בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן געאָמעטרישע סעריעס
געאמעטרישע סעריעס זענען א קריטישער באגריף אין מאטעמאטיק, און ערשיינט אָפט אין פארשידענע טיפן פראבלעמען, אַרייַנגערעכנט שול־עקזאַמענס, קאַלעדזש־אַרייַנגאַנג־עקזאַמענס, און אפילו סטאַנדאַרדיזירטע טעסטן ווי די SAT אדער GRE. א גרינטלעכע פארשטאנד פון געאמעטרישע סעריעס העלפט אונדז עפעקטיוו סאָלווען פראבלעמען. דער אַרטיקל וועט דעקן עטלעכע בייַשפּיל־פראָבלעמען און דיסקוטירן געאמעטרישע סעריעס אין דעטאַל.
פֿאַרשטיין געאָמעטרישע סעריעס
א געאמעטרישע סעריע איז א סעריע אין וועלכער יעדער טערמין ווערט באקומען דורך טאפלען דעם פריערדיגן טערמין מיט א פעסטער נומער גערופן די פראפארציע (געמיינזאמע פראפארציע, געווענליך סימבאליזירט מיטן אות \(r\)). בכלל, קען א געאמעטרישע סעריע געשריבן ווערן אלס:
\[
א, אר, אר^2, אר^3, דאטן
\]
וואו:
– \(a\) איז דער ערשטער טערמין
– \(r\) איז די פאַרהעלטעניש פון דער סעריע
אויב \( |r| < 1 \), האבן אומענדלעכע געאמעטרישע סעריעס די אינטערעסאנטע אייגנשאפט פון קאנווערגענץ. עס זענען דא אסאך פראקטישע אנווענדונגען פון געאמעטרישע סעריעס אין פארשידענע פעלדער ווי פיזיק, עקאנאמיק, און ביאלאגיע.
געאמעטרישע סעריע פארמל דער nטער טערמין פון א געאמעטרישע סעריע דער nטער טערמין פון א געאמעטרישע סעריע קען אויסגערעכנט ווערן מיט דער פארמל: \[ U_n = a \cdot r^{n-1} \] סומע פון די ערשטע n טערמינען פון א געאמעטרישע סעריע די סומע פון די ערשטע \(n\) טערמינען פון א געאמעטרישע סעריע (Sn) קען אויסגערעכנט ווערן מיט דער פארמל: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad \text{for } r \neq 1 \] \[ S_n = na, \quad \text{for } r = 1 \] אומענדלעכע סומע פון א געאמעטרישע סעריע אויב \(|r| < 1\), האט אן אומענדלעכע געאמעטרישע סעריע די סומע: \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \] ביישפיל פראגעס און דיסקוסיעס די פאלגענדע זענען עטלעכע ביישפילן פון געאמעטרישע סעריע פראגעס צוזאמען מיט זייערע דיסקוסיעס: ביישפיל פראגע 1: אויסרעכענען דעם nטן טערמין פראגע: געגעבן געאמעטרישע סעריע מיטן ערשטן טערמין \(a = 5\) און דעם געמיינזאמען פארהעלטעניש \(r = 3\). רעכנט אויס דעם 6טן טערמין פון דער סעריע. לייזונג: ניצנדיק די nטע טערמין פאָרמולע: \[ U_6 = a ⋅ r^{(6-1)} = 5 ⋅ 3^5 = 5 ⋅ 243 = 1215 \] אַזוי, דער 6טער טערמין פון דער סעריע איז 1215. בייַשפּיל קשיא 2: רעכנט אויס די סומע פון די ערשטע n טערמינען פראגע: רעכנט אויס די סומע פון די ערשטע 4 טערמינען פון א געאמעטרישע סעריע מיטן ערשטן טערמין (a = 2) און דעם פארהעלטעניש (r = r). דיסקוסיע: ניצן די פארמל פאר דער סומע פון (n) ערשטע טערמינען: [S_4 = a (1 - r^4}{1 - r) = 2 (1 - (1}{2)^4}{1 - 1}{2}) = 2 (1 - 1}{16)}{1}{2}) = 2 (15}{16)}{1}{2}) = 2 (15}{8}) = 2 (15}{8} = 2 (30}{8} = 3.75). אַלזאָ, די סומע פון די ערשטע 4 טערמינען פון דער סעריע איז 3.75. בייַשפּיל 3: סומע פון אַן אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע פראגע: רעכנט אויס די סומע פון אַן אומענדלעכער סעריע וואו \(a = 7\) און \(r = \frac{1}{3}\). לייזונג: ניצן די פאָרמולע פֿאַר די סומע פון אַן אומענדלעכער סעריע: \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{7}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{7}{\frac{2}{3}} = 7 \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \] אַזוי, די סומע פון דער אומענדלעכער סעריע איז 10.5. בייַשפּיל 4: באַשטימען די טערמינען און פאַרהעלטעניש פון אַ סעריע פראגע: די סומע פון די ערשטע 3 טערמינען פון אַ געאמעטרישער סעריע איז 21, און די סומע פון די 2טן און 3טן טערמינען איז 18. באַשטימט דעם ערשטן טערמין און זיין פאַרהעלטעניש. דיסקוסיע: אַננעמען אַז דער ערשטער טערמין איז \(a\) און די פאַרהעלטעניש איז \(r\). פֿון די פּראָבלעם אינפֿאָרמאַציע, קענען מיר שרײַבן די פֿאָלגנדיקע צוויי גלייכונגען: [a + ar + ar^2 = 21 \quad \text{(1)} \] \[ ar + ar^2 = 18 \quad \text{(2)} \] פֿון גלייכונג (2), קענען מיר אויסדריקן \(a\) אין טערמינען פֿון \(r\): \[ a(r + r^2) = 18 \implises a = \frac{18}{r(1 + r)} \] דערנאָך, שטעלט אַרײַן \(a\) אין גלייכונג (1): \[ \frac{18(1)}{r(1 + r)} + \frac{18r}{r(1 + r)} + \frac{18r^2}{r(1 + r)} = 21 \] \[ \frac{18}{1 + r} + \frac{18r}{1 + r} + \frac{18r^2}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{18 (1 + r + r^2)}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{18 \cdot 3}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{54}{1 + r} = 21 \] \[ 54 = 21(1 + r) \] \[ 54 = 21 + 21r \] \[ 33 = 21r \] \[ r = \frac{33}{21} = \frac{11}{7} \] מיטן באַקאַנטן ווערט פון \(r\), שטעלט עס צוריק אין דעם ווערט פון \(a\): \[ a = \frac{18}{r(1 + r)} = \frac{18}{\frac{11}{7} (1 + \frac{11}{7})} = \frac{18}{\frac{11}{7} \cdot \frac{18}{7}} = \frac{18 \cdot 7}{11 18 = 7 און 11. אזוי, דער ערשטער טערמין (a) איז 7 און די געמיינזאמע פראפארציע איז 11. מסקנא: געאמעטרישע סעריעס זענען איינע פון די מאטעמאטישע קאנצעפטן וואס ווערן ברייט גענוצט אין פארשידענע אנווענדונגען. פארשטיין די גרונט-פארמלען ווי דער nטער טערמין, די סומע פון די ערשטע n טערמינען, און די סומע פון אן אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע איז זייער וויכטיג צו לייזן פארשידענע פארבינדענע מאטעמאטישע פראבלעמען. דורך פראקטיצירן פארשידענע ביישפילן ווי דיסקוטירט אין דעם ארטיקל, קענען מיר שאַרפן אונדזער פעאיקייט צו פארשטיין און נוצן געאמעטרישע סעריעס בעסער.