערס, קענען מיר שרייבן די גלייכונג פון דער רעגרעסיע ליניע:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
אינטערפּרעטאַציע און וועריפיקאַציע
כדי צו זיכער מאכן אז די רעגרעסיע ליניע פאסט, קענען מיר אויסרעכענען דעם פאראויסגעזאגטן y-ווערט (\(\hat{y}\)) פאר יעדן x אין די אנפאנגס דאטן, ווי אויך אויסרעכענען די סומע פון קוואדראטישע טעותים (SSE) כדי צו באשטעטיגן די גענויקייט פון דער פאראויסזאגונג.
| רענטגענ | י | \(\האט{י}\) | \((י - \האַט{י})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
ססע:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
מיט אַ רעלאַטיוו קליינעם SSE, קענען מיר אויספירן אַז די רעגרעסיע ליניע וואָס איז פּראָדוצירט געוואָרן דורך דער קלענסטער קוואַדראַטן מעטאָדע איז אַ גוטע פּאַסיק פֿאַר די דאַטן.
קעסימפּולאַן
די קלענסטע קוואדראטן מעטאד איז א שטארק סטאטיסטישער אנאליז געצייג פארן באשטימען די בעסטע-פאס ליניע פאר א דאטן-זאמלונג, מינימיזירנדיג פאראויסזאגונגס-פעלער באזירט אויף דעם קוואדראט פון די אפווייכונגען. דורך ניצן די טריט פון אויסרעכענען דעם דורכשניט, שאצן דעם שיפּוע און אינטערסעפּציע, און שרייבן און וועריפיצירן די רעגרעסיע ליניע גלייכונג, קענען מיר גענוי פאראויסזאגן דעם ווערט פון דער אפהענגיקער וועריאַבל פון די אומאפהענגיקע וועריאַבלן.
א גוט פארשטאנד פון דעם מעטאד איז גאר נוצלעך אין פעלדער ווי עקאנאמיק, ביאסטאטיסטיק, אינזשעניריע, און די סאציאלע וויסנשאפטן, וואו רעגרעסיע אנאליז ווערט אפט גענוצט. דער ארטיקל, מיט קאנקרעטע ביישפילן, אילוסטרירט די וויכטיקייט און נוצלעכקייט פון דעם מעטאדאלאגיע אין דאטן אנאליז.
