אַפּליקאַציעס פון דעריוואַטיוון אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט
די דעריוואַטיוו איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין קאַלקולוס, איינגעפירט דורך סער אייזיק ניוטאָן און גאָטפריד ווילהעלם לייבניץ אין די שפּעטע 17טע יאָרהונדערט. אין מאַטעמאַטיק, רעפּרעזענטירט אַ דעריוואַטיוו די ראַטע פון ענדערונג פון אַ פונקציע אין באַצוג צו איינער פון אירע וועריאַבאַלן. דער באַגריף איז נישט בלויז יסודותדיק צו מאַטעמאַטיק אַליין, נאָר האט אויך ברייטע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע אַנדערע פעלדער פון וויסנשאַפֿט. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן די פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס פון דעריוואַטיוון אין פֿאַרשידענע דיסציפּלינעס, פון פיזיק און עקאָנאָמיק ביז ביאָלאָגיע און אינזשעניריע ביז קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט.
1. פיזיק
דעריוואַטיוון זענען זייער וויכטיק אין פיזיק, ספּעציעל אין קלאַסישער מעכאניק. איינער פון די מערסט באַזישע ביישפילן איז די באַציִונג צווישן פּאָזיציע, גיכקייט און אַקסעלעראַציע. אויב \( s(t) \) איז די פּאָזיציע פון אַן אָביעקט ווי אַ פֿונקציע פון צייט, דעמאָלט:
– גיכקייט (\(v(t) \)) איז די ערשטע דעריוואטיוו פון פאזיציע אין באצוג צו צייט: \(v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \).
– אַקסעלעראַציע (\( a(t) \)) איז די ערשטע דעריוואַטיווע פון גיכקייט אדער די צווייטע דעריוואַטיווע פון פּאָזיציע אין באַצוג צו צייט: \( a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2s(t)}{dt^2} \).
דערצו, אין עלעקטראָמאַגנעטיזם, זאָגט פאַראַדיי'ס געזעץ פון עלעקטראָמאַגנעטישע אינדוקציע אַז די עלעקטראָמאָטיווע קראַפט (EMF) וואָס ווערט אינדוצירט אין אַ קרייַז איז די דעריוואַט פון דעם מאַגנעטישן פלוקס אין באַצוג צו צייט.
2. עקאנאמיע
אין עקאָנאָמיק, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט צו אַנאַליזירן ענדערונגען אין קאָסטן, איינקונפט און פּראָדוקציע פונקציעס. למשל:
– מאַרדזשינאַלע קאָסטן (Marginal Cost) איז די דעריוואַטיוו פון דער גאַנץ קאָסטן פונקציע אין באַצוג צו דער קוואַנטיטעט פון פּראָדוקציע, וואָס ווייזט ווי גאַנץ קאָסטן טוישן זיך ווען פּראָדוקציע וואַקסט: \( MC = \frac{dTC}{dQ} \).
– מאַרדזשינאַלע איינקונפט (Marginal Revenue) איז די דעריוואַט פון דער גאַנצער איינקונפט פונקציע אין באַצוג צו דער קוואַנטיטעט פון פּראָדוקציע, וואָס באַשרײַבט די נאָך איינקונפט ווען פארקויפונגען ווערן געוואקסן: \( MR = \frac{dTR}{dQ} \).
נאך א וויכטיגע אנווענדונג איז אין נוצלעכקייט טעאריע. די נוצלעכקייט פונקציע באשרייבט די צופרידנהייט אדער נוצלעכקייט באקומען פון דעם קאנסומאציע פון סחורות און סערוויסעס. די ערשטע דעריוואטיוו פון דער נוצלעכקייט פונקציע ווערט גערופן מאַרדזשינאַל נוצלעכקייט, וואָס ווייזט די צוגעלייגטע צופרידנהייט באקומען פון קאנסומירן אן צוגעלייגטע איינהייט פון א סחורה אדער סערוויס.
3. ביאָלאָגיע
אין ביאלאגיע, ווערן דעריוואטיוון גענוצט צו מאָדעלירן פארשידענע דינאמישע פּראָצעסן. למשל, אין עקאלאגיע, נוצן פּאָפּולאַציע וואוקס מאָדעלן אָפט דעריוואטיוון צו באַשרייבן די וואוקס קורס פון אַ פּאָפּולאַציע. די עקספּאָנענציעלע און לאָגיסטישע וואוקס מאָדעלן זענען צוויי געוויינטלעכע ביישפילן:
– עקספּאָנענציעלער וואוקס מאָדעל: \( \frac{dN}{dt} = rN \), וואו \( N \) איז די באַפעלקערונג גרייס און \( r \) איז די אינטרינסישע וואוקס ראטע.
– לאָגיסטישער וואוקס מאָדעל: (\frac{dN}{dt} = rN (1 – \frac{N}{K})), וואו (K) איז די סביבה'דיקע קאַפּאַציטעט און (\left(1 – \frac{N}{K})) איז אַ רעדוקציע פאַקטאָר וואָס רעדוצירט די וואוקס קורס ווי די סביבה'דיקע קאַפּאַציטעט ווערט דערנענטערט.
אין פיזיאָלאָגיע, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט צו מאָדעלירן פיזיאָלאָגישע פּראָצעסן ווי בלוט שטראָם און נערוו סיגנאַל טראַנסמיסיע. למשל, דאַרסי'ס געזעץ פֿאַר בלוט שטראָם אין בלוט כלים נוצט דעריוואַטיוון צו באַשרײַבן ענדערונגען אין בלוט דרוק צוזאמען דעם כלים.
4. טעכניק
דעריוואַטיוון זענען אויך זייער וויכטיק אין פֿאַרשידענע צווייגן פֿון אינזשעניריע. אין ציווילער אינזשעניריע און מעכאַניק, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט אין סטרוקטוראַלער אַנאַליז און פֿלוסיקער מעכאַניק. למשל:
– אין סטרוקטורעלער אנאליז, ווערט די ענדלעכע עלעמענט מעטאד גענוצט צו באשטימען דעפארמאציעס און שפאנונגען אין סטרוקטורן. די דעריוואט פון דער פארשייבונג פונקציע גיט די שפּאַנונג, און די דעריוואט פון דער שפּאַנונג גיט די שפּאַנונג.
– אין פליסיק מעכאניק, באַשרײַבן די נאַוויער-סטאָוקס גלייכונגען פליסיק שטראָם. די גלייכונגען זענען דיפערענציאַל גלייכונגען וואָס אַרייַננעמען פּאַרציעלע דעריוואַטיוון פון פליסיק גיכקייט אין באַצוג צו צײַט און אָרט.
אין עלעקטרישער אינזשעניריע, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט אין דער אַנאַליז פון עלעקטרישע קרייזן. קירכהאָף'ס געזעצן און נעץ טעאָריע אָפט אַרייַננעמען דעריוואַטיוון צו באַשרייבן די שייכות צווישן קראַנט, וואָולטאַזש און אינדוקטאַנס אין עלעקטרישע קרייזן.
5. קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט
אין קאמפיוטער וויסנשאפט, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט אין אָפּטימיזאַציע און מאַשין לערנען. איינע פון די הויפּט אַפּליקאַציעס איז אין אָפּטימיזאַציע אַלגעריטמען ווי גראַדיענט דיסענט. דער אַלגעריטם ווערט גענוצט צו מינימיזירן אַ קאָסטן פונקציע אין דעם טראַינינג פּראָצעס פון אַ מאַשין לערנען מאָדעל:
– דער גראַדיענט איז דער ערשטער דעריוואַטיוו וועקטאָר פון דער קאָסטן פונקציע אין באַצוג צו די מאָדעל פּאַראַמעטערס, וואָס ווײַזט די ריכטונג פון דער גרעסטער ענדערונג.
– גראַדיענט דיסענט איז אַן איטעראַטיוו פּראָצעס וואָס ניצט גראַדיענטן צו דערהייַנטיקן מאָדעל פּאַראַמעטערס צו דעם מינימום פון דער קאָסטן פונקציע.
דערצו, אין קאמפיוטער גראַפיקס, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט צו מאַניפּולירן ליכט און שאָטנס. לאַמבערט'ס געזעץ און די פאָנג ליכט מאָדעל נוצן דעריוואַטיוון צו רעכענען די אינטענסיטעט פון ליכט רעפלעקטירט פון אַ ייבערפלאַך אויסגעשטעלט צו אַ ליכט מקור.
6. כעמיע
אין כעמיע, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט אין רעאַקציע קינעטיק צו באַשרײַבן די ראַטע פון אַ כעמישע רעאַקציע. די רעאַקציע ראַטע ווערט געוויינטלעך אויסגעדריקט ווי די דעריוואַטיוו פון דער קאָנצענטראַציע פון אַ רעאַקטאַנט אָדער פּראָדוקט אין באַצוג צו צײַט. למשל, פֿאַר דער ערשטער רעאַקציע:
\[ \text{רעאַקטאַנטן} \rightarrow \text{פּראָדוקטן} \]
די רעאַקציע ראַטע r(t) קען אויסגעדריקט ווערן ווי:
r(t) = – d[רעאַקטאַנט]}{dt = d[פּראָדוקט]}{dt]
דערצו, ווערן דעריוואטיוון גענוצט אין טערמאדינאמיק צו אנאליזירן ענערגיע ענדערונגען אין א סיסטעם. למשל, די גיבס פרייע ענערגיע (G) איז א טערמאדינאמישע פונקציע וואס ווערט אפט גענוצט צו פאראויסזאגן די ריכטונג פון כעמישע רעאקציעס, און די ערשטע דעריוואט פון G אין באצוג צו די גראדן פון פרייהייט פון א סיסטעם גיט אינפארמאציע וועגן דעם צושטאנד פון טערמאדינאמישן גלייכגעוויכט.
קעסימפּולאַן
פון דער אויבנדערמאנטער דערקלערונג, איז קלאר אז דער קאנצעפט פון דעריוואטיוון האט ברייטע אנווענדונגען איבער פארשידענע וויסנשאפטלעכע פעלדער. אין פיזיק, באשרייבן דעריוואטיוון די פונדאַמענטאַלע באַציִונג צווישן פּאָזיציע, גיכקייט און אַקסעלעראַציע. אין עקאָנאָמיק, ווערן דעריוואטיוון גענוצט צו אַנאַליזירן מאַרדזשינאַלע קאָסטן און הכנסות. אין ביאָלאָגיע, העלפן דעריוואטיוון מאָדעלירן באַפעלקערונג וווּקס און פיזיאָלאָגישע פּראָצעסן. אין אינזשעניריע, זענען דעריוואטיוון עסענציעל אין סטרוקטורעלער אַנאַליז און פליסיק מעכאַניק. קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט נוצט דעריוואטיוון אין אָפּטימיזאַציע אַלגעריטמען און מאַשין לערנען. אין כעמיע, ווערן דעריוואטיוון גענוצט אין רעאַקציע קינעטיק און טערמאָדינאַמיק. דעריבער, פֿאַרשטיין און באַהערשן דעם קאנצעפט פון דעריוואטיוון איז קריטיש פֿאַר וויסנשאַפֿטלער און אינזשענירן איבער פארשידענע דיסציפּלינעס.
