דעריוואַט אַפּליקאַציעס

אַפּליקאַציעס פון דעריוואַטיוון אין וויסנשאַפֿט און טעכנאָלאָגיע

די דעריוואַטיוו איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין קאַלקולוס וואָס ווערט ברייט אָנגעווענדט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט און טעכנאָלאָגיע. די דעריוואַטיוו מעסט ווי אַ פֿונקציע ענדערט זיך ווען איר אינפֿוט ענדערט זיך. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס פֿון דעריוואַטיוון אין שליסל פֿעלדער ווי פֿיזיק, עקאָנאָמיק, ביאָלאָגיע, אינזשעניריע און קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט, ווי אויך פּראַקטישע וועגן צו זיי אָנווענדן אין וואָכעדיקן לעבן.

פיזיק

אין פיזיק, ווערן דעריוואַטיוון ברייט גענוצט צו רעכענען די גיכקייט און באַשלייכונג פון באַוועגלעכע אָביעקטן. אַלס אַן אילוסטראַציע, אויב די פּאָזיציע פון ​​אַן אָביעקט ווערט געגעבן דורך דער פונקציע s(t) וואָס איז אָפּהענגיק פון צייט t, דאַן איז די גיכקייט v(t) די ערשטע דעריוואַטיוו פון דער פּאָזיציע, דאָס הייסט, v(t) = ds/dt). באַשלייכונג איז די צווייטע דעריוואַטיוו פון דער פּאָזיציע אָדער די ערשטע דעריוואַטיוו פון דער גיכקייט, דאָס הייסט, a(t) = dv/dt = d²s/dt²).

דערצו, ווערן דעריוואַטיוון אויך גענוצט אין קלאַסישער מעכאניק צו אַנאַליזירן פּשוטע האַרמאָנישע באַוועגונג, ווי למשל פרילינג אָסצילאַציעס און פּענדזשאַלאַם ווייבריישאַנז. אין עלעקטראָמאַגנעטישע טעאָריע, נוצן מאַקסוועללס פונדאַמענטאַלע גלייכונגען פֿאַר עלעקטרישע און מאַגנעטישע פעלדער אויך פּאַרציעלע דעריוואַטיוון צו אויסדריקן די וועריאַציעס פון פעלדער אין פּלאַץ און צייט.

עקאנאמיע

דעריוואַטיוון ווערן אויך ברייט גענוצט אין עקאָנאָמיק צו אַנאַליזירן ענדערונגען אין עקאָנאָמישע וועריאַבלען. למשל, אויב מיר האָבן אַ גאַנץ קאָסטן פונקציע \( C(q) \) וואָס דעפּענדס אויף דער קוואַנטיטעט פון פּראָדוקציע \( q \), דאַן גיט די ערשטע דעריוואַטיוו פון דעם קאָסטן פונקציע \( C'(q) \) די מאַרדזשינאַל קאָסטן, וואָס איז די נאָך קאָסטן פון פּראָדוצירן איין נאָך אַפּאַראַט פון פּראָדוקציע. ענלעך, די פּראָפיט פונקציע \( π(q) \) קען ווערן דיפערענצירט צו באַקומען מאַרדזשינאַל פּראָפיט, וואָס ווייזט ווי קליינע ענדערונגען אין דער קוואַנטיטעט פון פּראָדוקציע קענען ווירקן גאַנץ פּראָפיט.

פֿאַרשטיין דעם באַגריף פֿון דעריוואַטיוון העלפֿט עקאָנאָמיסטן דורכפֿירן אָפּטימיזאַציע אַנאַליז, ווי צום בייַשפּיל באַשטימען די פּראָדוקציע קוואַנטיטעט וואָס מאַקסימיזירט פּראָפֿיט אָדער רעוועך. דאָס איז קריטיש אין געשעפֿט פּלאַנירונג און באַשלוס-מאכן.

ביאָלאָגי

אין ביאלאגיע, ווערן דעריוואטיוון גענוצט אין פארשידענע מאטעמאטישע מאדעלן וואס באשרייבן ביאלאגישע פראצעסן. איין וויכטיגע ביישפיל איז דער באפעלקערונג וואוקס מאדעל. אין דעם עקספאנענציאנעלן וואוקס מאדעל, ווערט די ענדערונג אין באפעלקערונג \( P(t) \) אויסגעדריקט אלס \( \frac{dP}{dt} = kP \), וואו \( k \) איז די וואוקס ראטע. די דיפערענציאל גלייכונג קען אינטעגרירט ווערן צו באקומען די פונקציע \( P(t) \) וואס באשרייבט די באפעלקערונג אין א געגעבענער צייט.

דעריוואַטיוון ווערן אויך גענוצט צו פֿאַרשטיין ענזיים דינאַמיק אין ביאָכעמישע רעאַקציעס, דורך די מיכאליס-מענטען גלייכונג, וואָס פֿאַרבינדט רעאַקציע ראַטעס צו סאַבסטראַט קאַנסאַנטריישאַנז. ביאָמאַטעמאַטיקער נוצן דעריוואַטיוון צו מאָדעלירן קראַנקייט פאַרשפּרייטונג, פּרעדאַטאָר-רויב ינטעראַקשאַנז, און אַנדערע עקאָסיסטעם דינאַמיק.

טעכניש

אין אינזשעניריע, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט אין דינאַמישע סיסטעמען אַנאַליז, אויטאָמאַטישע קאָנטראָל, און מער. אין דינאַמישע סיסטעמען אַנאַליז, ווערן לינעאַרע און ניט-לינעאַרע דיפערענציאַל גלייכונגען גענוצט צו באַשרייבן דאָס נאַטור פון מעכאַנישע, עלעקטרישע, טערמישע, און אַנדערע סיסטעמען. למשל, אין עלעקטרישער קרייז אַנאַליז, גיבן קירכהאָף'ס געזעצן דיפערענציאַל גלייכונגען וואָס ווערן דערנאָך געלייזט צו פֿאַרשטיין וואָולטאַזש און קראַנט ענדערונגען.

אין אויטאָמאַטישער קאָנטראָל אינזשעניריע, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט צו דיזיינען PID (פּראָפּאָרציאָנעל-אינטעגראַל-דעריוואַטיוו) קאָנטראָולערס. די קאָנטראָולערס זענען וויכטיק אין רעגולירן אינדוסטריעלע סיסטעמען צו זיכער מאַכן אַז די סיסטעם אַוטפּוט פּאַסט צו די געוואונטשע אינפוט. PID קאָנטראָולערס נוצן אינפֿאָרמאַציע פֿון די איצטיקע טעות (P), פֿאַרגאַנגענע טעות (I), און די ראַטע פֿון ענדערונג פֿון טעות (D).

קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט

אין קאמפיוטער וויסנשאפט, ווערט דער קאנצעפט פון דעריוואטיוון קלארסט אנגעווענדעט אין מאשין לערנען, ספעציעל אין גראדיענט-באזירטער אפטימיזאציע. דער גראדיענט דיסענט אלגאריטם, גענוצט צו אפטימיזירן קינסטלעכע נעוראל נעטוואָרקס, באשטייט פון אויסרעכענען די טיילווייזע דעריוואטיוון פון דער פארלוסט פונקציע אין באצוג צו יעדן מאדעל פאראמעטער. דער פראצעס העלפט געפינען אפטימאלע פאראמעטער ווערטן וואס מינימיזירן פארלוסט און פארבעסערן מאדעל פערפארמאנס.

דערצו, אין קאמפיוטער גראַפיקס, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט אין שאָטן און רענדערינג צו פּראָדוצירן רעאַליסטישע לייטינג עפֿעקטן. למשל, די נאָרמאַלן פון ייבערפלאַכן גענוצט אין פאָנג שאָטן לייטינג ווערן קאַלקיאַלירט מיט טיילווייזע דעריוואַטיוון פון די פֿונקציעס וואָס באַשרײַבן יענע ייבערפלאַכן.

אַפּליקאַציעס אין טעגלעך לעבן

חוץ איר באַנוץ אין אַקאַדעמישע און פּראָפעסיאָנעלע פעלדער, ווערן דעריוואַטיוון אויך אונטערבאַוואוסטזיניק גענוצט אין וואָכעדיקן לעבן. למשל, ווען מיר פאָרן, פֿאַרשטייען מיר אימפליציט די קאָנצעפּטן פֿון גיכקייט און אַקסעלעראַציע; מיר קענען אינטואיטיוו אָפּשאַצן ענדערונגען אין גיכקייט און דיסטאַנץ איבער צייט.

אין פערזענלעכע פינאנץ, פארשטיין אינטערעס ראטע ענדערונגען און זייער איינפלוס אויף הלוואות און אינוועסטמענטס איז אויך א פראקטישע אנווענדונג פון דעריוואטיוון. אזוי אויך, אין קאכן, קען מען אויסרעכענען די ראטע פון ​​ענדערונג אין טעמפעראטור פון א מאכל איבער צייט כדי צו פראדוצירן די פערפעקטע מאכל.

פּראַקטישע אַפּליקאַציע פון ​​דעריוואַטיוון: פאַל ביישפילן

צום שלוס, וועלן מיר דיסקוטירן א רעאל-וועלט ביישפיל וואס ווייזט די פראקטישע אנווענדונג פון דעם דעריוואטיוון קאנצעפט. לאמיר זאגן מיר ווילן מינימיזירן די רייזע צייט אויף א געגעבענער רוטע פאר פארשידענע באגרענעצנדע גיכקייטן.

מיר האָבן אַ רייזע צייט פונקציע \(T(x) \) וואָס איז אָפּהענגיק פון דער גיכקייט \(x \). ניצנדיק די מעטאָדע פון ​​דעריוואַטיוון, קענען מיר געפֿינען די אָפּטימאַלע גיכקייט \(x \) וואָס מינימיזירט די רייזע צייט. דער פּראָצעס נעמט אַרײַן:

1. באַשטימען די פונקציע \(T(x) \).
2. רעכנט אויס די ערשטע דעריוואַטיווע \( \frac{dT}{dx} \).
3. גלייכשטעלן \( \frac{dT}{dx} = 0 \) און געפינען דעם ווערט פון \( x \).
4. ניצט די צווייטע דעריוואַטיוו צו זיכער מאַכן אַז דער ווערט פון \(x \) טאַקע מינימיזירט די רייזע צייט.

אין מער קאָמפּליצירטע פאַלן, למשל אין דער זוכעניש פֿאַר דעם קירצסטן וועג ניצנדיק אַלגעריטם A, ווערט דער באַגריף פֿון דעריוואַטיוון גענוצט אין היוריסטישע קאַלקולאַציעס צו אָפּשאַצן די קאָסטן פֿון פֿאָרן פֿון איין פּונקט צום אַנדערן.

קעסימפּולאַן

דעריוואַטיוון זענען שטאַרקע און פילזײַטיקע מכשירים וואָס ווערן גענוצט אין אַ ברייטן קייט פון וויסנשאַפטלעכע דיסציפּלינעס און פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. פֿון פֿיזיק ביז עקאָנאָמיק, ביאָלאָגיע ביז אינזשעניריע, און אפילו קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט, די מעגלעכקייט צו פֿאַרשטיין און אַפּליקירן דעריוואַטיוון דערמעגלעכט עקספּערטן צו מאַכן גענויע פאָרויסזאָגן, אָפּטימיזירן רעזולטאַטן, און סאָלווען קאָמפּלעקסע פּראָבלעמען. אַ גוט פֿאַרשטאַנד פֿון דעם באַגריף עפֿנט אויף פֿילע געלעגנהייטן פֿאַר כידעש און ווײַטערדיקע אַנטוויקלונג אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט און טעכנאָלאָגיע.