בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון דער נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג פֿונקציע
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, אויך באַקאַנט ווי די גאַוסישע פאַרשפּרייטונג, איז איינע פון די מערסט פונדאַמענטאַלע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען אין סטאַטיסטיק און דאַטן אַנאַליז. די פאַרשפּרייטונג איז כאַראַקטעריזירט דורך אַ סימעטרישער גלאָק קורווע אַרום דעם דורכשניט, מיט דער דאַטן פאַרשפּרייטונג וואָס שפיגלט אָפּ די סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון די ווערטן אַרום אים. די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז די באַזע פֿאַר פילע קאָנצעפּטן אין אינפערענשאַל סטאַטיסטיק און איז וויידלי געניצט אין פֿאַרשידענע פעלדער, אַרייַנגערעכנט עקאָנאָמיק, פּסיכאָלאָגיע און די סאציאלע וויסנשאַפֿטן.
אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען צו בעסער פֿאַרשטיין די נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג פֿונקציע.
גרונטלעכע קאנצעפטן פון נארמאלער פארטיילונג
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ווערט באַשריבן דורך צוויי הויפּט פּאַראַמעטערס:
1. דורכשניט (μ): דער דורכשניט פון די דאַטן סעט.
2. סטאַנדאַרד דעוויאַציע (σ): מעסט ווי פארשפרייט די דאַטן זענען אַרום דעם דורכשניט.
די וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע פון דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג איז:
[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-μ)^2}{2π\sigma^2} }]
דאָ זענען עטלעכע גרונטלעכע טריט אין סאָלווינג פּראָבלעמען ניצן די נאָרמאַל פאַרשפּרייטונג:
1. באַשטימען דעם Z ווערט: דער Z ווערט איז אַ מאָס פון ווי ווייט דאַטן זענען פון די דורכשניט אין סטאַנדאַרט דיווייישאַן וניץ און איז קאַלקיאַלייטיד ניצן די פאָרמולע:
\[ ז = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. ניצן די Z טאבעלע: די Z טאבעלע אדער סטאנדארט נארמאלע פארטיילונג טאבעלע ווערט גענוצט צו געפינען די ווארשיינליכקייט אדער פראצענט פון דאטן וואס איז אונטער אדער העכער א געוויסן Z ווערט.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע פֿון נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג
פראגע 1
א קלאַס האט אַ דורכשניטלעכע מאַטעמאַטיק טעסט כעזשבן פון 70 מיט אַ סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון 10. אויב די טעסט סקאָרז זענען נאָרמאַל פאַרטיילט, וואָס פּראָצענט פון סטודענטן האָבן סקאָרד מער ווי 85?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. באַשטימען דעם Z-סקאָר: ערשטנס, רעכנט אויס דעם Z-סקאָר פֿאַר X = 85.
\[ ז = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. קוקנדיק אויף דער Z טאַבעלע: מיר זוכן דעם וואַרשיינלעכקייט ווערט פֿאַר Z = 1.5 פֿון דער Z טאַבעלע. דער וואַרשיינלעכקייט ווערט פֿאַר Z = 1.5 איז 0.9332. דאָס מיינט אַז 93.32% פֿון די ווערטן זענען אונטער Z = 1.5.
3. אויסרעכענען דעם פראצענט: ווייל מיר דארפן דעם פראצענט פון סטודענטן וואס האבן באקומען מער ווי 85, רעכענען מיר אויס 1 – 0.9332 = 0.0668.
אַזוי, 6.68% פון סטודענטן האָבן באַקומען מער ווי 85.
פראגע 2
די הייך פון דערוואקסענע מענער אין א לאנד גייט נאך א נארמאלע פארטיילונג מיט א דורכשניט פון 175 ס״מ און א סטאנדארט דעוויאציע פון 6 ס״מ. באשטימט דעם פראצענט פון מענער וועמענס הייך איז צווישן 170 ס״מ און 180 ס״מ.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. באַשטימען די Z-סקאָר פֿאַר 170 ס״מ:
[Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \aprox -0.83 \]
2. באַשטימען די Z-סקאָר פֿאַר 180 ס״מ:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \aprox 0.83 \]
3. זעט טאַבעלע ז:
– די וואַרשיינלעכקייט פֿאַר Z = -0.83 איז 0.2033.
– די וואַרשיינלעכקייט פֿאַר Z = 0.83 איז 0.7967.
4. אויסרעכענען פראצענט:
– די וואַרשיינלעכקייט פון הייך צווישן 170 סענטימעטער און 180 סענטימעטער איז 0.7967 – 0.2033 = 0.5934.
– אַזוי, 59.34% פון מענער האָבן אַ הייך צווישן 170 סענטימעטער און 180 סענטימעטער.
פראגע 3
אן IQ טעסט ניצט א נארמאלע פארטיילונג מיט א דורכשניט פון 100 און א סטאנדארט דעוויאציע פון 15. וועלכע כעזשבן פאלט אינעם 85סטן פראצענטיל?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. געפינען דעם Z ווערט פארן 85סטן פראצענטיל: פון דער Z טאבעלע אדער דורך ניצן א קאלקולאטאר, קארעספאנדירט דער 85סטער פראצענטיל צו Z = 1.04.
2. אויסרעכענען דעם IQ כעזשבן:
[X = Zsigma + μ]
[X = 1.04 מאָל 15 + 100]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
אַזוי, אַן IQ כעזשבן וואָס פאלט אין די 85 פּערסענטיל איז אַרום 115.6.
פראגע 4
אויב עס איז באַקאַנט אַז די דורכשניטלעכע כעזשבן פון מיטלשול סטודענטן'ס קאַגניטיווע טעסט רעזולטאַטן איז 65 מיט אַ סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון 12, וואָס כעזשבן איז אין די 25סטע פּערסענטיל?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. געפינען דעם Z ווערט פארן 25סטן פראצענטיל: פון דער Z טאבעלע אדער ניצן א קאלקולאטאר, איז דער Z פארן 25סטן פראצענטיל בערך -0.674.
2. אויסרעכענען טעסט סקאָרס:
[X = Zsigma + μ]
\[ X = -0.674 \× 12 + 65 \]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \אומגעפער 56.912 \]
אַלזאָ, דער ווערט וואָס איז אין די 25סטע פּראָצענטיל איז אַרום 56.912.
קעסימפּולאַן
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז אַ וויכטיקער באַגריף אין סטאַטיסטיק וואָס דערמעגלעכט אונדז צו אַנאַליזירן און פֿאַרשטיין דאַטן פֿון אַ וואַרשיינלעכקייט פּערספּעקטיוו. ניצנדיק דעם נאָרמאַלן פאַרשפּרייטונג צוגאַנג, קענען מיר רעכענען פּראָצענטן, באַשטימען ספּעציפֿישע ווערטן באַזירט אויף פּערסענטילן, און פֿאַרגלייַכן דאַטן מיטן דורכשניט.
לייזן פראבלעמען מיט דער נארמאלער פארטיילונג איז נישט נאר נוצלעך פאר עקזאמענס און אקאדעמישע פארשונג, נאר עס האט אויך פראקטישע אנווענדונגען אין אסאך רעאל-לעבן פעלדער ווי פסיכאלאגיע, ביזנעס, און די סאציאלע וויסנשאפטן. דורך די ביישפילן און דיסקוסיעס אויבן, האפן מיר אז איר וועט באקומען א בעסער פארשטאנד פון דער נארמאלער פארטיילונג פונקציע און ווי אזוי עס צו אנווענדן אין פארשידענע קאנטעקסטן.
