בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע וועגן קרייזן און אַקאָרדן
דער קרייז איז איינע פון די גרונטלעכע געאמעטרישע פארמען וואס מען שטודירט אָפט אין מאַטעמאַטיק. איין וויכטיקער באַגריף אין באַצוג צו קרייזן איז דער אַקאָרד, וואָס איז אַ ליניע וואָס פֿאַרבינדט צוויי פּונקטן אויף אַ קרייז אָן דורכגיין דעם צענטער. פֿאַרשטיין קרייזן און אַקאָרדן איז וויכטיק פֿאַר שטודירן געאמעטריע. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס אין באַצוג צו קרייזן און אַקאָרדן צו פֿאַרטיפֿן אונדזער פֿאַרשטאַנד פֿון די באַגריפֿן.
גרונטלעכע פארשטאנד
לינגקאַראַן
א קרייז איז א זאמלונג פון אלע פונקטן אין א פלאך וואס זענען גלייך ווייט פון א געגעבענעם פונקט גערופן דער צענטער. אויב דער צענטער פונעם קרייז איז פונקט O און דער ראדיוס פונעם קרייז איז r, דעמאלט קען מען אויסדריקן דעם קרייז מיט דער גלייכונג (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² אין קארטעזישער פארעם.
בויגן-שטריקל
אן אקארד אין א קרייז איז א ליניע וואס פארבינדט צוויי פונקטן אויפן קרייז. די לענג פון אן אקארד ווענדט זיך נישט נאר אין ראדיוס פונעם קרייז, נאר אויך אין גרייס פונעם צענטראלן ווינקל וואס קוקט אים אן.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
פראגע 1:
פראגע: געגעבן א קרייז מיט א ראדיוס פון 10 ס״מ און א קארד AB מיט א לענג פון 16 ס״מ. באשטימט די קירצסטע דיסטאַנץ פון דעם צענטער פון קרייז צום קארד.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפינען די דיסטאַנץ פון דעם צענטער פון דעם קרייז צום אַקאָרד, קענען מיר נוצן די רעכט-דרייעק פאָרמולע געפאָרמט צווישן דעם ראַדיוס, די דיסטאַנץ פון דעם צענטער צום אַקאָרד, און האַלב די לענג פון דעם אַקאָרד.
לאָמיר זאָגן אַז פּונקט O איז דער צענטער פֿון קרייז און פּונקט P איז דער פּונקט אין מיטן פֿון אַקאָרד AB, וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו AB. אַזוי, OP איז די דיסטאַנץ פֿון צענטער פֿון קרייז O ביז אַקאָרד AB.
אין טרייענגל OAP (רעכטער טרייענגל ביי P), קענען מיר אָנווענדן דעם פּיטהאַגאָרעאַן טעאָרעם:
OP² + AP² = OA²
מיר ווייסן אַז:
– OA (ראַדיוס פון קרייז) = 10 ס״מ
– AB (לענג פון די בויגן-שטריקל) = 16 ס״מ, אַזוי AP = 16/2 = 8 ס״מ.
שטעל אריין די באקאנטע ווערטן אין דער גלייכונג:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
אָפּ = √36
אָפּ = 6
אַלזאָ, די קירצסטע דיסטאַנץ פֿון צענטער פֿון קרייז ביזן אַקאָרד איז 6 ס״מ.
פראגע 2:
פראגע: א קרייז מיטן צענטער O האט א ראדיוס פון 8 ס״מ. דער אקארד AB פארמירט א צענטראלן ווינקל ∠AOB פון 120°. באשטימט די לענג פון דעם אקארד AB.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
צו רעכענען די לענג פון דעם אַקאָרד וואָס פאָרמירט דעם צענטראלן ווינקל (θ), קענען מיר נוצן די פאָרמולע:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
וואו:
– r איז דער ראַדיוס פֿון דעם קרייז (8 ס״מ אין דער פֿראַגע)
– θ איז דער ווינקל געמאכט דורך דעם אַקאָרד אין צענטער פון דעם קרייז (120° אין דעם פּראָבלעם)
פאַרבייטן די באַקאַנטע ווערטן:
אַב = 2 × 8 סענטימעטער × זינד (120 °/2)
AB = 16 ס״מ × סינוס (60°)
AB = 16 ס״מ × (√3 / 2)
AB = 8√3 ס״מ
אַלזאָ, די לענג פֿון דעם אַקאָרד AB איז 8√3 ס״מ.
פראגע 3:
פראגע: א קרייז מיט א ראדיוס פון 13 ס״מ און אן אקארד AB איז 5 ס״מ פון צענטער פונעם קרייז. באשטימט די לענג פון אקארד AB.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
אין דעם פאַל, קענען מיר ניצן דעם רעכטן דרייעק וואָס איז געפאָרעמט צו געפֿינען די לענג פֿון דעם אַקאָרד. לאָמיר זאָגן אַז פּונקט O איז דער צענטער פֿון קרייז, פּונקט P איז דער פּונקט אויף דעם אַקאָרד וואָס איז נאָענט צום צענטער, און AB איז דער אַקאָרד.
מיר ווייסן:
– OA (ראַדיוס פון קרייז) = 13 ס״מ
– OP (צענטער דיסטאַנץ צום בויגן-שטריקל) = 5 ס״מ.
אין דעם פּענסיאָנער דרייעק:
OP² + AP² = OA²
מיר געפֿינען AP (האַלב די לענג פֿון דעם אַקאָרד):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
אַפּ = √144
אַפּ = 12
אַלזאָ, די לענג פֿון דעם אַקאָרד AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 ס״מ.
פראגע 4:
פראגע: געגעבן א קרייז מיט א ראדיוס פון 10 ס״מ. אן אקארד AB האט א לענג פון 12 ס״מ. באשטימט די גרייס פון דעם צענטראלן ווינקל ∠AOB.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
אין דעם פאַל, דאַרפֿן מיר ניצן די אומגעקערטע פֿון דער טריגאָנאָמעטרישער פֿונקציע צו באַשטימען דעם צענטראלן ווינקל ∠AOB. באַזירט אויף דער פֿאָרמולע פֿאַר דער לענג פֿון אַן אַקאָרד וואָס נעמט אַרײַן דעם צענטראלן ווינקל θ, קענען מיר איבערשרײַבן די פֿאָרמולע צו רעכענען θ:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
וואו:
– r איז דער ראַדיוס פֿון דעם קרייז (10 ס״מ)
– AB איז די לענג פון די בויגן-שטריקל (12 ס״מ)
שטעלט אויף אן גלייכונג צו אפגעזונדערן sin(θ/2):
12 = 2 × 10 × זינד(θ/2)
12 = 20 × זינד(θ/2)
זינד(θ/2) = 12/20
זינד(θ/2) = 0.6
געפינט דעם ווערט פון θ/2:
θ/2 = זינד^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
אַזוי,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
אַזוי, דער צענטראַלער ווינקל ∠AOB איז 73.74°.
קעסימפּולאַן
שטודירן קרייזן און אקארדן פארלאנגט א פארשטאנד פון גרונטלעכע געאמעטריע און טריגאנאָמעטריע. אין די ביישפילן אויבן, האבן מיר געזען ווי אזוי צו ניצן פארשידענע פארמלען און טעארעמען, ווי צום ביישפיל דער פיטאגאראס טעארעם, טריגאנאָמעטרישע פונקציעס, און גרונטלעכע אייגנשאפטן פון קרייזן, צו לייזן פראבלעמען.
דורך די פראקטיק פראבלעמען, האפט מען אז מען קען דערגרייכן א טיפערן פארשטאנד פון די באציאונג צווישן דעם ראדיוס, קארד לענג, און דעם רעזולטירנדיקן צענטראלן ווינקל. פארשטיין דעם באגריף איז נוצלעך נישט נאר אין שולע מאטעמאטיק, נאר אויך אין טעגליכע אנווענדונגען אין פארשידענע פעלדער פון וויסנשאפט און אינזשעניריע.
