בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן קאָמפּלעקסע נומערן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַן אָפט באַגעגנט טעמע אין מאַטעמאַטיק סיי אין הויך שולע און סיי אין קאַלעדזש לעוועלס. קאָמפּלעקסע נומערן באַשטייען פון צוויי טיילן: אַ רעאַלער טייל און אַן אימאַגינערי טייל. ניצנדיק קאַנווענשאַנעל נאָטאַציע, ווערט אַ קאָמפּלעקסע נומער געשריבן ווי \(z = a + bi \), וואו \(a \) און \(b \) זענען רעאַלע נומערן, און \(i \) איז די אימאַגינערי איינהייט מיט דער אייגנשאַפט \(i^2 = -1 \). דער אַרטיקל וועט דעקן עטלעכע ביישפילן און זייער דיסקוסיע וועגן קאָמפּלעקסע נומערן, פון גרונטלעכע אָפּעראַציעס ביז אַפּליקאַציעס אין פּראָבלעם-לייזונג.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
1. צוגאב און סובטראַקציע פון קאָמפּלעקסע נומערן
פראגע 1
זאל \( ז_1 = 3 + 4י \) און \( ז_2 = 1 - 2י \). רעכענען \( ז_1 + ז_2 \) און \( ז_1 - ז_2 \).
דיסקוסיע
צו צולייגן אדער אראפנעמען קאמפלעקסע נומערן, ארבעטן מיר פשוט אויף דעם רעאלן טייל מיטן רעאלן און דעם אימאגינערן טייל מיטן אימאגינערן.
צוגאב:
\[
ז_1 + ז_2 = (3 + 4י) + (1 - 2י) = (3 + 1) + (4י - 2י) = 4 + 2י
\]
סובטראַקציע:
\[
ז_1 - ז_2 = (קסנומקס + קסנומקסי) - (קסנומקס - קסנומקסי) = (קסנומקס - קסנומקס) + (קסנומקסי + קסנומקסי) = קסנומקס + קסנומקסי
\]
אַזוי, \(ז_1 + ז_2 = 4 + 2י \) און \(ז_1 - ז_2 = 2 + 6י \).
2. מולטיפּליקאַציע פון קאָמפּלעקסע נומערן
פראגע 2
רעכנט אויס דעם פּראָדוקט פֿון \(z_1 = 2 + 3i \) דורך \(z_2 = 4 – i \).
דיסקוסיע
צו טאפלען צוויי קאמפלעקסע נומערן, ניצן מיר די דיסטריבוטיווע אייגנשאפט פון אלגעברע:
\[
z_1 ⋅ z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
מיר טאפלען יעדן קאמפאנענט:
\[
2 ⋅ 4 + 2 ⋅ (-i) + 3i ⋅ 4 + 3i ⋅ (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
זינט \( i^2 = -1 \), דעמאָלט:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
אַלזאָ, דער פּראָדוקט ∫(z_1) ≈ z_2 איז ≈ (11 + 10i).
3. דיוויזיע פון קאמפלעקסע נומערן
פראגע 3
רעכנט אויס דעם קוואָטיענט פון \(z_1 = 3 + 4i \) דורך \(z_2 = 1 – i \).
דיסקוסיע
כדי צו צעטיילן א קאמפלעקסע צאל, טאפלען מיר דעם ציילער און נענער מיטן קאניוגאט פונעם נענער פונעם קאמפלעקסן צאל. דער קאניוגאט פון \( 1 – i \) איז \( 1 + i \).
\[
∫3 + 4i}{1 – i} ∫1 + i}{1 + i} = ∫(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)
\]
לאָמיר ערשט אויסרעכענען דעם נענער:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
איצט רעכענען מיר אויס דעם ציילער:
\[
(3 + 4i)(1 + איך) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
אַזוי, דער רעזולטאַט איז:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. מאָדולוס און אַרגומענט פֿון קאָמפּלעקסע נומערן
פראגע 4
באַשטימען דעם מאָדולוס און אַרגומענט פֿון \(z = 1 + i \).
דיסקוסיע
דער מאָדולוס פֿון דער קאָמפּלעקסער צאָל (z = a + bi) איז:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
פֿאַר \(z = 1 + i \), האָבן מיר \(a = 1 \) און \(b = 1 \):
\[
|z| = √{1^2 + 1^2} = √{2}
\]
דער אַרגומענט פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער איז דער ווינקל −θικος (heta) וואָס ווערט געפֿאָרעמט מיטן פּאָזיטיוון רעאַלן אַקס, געמאָסטן פֿונעם אָנהייב צו דעם פּונקט −θικος (a, b).
\[
טהעטאַ = טאַן^{-1}(ברייטער ב/א)
\]
\[
\טעטאַ = \טאַן^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
אַלזאָ, דער מאָדולוס פֿון \(z = 1 + i \) איז \(\sqrt{2} \) און דער אַרגומענט איז \(\frac{\pi}{4} \).
5. עקספּאָנענציעלע פֿאָרעם און איילער מוסטער
פראגע 5
קאָנווערטירן די קאָמפּלעקסע נומער \(z = 1 + i \) אין עקספּאָנענציעלער פאָרעם.
דיסקוסיע
עקספּאָנענציעלע פֿאָרעם פֿון קאָמפּלעקסע נומערן ניצנדיק איילער'ס פֿאָרמולע:
\[
ז = רע^{i\theta}
\]
וואו r איז דער מאָדולוס און heta איז דער אַרגומענט. פֿון דער פֿריִערדיקער דיסקוסיע, ווייסן מיר אַז:
\[
r = √², √¹ = √¼
\]
אַזוי, די עקספּאָנענציעלע פאָרעם איז:
\[
z = √² e^{iπ/4}
\]
6. וואָרצלען פון קאָמפּלעקסע נומערן
פראגע 6
געפינט די קוואדראט ווארצלען פון דער קאמפלעקסער נומער (z = -1).
דיסקוסיע
די קוואדראט ווארצלען פון קאמפלעקסע נומערן קען מען געפינען ניצנדיק די פאלארע אדער עקספאנענציאלע פארעם. מיר קאנווערטירן \(z = -1 \) אין עקספאנענציאלע פארעם:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
די קוואדראט ווארצל פון \( e^{i\pi} \) קען געשריבן ווערן ווי:
\[
z_k = √\cdot e^{i(θ + 2kπ)/n}
\]
מיט r = 1), heta = π), n = 2), און k = 0, 1):
\[
ז_0 = ע^{י(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = איך
\]
\[
ז_1 = ע^{י(\פּי + 2 \קדאָט 1 \קדאָט \פּי)/2} = ע^{י3\פּי/2} = -י
\]
אַלזאָ, די קוואַדראַט וואָרצלען פֿון −1 זײַנען −i און −i.
7. אַפּליקאַציעס אין קוואַדראַטישע גלייכונגען
פראגע 7
לייזט די קוואַדראַטישע גלייכונג \( z^2 + 4z + 13 = 0 \).
דיסקוסיע
מיר קענען ניצן די קוואַדראַטישע פאָרמולע:
\[
ז = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
פֿאַר דער גלייכונג \(z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
א = 1, ב = 4, ג = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
אַלזאָ, די לייזונגען פֿון \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) זענען \(z = -2 + 3i \) און \(z = -2 – 3i \).
קעסימפּולאַן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַ זייער ברייטער מאַטעמאַטישער באַגריף מיט פילע אַפּליקאַציעס. דורך פֿאַרשטיין גרונטלעכע אָפּעראַציעס ווי אַדיציע, סובטראַקציע, טאפליקאַציע און דיוויזיע, ווי אויך ווי צו רעכענען מאָדולוס און אַרגומענט, קענען מיר סאָלווען פֿאַרשידענע פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט קאָמפּלעקסע נומערן. האָפֿנטלעך וועלן די אויבן דערמאָנטע ביישפילן אײַך העלפֿן בעסער פֿאַרשטיין און באַהערשן דעם טעמע.
