בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן די שייכות צווישן באָגן לענג און סעקטאָר שטח
אין געאמעטריע לעקציעס, ספּעציעל אין לערנען קרייזן, טרעפן מיר אָפט די קאָנצעפּטן פון בויגן לענג און סעקטאָר שטח. די צוויי קאָנצעפּטן זענען קריטיש פֿאַר פֿאַרשטיין פֿאַרשידענע געאמעטרישע דערשיינונגען וואָס האָבן צו טאָן מיט קרייזן. לאָמיר ערשט דערקלערן די צוויי קאָנצעפּטן איידער מיר געבן בייַשפּיל פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען.
באָגן לענג
די באָגן לענג איז די דיסטאַנץ אויפן באָגן צווישן צוויי פונקטן אויף אַ קרייז. צו רעכענען די באָגן לענג פון אַ קרייז, דאַרפן מיר געוויינטלעך דעם ראַדיוס פון דעם קרייז (r) און דעם צענטראלן ווינקל (θ) דורך וועלכן דער באָגן גייט אין ראַדיאַנס. די פאָרמולע פֿאַר רעכענען די באָגן לענג (s) קען געשריבן ווערן ווי פאלגנד:
\[ s = r \times \theta \]
אויב דער צענטראלער ווינקל ווערט געגעבן אין גראַדן, מוזן מיר ערשט עס קאָנווערטירן צו ראַדיאַנען דורך:
\[ \theta_{ראַדיאַנס} = \theta_{גראַד} \times \frac{\pi}{180} \]
שטח פון סעקטאָר
א סעקטאָר איז אַ טייל פֿון אַ קרייז באַגרענעצט דורך צוויי ראַדיוסן און דעם בויגן צווישן זיי. כּדי צו רעכענען די שטח פֿון אַ סעקטאָר, ניצן מיר דעם ראַדיוס פֿונעם קרייז (r) און דעם צענטראלן ווינקל (θ). די פֿאָרמולע פֿאַר רעכענען די שטח פֿון אַ סעקטאָר (A) איז:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
ווי מיט באָגן לענג, אויב דער צענטראלער ווינקל ווערט געמאָסטן אין גראַד, מוזן מיר עס ערשט קאָנווערטירן צו ראַדיאַנען.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
כדי צו קלארשטעלן דעם באַגריף פון באָגן לענג און סעקטאָר שטח, לאָמיר איבערקוקן די פאלגענדע בייַשפּיל פֿראַגעס און זייערע דיסקוסיעס.
פראגע 1:
געגעבן אַ קרייז מיט אַ ראַדיוס פון 10 ס״מ און אַ צענטראלן ווינקל פון 60 גראַד, רעכנט אויס די לענג פון דעם באָגן און די שטח פון דעם סעקטאָר וואָס ווערט געפאָרעמט דורך דעם ווינקל.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. אויסרעכענען די לענג פון דער בויגן:
– ערשטנס, מיר קאָנווערטירן דעם ווינקל פֿון גראַדן צו ראַדיאַנען:
[טהעטאַ = 60 מאָל \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \text{ראַדיאַן} \]
– ניצן די בויגן לענג פאָרמולע:
\[ s = r \times \theta \]
\[ s = 10 \times \frac{\pi}{3} \]
[s = \frac{10π}{3} \, \text{cm} \]
2. אויסרעכענען די שטח פון א סעקטאָר:
– ניצן די פאָרמולע פֿאַר די שטח פֿון אַ סעקטאָר:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
[A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} \]
[A = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\pi}{3} \]
[A = \frac{100\pi}{6} \]
[A = \frac{50\pi}{3} \, \text{cm}^2 \]
אַלזאָ, די לענג פֿון דעם בויגן איז 10 ס״מ, און די שטח פֿון דעם סעקטאָר איז 50 ס״מ².
פראגע 2:
א קרייז האט א ראַדיוס פון 7 ס״מ און א צענטראלן ווינקל אונטערגעשפּאַרט דורך א בויגן פון 2 ראַדיאַנען. באַשטימט די לענג פון דעם בויגן און די שטח פון דעם סעקטאָר פון דעם קרייז.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. אויסרעכענען די לענג פון דער בויגן:
– דער צענטראלער ווינקל איז שוין אין ראַדיאַנער, אַזוי מיר קענען גלייך נוצן די פאָרמולע פֿאַר דער לענג פֿון דער בויגן:
\[ s = r \times \theta \]
\[ s = 7 \מאל 2 \]
\[ s = 14 \, \text{cm} \]
2. אויסרעכענען די שטח פון א סעקטאָר:
– ניצן די פאָרמולע פֿאַר די שטח פֿון אַ סעקטאָר:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
[A = \frac{1}{2} \times 7^2 \times 2 \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 49 \times 2 \]
\[ A = 49 \, \text{cm}^2 \]
אַזוי, די לענג פון די באָגן איז 14 סענטימעטער, און די שטח פון די סעקטאָר איז 49 סענטימעטער².
פראגע 3:
א קרייז מיט א ראַדיוס פון 12 ס״מ האט א סעקטאָר וועמענס בויגן לענג איז 15 π ס״מ. באַשטימט דעם צענטראלן ווינקל אין גראַדן און די שטח פון דעם סעקטאָר.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. באַשטימען דעם צענטראלן ווינקל:
– ניצן די בויגן לענג פאָרמולע צו געפֿינען דעם צענטראלן ווינקל:
\[ s = r \times \theta \]
[15 פּי = 12 מאָל טהעטאַ]
[טהעטאַ = \frac{15π}{12} \]
[טהעטאַ = \frac{5π}{4} \, \text{ראַדיאַן} \]
– קאָנווערטירן צענטראלן ווינקל צו גראַד:
[טהעטאַ = \frac{5π}{4} \times \frac{180π}{π}]
[טהעטאַ = \frac{5 \times 180}{4} \]
\[ \theta = 225 \, \text{גראַד} \]
2. אויסרעכענען די שטח פון א סעקטאָר:
– ניצן די פאָרמולע פֿאַר די שטח פֿון אַ סעקטאָר:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
[A = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{5π}{4} \]
[A = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5π}{4} \]
[A = 72 מאָל 5 פּי/4]
[A = 90µπ, ס״מ²]
אַלזאָ, דער צענטראַלער ווינקל פֿון דעם סעקטאָר איז 225 גראַד, און די שטח פֿון דעם סעקטאָר איז 90\(\pi\) cm².
קעסימפּולאַן
פֿאַרשטיין די באַציִונג צווישן באָגן לענג און סעקטאָר שטח ריקווייערז אַ גרונטיק פֿאַרשטאַנד פון די גרונט פּרינציפּן פון קרייזן און די ריכטיק נוצן פון פאָרמולעס. דורך די פּראַקטיק פּראָבלעמען אויבן, קענען מיר זען די וויכטיקייט פון מאַסטערינג ווינקל קאַנווערזשאַנז און דירעקט אַפּלייינג פאָרמולעס אין די קאָנטעקסט פון קייַלעכדיק געאָמעטריע. יעדער שריט אין די פּראָבלעם דיסקוסיע העלפּס אונדז פֿאַרשטיין ווי די פאָרמולעס אַרבעטן און ווי צו אַפּלייינג זיי יפעקטיוולי.
דורך ווייטער פּראַקטיצירן און פֿאַרשטיין די גרונטפּרינציפּן וואָס זענען דערקלערט געוואָרן, וועלן מיר ווערן מער באַהאַוונט אין סאָלווען פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט באָגן לענג און סעקטאָר שטח, און דאָס וועט זיין זייער נוצלעך אין פֿאַרשידענע מאַטעמאַטישע און אַנדערע וויסנשאַפֿטלעכע אַפּליקאַציעס.
