קאָמפּלעקסע נומערן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַ מאַטעמאַטישער באַגריף וואָס שפּילט אַ וויכטיקע ראָלע אין פֿאַרשידענע צווייגן פֿון וויסנשאַפֿט, ווי פֿיזיק, אינזשעניריע, עקאָנאָמיק, און, פֿאַרשטייט זיך, מאַטעמאַטיק אַליין. ווי אַ פֿאַרלענגערונג פֿון די רעאַלע נומערן וואָס מיר קענען אין וואָכעדיקן לעבן, פֿירן קאָמפּלעקסע נומערן אַרײַן אַ נײַע דימענסיע אין ווי מיר פֿאַרשטייען און מאָדעלירן פֿאַרשידענע דערשיינונגען.
געשיכטע פון קאָמפּלעקסע נומערן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען ערשט אַנטשטאַנען פֿון דער נויטווענדיקייט צו געפֿינען לייזונגען צו קוואַדראַטישע גלייכונגען וואָס האָבן נישט געהאַט קיין לייזונגען אין רעאַלע נומערן. זינט אוראלטע צייטן, האָבן מאַטעמאַטיקער זיך געטראָפן מיט פּראָבלעמען ווי די קוואַדראַטישע גלייכונג \(x^2 + 1 = 0\), וואָס האָט נישט קיין רעאַלע וואָרצלען. דאָס איז ווײַל פֿאַר יעדער רעאַלער נומער \(x\), איז \(x^2\) קיינמאָל נישט נעגאַטיוו, אַזוי קען \(x^2 + 1\) קיינמאָל נישט זײַן נול.
א טיפערע פארשטענדעניש פון קאמפלעקסע נומערן האט זיך אנגעהויבן צו אנטוויקלען אין 16טן יארהונדערט דאנק די ארבעט פון אייראפעאישע מאטעמאטיקער ווי דזשייראלאמא קארדאנו, וועלכע האבן גענוצט אימאגינערע ווארצלען אין דער לייזונג פון געוויסע גלייכונגען. אין די 18טן און 19טן יארהונדערט, האבן מאטעמאטיקער ווי לעאנהארד איילער און קארל פרידריך גאוס אנטוויקלט די יסודות פון קאמפלעקסע נומער טעאריע, צושטעלנדיג א מער סיסטעמאטישע דערקלערונג און איינפירנדיג א סך פון דער נאטאציע וואס איז נאך היינט אין באנוץ.
דעפֿיניציעס און נאָטאַציעס
א קאָמפּלעקסע נומער באַשטייט פֿון צוויי קאָמפּאָנענטן: אַ רעאַלער טייל און אַן אימאַגינאַריער טייל. בכלל, קען מען שרײַבן אַ קאָמפּלעקסע נומער אין דער פֿאָרעם \(a + bi\), וואו:
– \(a\) איז דער עכטער טייל.
– \(b\) איז דער אימאַגינערי טייל.
– \(i\) איז די אימאַגינערע איינהייט, דעפינירט ווי \(\sqrt{-1}\).
למשל, אין דער קאָמפּלעקסער נומער \(4 + 3i\):
– דער עכטער טייל איז \(4\).
– דער אימאַגינערי טייל איז \(3i\).
דער ערשטער שריט אין פֿאַרשטיין קאָמפּלעקסע נומערן איז צו אָננעמען אַז \(i\) האט אַ זייער אינטערעסאַנטע אייגנשאַפֿט: \(i^2 = -1\).
גרונטלעכע אפעראציעס אויף קאמפלעקסע נומערן
פּונקט ווי מיט רעאַלע נומערן, קענען מיר דורכפירן פֿאַרשידענע גרונטלעכע אָפּעראַציעס אויף קאָמפּלעקסע נומערן, ווי אַדיציע, סובטראַקציע, מאַלטיפּליקאַציע און דיוויזיע.
צוגאב און סובטראַקציע
כדי צו צולייגן צוויי קאָמפּלעקסע נומערן, צולייגן מיר פשוט זייערע רעאַלע און אימאַגינערע טיילן. למשל, פֿאַר צוויי קאָמפּלעקסע נומערן \(z_1 = a + bi\) און \(z_2 = c + di\):
\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]
סובטראקציע ווערט געטאן אויף דעם זעלבן אופן, נעמליך סובטראקטירן דעם רעאלן טייל און דעם אימאגינערן טייל:
\[ z_1 – z_2 = (a – c) – (b – d)i \]
מולטיפּליקאַציע
מולטיפליקאציע פון קאמפלעקסע נומערן איז אביסל מער קאמפליצירט, ווייל מיר דארפן מולטיפלירן ביידע די רעאלע און אימאגינערע קאמפאנענטן, און אויך נעמען אין באטראכט די אייגנשאפטן פון \(i\). פאר צוויי קאמפלעקסע נומערן \(z_1 = a + bi\) און \(z_2 = c + di\):
\[ ז_1 \ קדאָט ז_2 = (אַ + ביי) (C + די) = אַ + אַדי + בסי + בדי ^ 2 \]
געדענקט אז \(i^2 = -1\), אזוי קענען מיר פארפּשוטען צו:
[z_1 ⋅z_2 = (ac – bd) + (ad + bc)i]
פאַרשפּרייטונג
צו צעטיילן צוויי קאָמפּלעקסע נומערן, ניצן מיר דעם באַגריף פון קאָניוגאַטן. דער קאָניוגאַט פון אַ קאָמפּלעקסער נומער _a + bi_ איז _a – bi_. לאָמיר זאָגן מיר ווילן צעטיילן _z_1 = a + bi_) דורך _z_2 = c + di_):
\[ \frac{ז_1}{ז_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
צו פארפּשוטערן, טאפלען מיר דעם ציילער און נענער מיטן קאניוגאט פונעם נענער:
\[ \frac{ז_1}{ז_2} = \frac{(אַ + ביי)(c - די)}{(c + di)(c - די)} = \frac{(אַק + בד) + (בק - אַד)i}{c^2 + ד^2} \]
געאמעטרישע רעפּרעזענטאַציע
קאָמפּלעקסע נומערן קענען אויך רעפּרעזענטירט ווערן געאמעטריש אין דער קאָמפּלעקסער פלאַך, וואו די האָריזאָנטאַלע אַקס רעפּרעזענטירט דעם רעאַלן טייל און די ווערטיקאַלע אַקס רעפּרעזענטירט דעם אימאַגינערי טייל. דאָס איז ענלעך צו דער קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם וואָס ווערט געוויינטלעך גענוצט אין געאמעטריע.
די ווינקלען און לענג אין דעם רעפּרעזענטאַציע האָבן אויך אינטערפּרעטאַציעס. די לענג אָדער מאָדולוס פון אַ קאָמפּלעקס נומער \(z = a + bi\) איז די דיסטאַנץ פון יענעם פונקט צום אָנהייב (0,0), און קען ווערן קאַלקולירט מיטן פּיטהאַגאָרעאַן טעאָרעם:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
דערווייל, דער ווינקל אדער אַרגומענט פון אַ קאָמפּלעקסער נומער איז דער ווינקל וואָס ווערט געפֿאָרעמט דורך דער ליניע וואָס פֿאַרבינדט דעם פּונקט מיטן אָנהייב מיט דער פּאָזיטיווער רעאַלער אַקס, וואָס ווערט אויסגעדריקט אין ראַדיאַנען.
קאָמפּלעקסע נומער אַפּליקאַציעס
קאָמפּלעקסע נומערן האָבן אַ ברייטע קייט פון פּראַקטישע אַפּליקאַציעס, פֿון אינזשעניריע ביז קוואַנטום פֿיזיק. עטלעכע ביישפילן פֿון אַפּליקאַציעס פֿון קאָמפּלעקסע נומערן זענען:
עלעקטרישע און עלעקטראָנישע אינזשעניריע
אין AC (אלטערנייטינג קראַנט) קרייז אַנאַליז, ווערן קאָמפּלעקסע נומערן גענוצט צו רעפּרעזענטירן אימפּעדאַנס, וואָולטאַזש און קראַנט. אימפּעדאַנס אין דעם קאָנטעקסט איז אַ קאָמפּלעקסע מאָס פון קעגנשטעל וואָס נעמט אַרײַן ניט בלויז ריין קעגנשטעל נאָר אויך רעאַקטאַנס.
קוואַנטום פיזיק
אין קוואַנטום פיזיק, ווערט די כוואַליע פונקציע וואָס באַשרײַבט דעם צושטאַנד פֿון אַ סובאַטאָמישן פּאַרטיקל אָפֿט אויסגעדריקט ווי אַ קאָמפּלעקסע נומער. די כוואַליע פונקציע שפּילט אַ וויכטיקע ראָלע אין באַשטימען די וואַרשיינלעכקייט פֿון אַ פּאַרטיקל'ס אָרט און די ענערגיע וואָס עס באַזיצט אין אַ סיסטעם.
סיגנאַל פּראַסעסינג
אין סיגנאַל פּראַסעסינג, איז די פוריע טראַנספאָרמאַציע אַ וויכטיק געצייַג וואָס ניצט קאָמפּלעקסע נומערן. די פוריע טראַנספאָרמאַציע צעטיילט אַ צייט סיגנאַל אין אָפטקייט קאָמפּאָנענטן וואָס קענען אַנאַליזירט און מאָדיפיצירט ווערן באַזונדער.
פליסיק מעכאניק און אַעראָדינאַמיק
אין פליסיק מעכאניק, ווערן קאָמפּלעקסע נומערן גענוצט צו סאָלווען פֿאַרשידענע פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט צוויי-דימענסיאָנעלן פֿלוס. די קאָמפּלעקסע פּאָטענציעל מעטאָדע העלפֿט באַשטימען פֿלוס מוסטערן און אָנווענדן אַעראָדינאַמישע קאָנצעפּטן.
קעסימפּולאַן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַ שטאַרקער און פילזײַטיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק. כאָטש זיי קענען אָנפֿאַנג אויסזען אַבסטראַקט און ווײַט פֿון דער טעגלעכער רעאַליטעט, ווײַזן זייערע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע וויסנשאַפֿטלעכע פֿעלדער די וויכטיקייט פֿון פֿאַרשטיין און באַהערשן דעם באַגריף.
מיט אַ רייַכער געשיכטע און ברייטע אַפּליקאַציעס, האָבן קאָמפּלעקסע נומערן ניט נאָר אויסגעברייטערט דעם דערגרייך פון מאַטעמאַטיק, נאָר אויך געעפֿנט דעם וועג פֿאַר פֿילע כידעשים און ענטדעקונגען אין וויסנשאַפֿט און טעכנאָלאָגיע. ווי אַ פֿאַרלענגערונג פֿון דער רעאַלער נומער סיסטעם, פאָרשלאָגן קאָמפּלעקסע נומערן אומשאַצבארע קאָמפּאָנענטן פֿאַר דער אַנאַליז און לייזונג פֿון מער קאָמפּליצירטע רעאַלע פּראָבלעמען.
