בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון אינדזשעקטיווע, סורגישעטיווע און ביִעקטיווע פֿונקציעס
די דעפֿיניציע פֿון אַ פֿונקציע און איר נוצלעכקייט אין מאַטעמאַטיק איז אָפֿט אַ פֿאַרכאַפּנדיקע טעמע פֿון דיסקוסיע. אין דעם קאָנטעקסט טרעפֿן מיר אָפֿט טערמינען ווי אינדזשעקטיווע, סורייקטעווע און ביִעקטיווע פֿונקציעס. פֿאַרשטיין די דריי טיפּן פֿונקציעס איז קריטיש פֿאַר מאַטעמאַטישער אַנאַליז און זייערע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער ווי קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט, עקאָנאָמיק און פֿיזיק.
פֿאַרשטיין אינדזשעקטיווע, סורגישעווע, און בייעקטיווע פֿונקציעס
איידער מיר דיסקוטירן ביישפיל פראגעס און זייער דיסקוסיע, לאָמיר ערשט דערמאָנען די דעפֿיניציעס פֿון די דריי פֿונקציעס.
1. אינדזשעקטיווע פונקציע (איינס-צו-איינס פונקציע): א פונקציע f : A → B ווערט גערופן אינדזשעקטיוו אויב פאר יעדן a1 און a2 אין דעם דאמעין A, אויב f(a1) = f(a2), דאן מוז a1 זיין גלייך צו a2. מיט אנדערע ווערטער, אן אינדזשעקטיווע פונקציע זיכערט אז באזונדערע עלעמענטן אין דעם דאמעין A ווערן געמאַפּט צו באזונדערע עלעמענטן אין דעם קא-דאמעין B.
2. סורייקטיוו פונקציע (אויף פונקציע): א פונקציע f : A → B ווערט גערופן סורייקטיוו אויב יעדער עלעמענט אין דעם קאָדאָמעין B האט כאָטש איין עלעמענט אין דעם דאָמעין A וואָס איז צו אים צוגעפּאַסט. אין דעם פאַל, האט דער קאָדאָמעין B נישט קיין "ליידיקע" עלעמענטן אדער קיין קאַונטערפּאַרטס פון דעם דאָמעין A.
3. בייעקטיווער פונקציע (איינס-צו-איינס קארעספאנדענץ): א פונקציע f : A → B ווערט גערופן בייעקטיוו אויב זי איז סיי אינדזשעקטיוו און סיי סורייקטיוו. דאס מיינט אז יעדער עלעמענט אין דאמעין A האט א יוניק קאנטערפארט אין קאדאמעין B, און יעדער עלעמענט אין קאדאמעין B האט אויך א יוניק קאנטערפארט אין דאמעין A.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיעס
פראגע 1: אינדזשעקטיווע פונקציע
פראגע:
געגעבן אַ פונקציע f : ℝ → ℝ וואָס איז דעפינירט ווי f(x) = 2x + 3. באַווייַזן אַז די פונקציע איז אַן אינדזשעקטיוו פונקציע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו באווייזן אז די פונקציע איז אינדזשעקטיוו, דארפן מיר ווייזן אז אויב f(a) = f(b) דאן a = b.
לאָמיר זאָגן אַז f(a) = f(b), מיר זאָגן אַז:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
אַראָפּרעכענען 3 פֿון ביידע זײַטן:
\[ 2a = 2b \]
טייל אויף 2 אויף ביידע זייטן:
\[ א = ב \]
זינט מיר האָבן געוויזן אַז f(a) = f(b) פאַראורזאַכט a = b, דעמאָלט איז די פונקציע f(x) = 2x + 3 אַן אינדזשעקטיווע פונקציע.
פראגע 2: סורייעקטיווע פונקציע
פראגע:
געגעבן אַ פונקציע g : ℝ → ℝ וואָס איז דעפינירט ווי g(x) = x^3. באַווייַזן אַז די פונקציע איז אַ סוריעקטיוו פונקציע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו באווייזן אז די פונקציע איז סוריעקטיוו, דארפן מיר ווייזן אז פאר יעדן עלעמענט y אין דעם קא-דאָמעין ℝ, איז דא לפחות איין עלעמענט x אין דעם דאמעין ℝ אזוי אז g(x) = y.
לאָמיר y ∈ ℝ. מיר ווילן געפֿינען x אַזוי אַז:
\[ x^3 = y \]
נעמט \(x = \sqrt[3]{y} \):
[ג(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
זינט פאר יעדן y אין דעם קאדאומאיין ℝ קענען מיר געפינען x וואס איז \( x = \sqrt[3]{y} \), דאן איז די פונקציע g(x) = x^3 א סורייעקטיווע פונקציע.
פראגע 3: בייעקטיווע פונקציעס
פראגע:
געגעבן אַ פונקציע h : ℝ → ℝ וואָס איז דעפינירט ווי h(x) = x – 1. באַווייַזן אַז די פונקציע איז בייעקטיוו.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
אינדזשעקטיוו:
צו באַווייַזן אַז h(x) איז אינדזשעקטיוו, דאַרפֿן מיר ווייַזן אַז אויב h(a) = h(b) דאַן a = b.
לאָמיר h(a) = h(b):
\[ a – 1 = b – 1 \]
לייג צו 1 אויף ביידע זייטן:
\[ א = ב \]
זינט h(a) = h(b) פאראורזאכט a = b, דעמאלט איז די פונקציע h(x) = x – 1 אן אינדזשעקטיווע פונקציע.
סודזשעקטיוו:
כדי צו באווייזן אז h(x) איז סוריעקטיוו, דארפן מיר ווייזן אז פאר יעדן עלעמענט y אין דעם קא-דאָמעין ℝ, איז דא לפחות איין עלעמענט x אין דעם דאמעין ℝ אזוי אז h(x) = y.
לאָמיר y ∈ ℝ. מיר ווילן געפֿינען x אַזוי אַז:
\[ x – 1 = y \]
לייג צו 1 אויף ביידע זייטן:
\[x = y + 1 \]
זינט פאר יעדן y אין דעם קא-דאָמעין ℝ קענען מיר געפֿינען אַן x אַזוי אַז x = y + 1, דעמאָלט איז די פֿונקציע h(x) = x – 1 אַ סוריעקטיווע פֿונקציע.
זינט h(x) איז אינדזשעקטיוו און סורייקטיוו, דעמאלט איז h(x) א בייעקטיווע פונקציע.
פראגע 4: באַשטימען דעם טיפּ פון פונקציע
פראגע:
געגעבן אַ פונקציע f : ℕ → ℕ דעפינירט ווי f(x) = 2x. באַשטימען צי f איז אַן אינדזשעקטיוו, סורייעקטיוו, אָדער בייעקטיוו פונקציע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
אינדזשעקטיוו:
כדי צו באווייזן אז די פונקציע איז אינדזשעקטיוו, דארפן מיר ווייזן אז אויב f(a) = f(b) דאן a = b.
לאָמיר זאָגן אַז f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
טייל אויף 2 אויף ביידע זייטן:
\[ א = ב \]
דעריבער, f(x) = 2x איז אן אינדזשעקטיווע פונקציע.
סודזשעקטיוו:
כדי צו באווייזן אז די פונקציע איז סוריעקטיוו, דארפן מיר ווייזן אז פאר יעדן עלעמענט y אין דעם קא-דאָמעין ℕ, איז דא לפחות איין עלעמענט x אין דעם דאמעין ℕ אזוי אז f(x) = y.
אבער באַמערקט אַז די קאָדאָמעין איז ℕ (די נאַטירלעכע נומערן), בשעת f(x) = 2x גיט נאָר גראָדע נומערן. זאָגן מיר אַז y איז אַן אומגעראַדע נומער, עס איז נישטאָ קיין x אין ℕ אַזוי אַז 2x = y.
דעריבער, f(x) = 2x איז נישט קיין סוריעקטיווע פונקציע.
זינט f(x) איז נישט סוריעקטיוו, דעמאלט איז f(x) אויך נישט בייעקטיוו.
באַזירט אויף די פֿאַרשידענע ביישפּילן אויבן, קענען מיר זען ווי צו באַווייַזן און ידענטיפֿיצירן די טיפּן פֿונקציעס (אינדזשעקטיוו, סורייקטיוו, ביעקטיוו) פֿון פֿאַרשידענע פֿונקציע דעפֿיניציעס. פֿאַרשטיין די פֿונקציעס איז קריטיש אין פֿיל אַספּעקטן פֿון מאַטעמאַטיק און אירע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס.
