בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן פֿונקציעס און ניט-פֿונקציעס

בייַשפּיל פֿראַגעס דיסקוטירן פֿונקציעס און ניט-פֿונקציעס: פֿאַרשטיין גרונטלעכע קאָנצעפּטן

הקדמה

אין מאטעמאטיק, ספעציעל אין אלגעברע, איז דער קאנצעפט פון א פונקציע איינע פון ​​די מערסט יסודות'דיגע און וויכטיגע. פונקציעס דערמעגלעכן אונז צו פארשטיין די באציאונג צווישן צוויי סעטס אויף א זייער סיסטעמאטישן אופן. כדי צו פארשטיין א פונקציע, דארפן מיר ערשט פארשטיין איר דעפיניציע און אייגנשאפטן. דעריבער, וועט דער ארטיקל איבערקוקן ביישפיל פראבלעמען און דיסקוטירן פונקציעס און נישט-פונקציעס. דאס וועט אונז העלפן אנטוויקלען א טיפערן פארשטאנד פון דעם טעמע.

דעפֿיניציע פֿון פֿונקציע און ניט-פֿונקציע

לאָמיר אָנהייבן מיט פֿאַרשטיין די דעפֿיניציע פֿון אַ פֿונקציע. אין מאַטעמאַטיק, קען מען דעפֿינירן אַ פֿונקציע ווי אַ באַציִונג וואָס פֿאַרבינדט יעדן עלעמענט פֿון דער דאָמען־גרופּע מיט פּונקט איין עלעמענט פֿון דער קאָדאָמעין־גרופּע. מיט אַנדערע ווערטער, פֿאַר יעדן עלעמענט אין דער דאָמען־גרופּע, איז דאָ איין און בלויז איין קאָרעספּאָנדירנדיק עלעמענט אין דער קאָדאָמעין־גרופּע.

ביישפילן פון באַציִונגען וואָס זענען פֿונקציעס:
– סעט א = {1, 2, 3}
– סעט ב = {4, 5, 6}
– באַציִונג R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

די באַציִונג R איז אַ פונקציע ווײַל יעדער עלעמענט פֿון סכום A איז געפּאָרט מיט בלויז איין עלעמענט פֿון סכום B.

א נישט-פונקציע איז א רעלאציע וואס טרעפט נישט די קריטעריעס, נעמליך אז עס איז דא לפחות איין עלעמענט אין דער אריגינעלער געגנט וואס איז געפארן מיט מער ווי איין עלעמענט אין דער רעזולטאט געגנט.

ביישפילן פון באַציִונגען וואָס זענען נישט פֿונקציעס:
– סעט C = {1, 2, 3}
– סעט ד = {4, 5, 6}
– באַציִונג S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}

די באַציִונג S איז נישט קיין פֿונקציע ווײַל דער עלעמענט '1' אין סכום C איז צוזאַמענגעפּאָרט מיט צוויי עלעמענטן אין סכום D (נעמלעך 4 און 5).

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע

כדי ווייטער צו פארטיפן אונזער פארשטאנד פון פונקציעס און נישט-פונקציעס, לאמיר קוקן אויף עטלעכע ביישפיל פראגעס און זייערע דיסקוסיעס.

בייַשפּיל קשיא 1: באַשטימען פונקציעס

געגעבן אַ סכום X = {a, b, c, d} און אַ סכום Y = {1, 2, 3, 4}, איז די באַציִונג דעפינירט ווי פאלגנד אַ פונקציע?
– R = {(א, 1), (ב, 2), (ג, 3), (ד, 4)}

פֿאַרעפֿנטלעכט:

לאָמיר קאָנטראָלירן יעדן עלעמענט אין דער סעט X:
– 'a' ווערט געפּאָרט מיט '1'
– 'b' ווערט געפּאָרט מיט '2'
– 'c' צוזאַמען מיט '3'
– 'ד' צוזאַמען מיט '4'

זינט יעדער עלעמענט אין סכום X איז געפּאָרט מיט פּונקט איין עלעמענט אין סכום Y, איז די באַציִונג R אַ פונקציע.

בייַשפּיל קשיא 2: אידענטיפיצירן פונקציעס אָדער ניט-פונקציעס

געגעבן אַ סכום P = {u, v, w} און אַ סכום Q = {5, 6, 7}. באַשטימט צי די פאלגענדע באַציִונג איז אַ פֿונקציע:
– S = {(ו, 5), (וו, 6), (ו, 7)}

פֿאַרעפֿנטלעכט:

לאָמיר אויספאָרשן יעדן עלעמענט אין דער סכום פּ:
– 'u' צוזאַמען מיט '5'
– 'v' צוזאַמען מיט '6'
– 'u' ווערט אויך צוזאמענגעשטעלט מיט '7'

זינט עלעמענט 'u' אין סכום P איז געפּאָרט מיט מער ווי איין עלעמענט אין סכום Q, איז די באַציִונג S נישט קיין פונקציע.

בייַשפּיל קשיא 3: צייכענען פונקציעס פון גראַפיקס

געגעבן אַ גראַף פֿון אַ באַציִונג אויף דער קאָאָרדינאַט־פֿלאַך, באַשטימט צי עס איז אַ פֿונקציע צי נישט. דער גראַף ווײַזט די פֿאָלגנדיקע פּונקטן:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)

פֿאַרעפֿנטלעכט:

יעדער פונקט אויפן גראף האט א פּאָר פון דער פאָרעם (x, y), וואָס ווײַזט אָן אַז פֿאַר יעדן געגעבענעם ווערט פון x איז פֿאַרבונדן פּונקט איין ווערט פון y דערמיט. ווײַל יעדער עלעמענט אין דעם דאָמעין איז געפּאָרט מיט פּונקט איין עלעמענט אין דעם קאָדאָמעין, איז דער געגעבענער גראף דער גראף פֿון אַ פֿונקציע.

בייַשפּיל פּראָבלעם 4: פונקציעס אין גלייכונג פאָרעם

באַשטימען צי די גלייכונג y = x² איז אַ פונקציע אויב דער געגעבענער דאָמען איז אַלע רעאַלע נומערן.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

מיר דאַרפֿן קאָנטראָלירן צי יעדער x-ווערט אין דעם דאָמעין האָט איין און בלויז איין y-ווערט פֿאַרבונדן מיט אים. פֿאַרבײַטן עטלעכע x-ווערטן:
– אויב x = 1, דעמאָלט y = 1² = 1
– אויב x = 2, דעמאָלט y = 2² = 4
– אויב x = -1, דעמאָלט y = (-1)² = 1
מען קען זען אז פאר יעדן אויסגעקליבענעם ווערט פון x, איז דא נאר איין פארבונדענער ווערט פון y. דעריבער, איז y = x² א פונקציע.

בייַשפּיל קשיא 5: פונקציעס מיט ינווערסע פונקציעס

לאָמיר זײַן די פֿונקציע דעפֿינירט דורך f: x → x + 3. געפֿינט די אומגעקערטע פֿון דער פֿונקציע, אויב זי עקזיסטירט.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

אויב f: x → x + 3, דאן דארפן מיר געפינען א פונקציע g אזוי אז f(g(x)) = x און g(f(x)) = x. אנהייבנדיג מיט דער גלייכונג:
– y = x + 3
כדי צו געפֿינען די אינווערסע, איזאָלירן מיר x:
– x = y – 3
דעריבער, די אינווערסע פונקציע איז g(y) = y – 3.
אַלזאָ, די אומגעקערטע פֿון דער פֿונקציע f(x) = x + 3 איז f⁻¹(x) = x – 3.

קעסימפּולאַן

פֿון דער דיסקוסיע אויבן, האָבן מיר געזען עטלעכע ביישפּילן פֿון פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט פֿונקציעס און נישט-פֿונקציעס, צוזאַמען מיט זייערע דערקלערונגען. דער באַגריף פֿון אַ פֿונקציע לערנט אונדז אַז יעדער עלעמענט פֿון דער דאָמעין-גרופּע מוז זיין פֿאַרבונדן מיט פּונקט איין עלעמענט פֿון דער קאָדאָמעין-גרופּע. אידענטיפֿיצירן פֿונקציעס פֿון גראַפֿן און גלייכונגען איז אויך אַ נוצלעכע טעכניק פֿאַר באַשטימען די נאַטור פֿון אַ באַציִונג. דורך פּראַקטיצירן די סאָרטן פּראָבלעמען, וועלן מיר ווערן מער באַקאַנט מיט און בעסער פֿאַרשטיין די גרונט-באַגריפֿן פֿון פֿונקציעס און נישט-פֿונקציעס, וואָס זענען עיקרדיקע יסודות אין אַלגעברע און אַנדערע מאַטעמאַטישע אַנאַליזן.