ביישפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן דעם קאָעפֿיציענט פֿון באַשטימונג
דער קאעפיציענט פון באשטימונג (R²) איז א וויכטיגער פאראמעטער אין רעגרעסיע אנאליז, וואס ווייזט ווי גוט א רעגרעסיע מאדעל דערקלערט די פאקטישע וועריאביליטעט פון די דאטן. אין דעם ארטיקל וועלן מיר מסביר זיין דעם קאנצעפט פון דעם קאעפיציענט פון באשטימונג דורך א דעטאלירטן ביישפיל און דיסקוסיע.
גרונט־קאָנצעפּט פֿון קאָעפֿיציענט פֿון באַשטימונג
דער קאעפיציענט פון באשטימונג אדער \(R^2 \) ווערט געמאסטן אויף א סקאלע פון 0 ביז 1, וואו:
– \( R^2 = 0 \) ווײַזט אָן אַז דער רעגרעסיע מאָדעל איז בכלל נישט ביכולת צו דערקלערן די וועריאַביליטי פון די דאַטן.
– \( R^2 = 1 \) ווייזט אז די רעגרעסיע מאָדעל איז ביכולת צו דערקלערן אַלע די וועריאַביליטי פון די דאַטן פּערפעקט.
די גרונט־פאָרמולע פֿאַר אויסרעכענען דעם קאָעפֿיציענט פֿון באַשטימונג איז:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
וואו:
– SSR (סומע פון קוואַדראַטישע רעזידועלן) איז די סומע פון די קוואַדראַטן פון די אונטערשיידן צווישן די ווערטן פאָרויסגעזאָגט דורך דעם מאָדעל און די פאַקטישע ווערטן.
– SST (טאָטאַל סומע פון קוואַדראַטן) איז די סומע פון די סומע פון די קוואַדראַטן פון די אונטערשיידן צווישן דעם פאַקטישן ווערט און דעם דורכשניט פון די פאַקטישע ווערטן.
פראבלעמען ביישפיל
לאָמיר דיסקוטירן אַ בייַשפּיל פּראָבלעם צו פֿאַרשטיין די קאַלקולאַציע פֿון דעם קאָעפֿיציענט פֿון באַשטימונג אין מער טיפֿקייט.
פראבלעמען ביישפיל:
לאָמיר זאָגן מיר האָבן דאַטן וועגן דער צאָל לערן שעה (X) און עקזאַמען סקאָרז (Y) פון 10 סטודענטן:
| סטודענטן | לערן שעה (X) | עקזאַמען כעזשבן (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
מיר וועלן שאַפֿן אַ פּשוט לינעאַר רעגרעסיע מאָדעל, וואו עקזאַמען סקאָרז (Y) ווערן פאָרויסגעזאָגט באַזירט אויף לערן שעה (X).
דיסקוסיע
1. בויען א פשוטע לינעארע רעגרעסיע מאָדעל
א פשוטע לינעארע רעגרעסיע מאָדעל האט די פאָרעם:
\[Y = a + bX \]
וואו:
– \(Y \) איז דער פאראויסגעזאגטער טעסט רעזולטאט.
– \(X \) איז די צאָל לערן שעה.
– \(a \) איז דער אינטערסעפּשאַן (דער פונקט פון דורכשניט אויף דער Y אַקס ווען X = 0).
– \(b \) איז די שיפּוע (נייגונג פון דער רעגרעסיע ליניע).
צו רעכענען די פּאַראַמעטערס \(a \) און \(b \), ניצן מיר די פאלגענדע פאָרמולע:
[b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
[a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
וואו \(n \) איז די צאָל דאַטן (אין דעם פאַל n = 10).
פֿון דער טאַבעלע קענען מיר אויסרעכענען:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
לאָמיר ערשט אויסרעכענען b:
[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
[b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296}]
[b = \frac{416}{104} \]
\[ ב = 4 \]
דערנאך, רעכענען מיר אויס א:
[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
[a = \frac{704 – 144}{10} \]
[a = \frac{560}{10} \]
\[a = 56 \]
אַזוי, די לינעאַר רעגרעסיע מאָדעל וואָס מיר באַקומען איז:
\[Y = 56 + 4X \]
2. רעכענען אויס דעם פאראויסגעזאגטן ווערט (Y')
ווייטער, רעכענען מיר אויס דעם פאראויסגעזאגטן ווערט \(Y' \) פאר יעדן \(X \):
| סטודענטן | לערן שעה (X) | עקזאַמען כעזשבן (Y) | פאָרויסגעזאָגטע כעזשבן (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. אויסרעכענען SSR און SST
ווייטער, רעכענען מיר אויס SSR און SST צו באַקומען \( R^2 \).
ססר:
[SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
וואו:
[\bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. אויסרעכענען דעם קאעפיציענט פון באשטימונג \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
קעסימפּולאַן
פֿון דער אויבנדערמאָנטער חשבון האָבן מיר באַקומען אַ קאָעפֿיציענט פֿון באַשטימונג (R2 = 0.59). דאָס ווײַזט אָן אַז דער לינעאַרער רעגרעסיע מאָדעל וואָס מיר האָבן באַשאַפֿן קען דערקלערן אַרום 59% פֿון דער וועריאַביליטי אין עקזאַמען סקאָרס באַזירט אויף לערן שעה. די איבעריקע 41% פֿון דער וועריאַביליטי קען זײַן צוליב אַנדערע פֿאַקטאָרן וואָס זענען נישט אַרײַנגערעכנט אין מאָדעל.
דורך פֿאַרשטיין די טריט און קאַלקולאַציעס אויבן, קענען מיר זען די וויכטיקייט פֿון דעם קאָעפֿיציענט פֿון באַשטימונג אין אָפּשאַצן ווי גוט דער רעגרעסיע מאָדעל וואָס מיר בויען דערקלערט די פאַקטישע וועריאַביליטי פֿון די דאַטן. דאָס איז אַ זייער נוציק געצייַג אין סטאַטיסטישער אַנאַליז און דאַטן מאָדעלירונג.
