בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע פֿון קרייז סעקטאָרן
סעקטאָרן פון אַ קרייז זענען אַ וויכטיקע טעמע אין מאַטעמאַטיק וואָס דערשיינט אָפט אין עקזאַמענס און פּראַקטיק פֿראַגעס. אַ סעקטאָר איז דער טייל פון אַ קרייז באַגרענעצט דורך צוויי ראַדיוסן און דעם באָגן וואָס פֿאַרבינדט זיי. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען אויף סעקטאָרן פון אַ קרייז, צוזאַמען מיט דעטאַלירטע דערקלערונגען, צו פֿאַרטיפֿן אונדזער פֿאַרשטאַנד.
דעפֿיניציע פֿון אַ קרייז סעקטאָר
א סעקטאָר פֿון אַ קרייז איז אַ סעקטאָר פֿון אַ קרייז באַגרענעצט דורך צוויי ראַדיוסן און איין בויגן. די שטח פֿון אַ סעקטאָר ווערט אויסגערעכנט באַזירט אויף אַ בראָכצאָל פֿון דער גאַנצער שטח פֿונעם קרייז. די הויפּט פֿאָרמולע געניצט צו אויסרעכענען אַ סעקטאָר איז ווי פֿאָלגט:
– שטח פון דזשורינג: [L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– באָגן לענג: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
וואו:
– \( \theta \) איז די גרייס פון דעם סעקטאָר ווינקל אין גראַד,
– \(r \) איז דער ראַדיוס פֿון דעם קרייז,
– \( \pi \) איז אַ קאָנסטאַנט (אומגעפער 3.14159).
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
פראגע 1:
געגעבן אַ קרייז מיט אַ ראַדיוס פון 10 ס״מ און אַ סעקטאָר מיט אַ צענטראלן ווינקל פון 90°. רעכנט אויס די שטח פון דעם סעקטאָר.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
– \(r = 10 \) ס״מ
– \( טהעטאַ = 90^\circ \)
מיר ניצן די פֿאָרמולע פֿאַר דער שטח פֿון אַ סעקטאָר:
[L_דזשורינג = \frac{\theta}{360^\circ} \times π \times r^2\]
[L_דזשורינג = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ ס״מ})^2\]
\[L_דזשורינג = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ ס״מ}^2\]
\[L_דזשורינג = 25\פּי\טעקסט{ סענטימעטער}^2\]
אויב π ווערט גענומען צו זיין 3.14, דעמאָלט:
\[L_דזשורינג = 25 \times 3.14\text{ ס״מ}^2 = 78.5\text{ ס״מ}^2\]
אַזוי, די שטח פון דעם סעקטאָר איז 78.5 קוביק סענטימעטער.
פראגע 2:
א סעקטאָר פון אַ קרייז האט אַ ראַדיוס פון 7 ס״מ און אַ בויגן לענג פון 11 ס״מ. באַשטימט דעם צענטראלן ווינקל פון דעם סעקטאָר אין ראַדיאַנען.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
– \(r = 7 \) ס״מ
– באָגן לענג \( P_b = 11 \text{ ס״מ} \)
מיר ניצן די בויגן לענג פאָרמולע צו געפֿינען דעם ווינקל \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
זינט מיר ווערן געבעטן צו געפֿינען דעם ווינקל אין ראַדיאַנען, פֿאַרבײַטן מיר 360° מיט ∫(2π) ראַדיאַנען:
\[P_b = θικο מאָל r\]
\[11 = \theta \מאל 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \approx 1.57 \text{ ראַד}\]
אַזוי, דער צענטראַלער ווינקל פֿון דעם סעקטאָר איז 1.57 ראַדיאַנס.
פראגע 3:
א קרייז מיט א ראַדיוס פון 16 ס״מ האט א סעקטאָר מיט א שטח פון 200 קוביק סענטימעטער. רעכנט אויס דעם צענטראלן ווינקל פון דעם סעקטאָר.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
– \(r = 16 \) ס״מ
– \( ל_דזשורינג = 200 \טעקסט{ סענטימעטער}^2 \)
מיר ניצן די שטח־פאָרמולע פֿאַר אַ סעקטאָר צו געפֿינען θεικος:
[L_דזשורינג = \frac{\theta}{360^\circ} \times π \times r^2\]
[200 = (360°C) × π × (16)²]
[200 = (δηνερ/δη)=360 × π × 256]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times π}{360^\circ}\]
\[200 × 360^\circ = \theta × 256 × 3.14\]
72000 = טהעטאַ מאָל 256 מאָל 3.14
\[72000 = \theta \מאל 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \אומגעפער 89.45^\circ\]
אַלזאָ, דער צענטראַלער ווינקל פֿון דעם סעקטאָר איז אַרום 89.45°.
פראגע 4:
רעכנט אויס דעם גאַנצן אַרומקרייז פֿון אַ סעקטאָר וואָס האָט אַ ראַדיוס פֿון 12 ס״מ און אַ צענטראַלער ווינקל פֿון 120°.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
– \(r = 12 \) ס״מ
– \( טהעטאַ = 120^\circ \)
ערשטנס, געפינען מיר די לענג פון די בויגן:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2π \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\פּי\טעקסט{ סענטימעטער}\]
דערנאך, רעכענען מיר אויס דעם ארומקרייז פונעם סעקטאָר (בויגן לענג + צוויי ראַדיוסן):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \× 12\text{ ס״מ} + 8\π\text{ ס״מ}\]
\[K = 24\טעקסט{ ס״מ} + 8\פּי\טעקסט{ ס״מ}\]
אויב π ווערט גענומען צו זיין 3.14, דעמאָלט:
\[K = 24\טעקסט{ ס״מ} + 8 \מאַל 3.14\טעקסט{ ס״מ}\]
\[K = 24\טעקסט{ ס״מ} + 25.12\טעקסט{ ס״מ}\]
\[K = 49.12\טעקסט{ סענטימעטער}\]
אַלזאָ, דער גאַנצער אַרומנעם פֿון דעם סעקטאָר איז 49.12 ס״מ.
פראגע 5:
אויב אַ קרייז מיט אַ ראַדיוס פֿון 18 ס״מ האָט אַ סעקטאָר וואָס מאַכט אַ ווינקל פֿון 45°, באַשטימט די לענג פֿון דעם באָגן און די שטח פֿון דעם סעקטאָר.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
– \(r = 18 \) ס״מ
– \( טהעטאַ = 45^\circ \)
1. באָגן לענג:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ ס״מ}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\π\text{ ס״מ}\]
\[P_b = 4.5\פּי\טעקסט{ סענטימעטער}\]
אויב π ווערט גענומען צו זיין 3.14, דעמאָלט:
\[P_b = 4.5 מאָל 3.14 סענטימעטער \אַפּפּראָקס 14.13 סענטימעטער\]
אַזוי, די לענג פון די באָגן איז וועגן 14.13 סענטימעטער.
2. סעקטאָר געגנט:
[L_דזשורינג = \frac{\theta}{360^\circ} \times π \times r^2\]
[L_דזשורינג = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ ס״מ})^2\]
\[L_דזשורינג = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ ס״מ}^2\]
\[L_דזשורינג = 40.5\פּי\טעקסט{ סענטימעטער}^2\]
אויב π ווערט גענומען צו זיין 3.14, דעמאָלט:
\[L_דזשורינג = 40.5 \times 3.14\text{ ס״מ}^2 \approx 127.17\text{ ס״מ}^2\]
אַזוי, די שטח פון דעם סעקטאָר איז אַרום 127.17 קוביק סענטימעטער.
קעסימפּולאַן
אין דעם אַרטיקל, האָבן מיר דיסקוטירט עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען וועגן סעקטאָרן פון אַ קרייז און זייערע לייזונגען. די עסענץ פון פֿאַרשטיין סעקטאָרן פון אַ קרייז ליגט אין באַהערשן די גרונט פֿאָרמולעס פֿאַר רעכענען די שטח פון אַ סעקטאָר און די לענג פון אַ בויגן. אָפטע פּראַקטיק און פֿאַרשטיין ווי צו צולייגן די פֿאָרמולעס צו פֿאַרשידענע טיפּן פּראָבלעמען וועט האָפֿנטלעך העלפֿן פֿאַרבעסערן דיין פיייקייט צו סאָלווען ענלעכע פּראָבלעמען.
