בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון וואַרשיינלעכקייט פֿאַרטיילונג
וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג איז איינער פון די יסודותדיקע קאָנצעפּטן אין סטאַטיסטיק און וואַרשיינלעכקייט. עס ווערט גענוצט צו פֿאַרשטיין די וואַרשיינלעכקייט פון פֿאַרשידענע ווערטן פון אַ צופֿעליקער נומער. וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען קענען נעמען פֿאַרשידענע פֿאָרמען לויט דער נאַטור פֿון די דאַטן וואָס ווערן אַנאַליזירט. די צוויי מערסט פֿאַרשפּרייטע טיפּן וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען זענען דיסקרעטע און קאָנטינויִערלעכע. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר איבערקוקן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוטירן וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען צו העלפֿן אונדז בעסער פֿאַרשטיין דעם טעמע.
דיסקרעטע פאַרשפּרייטונג
א דיסקרעטע פארטיילונג איז א פארטיילונג וואס רעכנט אויס די ווארשיינליכקייט פון א דיסקרעטער צופעליגער וועריאַבל, דאס הייסט, א וועריאַבל וואס קען נאר אננעמען געוויסע ווערטן. באקאנטע ביישפילן פון דיסקרעטע פארטיילונגען זענען די בינאמיאלע פארטיילונג און די פואסאן פארטיילונג.
בייַשפּיל 1: בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
די בינאמיאלע פארטיילונג באשרייבט די צאל הצלחות אין א סעריע פון בערנולי שטודיעס. יעדער בערנולי שטודיע האט צוויי רעזולטאטן: הצלחה אדער דורכפאל. די ווארשיינליכקייט פון הצלחה בלייבט קאנסטאנט איבערן גאנצן שטודיע.
פראגע:
א פארמאצעווטישע פירמע טעסטירט א נייע מעדיצין אויף 10 פאציענטן. די ווארשיינליכקייט אז די מעדיצין ארבעט אין יעדן פאציענט איז 0.7. רעכנט אויס די ווארשיינליכקייט אז די מעדיצין ארבעט אין פונקט 7 פון 10 פאציענטן.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די צופֿעליקע וועריאַבל \(X\) פֿאָלגט אַ בינאָמיאַלע פֿאַרטיילונג מיט \(n = 10\) און \(p = 0.7\). די בינאָמיאַלע וואַרשיינלעכקייט פֿונקציע איז:
[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
פֿאַר \(k = 7\):
[P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
אויסרעכענען דעם בינאמיאלן קאעפיציענט \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
אויסרעכענען וואַרשיינלעכקייט ווערטן:
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
[P(X = 7) איז בערך 120 × 0.0823543 × 0.027]
\[P(X = 7) \אומגעפער 0.231 \]
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז די מעדיצין אַרבעט אין פּונקט 7 פֿון 10 פּאַציענטן איז אַרום 0.231 אָדער 23.1%.
בייַשפּיל 2: פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג
די פּואַסאָן פֿאַרטיילונג ווערט גענוצט צו מאָדעלירן די צאָל מאָל ווען אַ זעלטענע געשעעניש פּאַסירט אין אַ געגעבענעם צייט אָדער אָרט אינטערוואַל.
פראגע:
א געשעפט באַקומט דורכשניטלעך 4 קאַסטאַמערז פּער שעה. וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט אַז דער געשעפט וועט באַקומען פּונקט 5 קאַסטאַמערז אין איין שעה?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די צופֿעליקע וועריאַבל \(X\) פֿאָלגט אַ פּואַסאָן פֿאַרטיילונג מיט פּאַראַמעטער \(\lambda = 4\). די פּואַסאָן וואַרשיינלעכקייט מאַסע פֿונקציע איז:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
פֿאַר \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
צייל:
[P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
[P(X = 5) \aprox. \frac{1024 ⋅ 0.0183}{120} \]
\[P(X = 5) \אומגעפער 0.156 \]
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז דער קראָם באַקומט פּונקט 5 קאַסטאַמערז אין איין שעה איז אַרום 0.156, אָדער 15.6%.
קאָנטינויִערלעכע פֿאַרשפּרייטונג
קאָנטינויִערלעכע פאַרשפּרייטונגען ווערן גענוצט ווען די צופֿעליקע וועריאַבל וואָס ווערט געמאָסטן קען נעמען יעדן ווערט אין אַ געוויסן ראַם. באַקאַנטע ביישפילן פון קאָנטינויִערלעכע פאַרשפּרייטונגען זענען די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג און די עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג.
בייַשפּיל 3: נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, אָפט גערופן די גאַוסישע פאַרשפּרייטונג, איז אַ פאַרשפּרייטונג וואָס ווערט געוויינטלעך גענוצט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער, אַרייַנגערעכנט וויסנשאַפֿט, אינזשעניריע און עקאָנאָמיק.
פראגע:
די הייכן פון דערוואַקסענע מענער אין אַ שטאָט זענען נאָרמאַל פאַרטיילט מיט אַ דורכשניט פון 170 סענטימעטער און אַ סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון 10 סענטימעטער. וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט אַז אַ צופֿעליק אויסגעקליבענער מאַן איז צווישן 160 סענטימעטער און 180 סענטימעטער הויך?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר דאַרפֿן אויסרעכענען דעם ז-סקאָר פֿאַר 160 ס״מ און 180 ס״מ. דער ז-סקאָר ווערט דעפֿינירט ווי:
\[ ז = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
פֿאַר \(X = 160\):
\[ ז_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
פֿאַר \(X = 180\):
\[ ז_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
איצט דאַרפֿן מיר קוקן אויף די וואַרשיינלעכקייט ווערטן פֿון -1 ביז 1 אין דער z טאַבעלע. דער ווערט פֿון z = -1 ביז z = 1 איז אַפּראָקסימאַטיוולי 0.6826.
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז אַ צופֿעליק אויסגעקליבענער מאַן איז צווישן 160 סענטימעטער און 180 סענטימעטער הויך איז אַרום 0.6826 אָדער 68.26%.
בייַשפּיל 4: עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג
די עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג ווערט גענוצט צו מאָדעלירן די צייט צווישן געשעענישן אין אַ פּואַסאָן פּראָצעס.
פראגע:
די דורכשניטלעכע צייט צווישן צוויי קונה אנקומען אין א געשעפט איז 15 מינוט. וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט אַז די צייט צווישן צוויי קונה אנקומען איז ווייניקער ווי 10 מינוט?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג האט אַ פּאַראַמעטער \(\lambda\) וואָס איז די אומגעקערטע פֿון דעם דורכשניט (\(\mu\)). מיט אַ דורכשניט פֿון 15 מינוט:
[\lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
די עקספּאָנענציעלע קומולאַטיווע פאַרשפּרייטונג פונקציע איז:
[P(X ≤ x) = 1 – e^{-Δx}]
פֿאַר _(x = 10_):
[P(X × 10) = 1 – e^{-0.0667 × 10}]
[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667}]
[P(X ≤ 10) = אַרום 1 – 0.5134]
[P(X ≤ 10) = אַפּראָקס. 0.4866]
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז די צייט צווישן צוויי קונה אָנקומען איז ווייניקער ווי 10 מינוט איז וועגן 0.4866 אָדער 48.66%.
קעסימפּולאַן
וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען, סיי דיסקרעטע און סיי קאָנטינויִערלעכע, זענען זייער נוצלעכע קאָנצעפּטן פֿאַר מאָדעלירן און פֿאַרשטיין דאָס נאַטור פֿון ראַנדאָם וועריאַבלען. די בינאָמיאַל און פּואַסאָן פאַרשפּרייטונגען ווערן אָפֿט געניצט פֿאַר דיסקרעטע וועריאַבלען, בשעת די נאָרמאַלע און עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונגען זענען ביישפּילן פֿון קאָנטינויִערלעכע פאַרשפּרייטונגען.
דורך די ביישפילן פון אויבן, האָפן מיר אַז איר האָט באַקומען אַ בעסער פארשטאנד פון ווי צו רעכענען און אינטערפּרעטירן וואַרשיינלעכקייטן אין וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען. מיט קאָנסיסטענט פּראַקטיק, וועט אייער פיייקייט צו פֿאַרשטיין וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען פֿאַרבעסערן און קענען ווערן געווענדט אין פֿאַרשידענע דיסציפּלינעס.
