27. Mermi hareketi – sorunlar ve çözümler
1. Bir mermi 20 m/s hızla θ = 60 ° açıyla ateşleniyor . Yerçekimi ivmesi 10 m/s²'dir . Maksimum yüksekliğe ulaşması için gereken süre nedir?
Bilinenler:
Merminin ilk hızı (v₀ ) = 20 m/s
Açı (θ) = 60 ° C
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 ms –2
Aranan: Maksimum yüksekliğe ulaşmak için gereken zaman aralığı
Çözüm :
Yatay yöndeki (x ekseni) ilk hız:
v öküz = v Ö cos 60 Ö = (20)(0.5) = 10 m/s
Dikey yöndeki (y ekseni) ilk hız:
v oy = vo sin 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
Maksimum yüksekliğe ulaşmak için gereken süre, bu denklem kullanılarak hesaplanır:
v ty = v oy + gt
v ty = dikey yöndeki son hız = en yüksek noktadaki son hız = 0 m/s
v oy = yatay yöndeki ilk hız = 10√3 m/s
g = yerçekimi ivmesi = 10 m/ s²
t = zaman aralığı
Zaman aralığı:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3 saniye
2. Bir cisim belirli bir açıyla fırlatılıyor. Cismin yüksekliği, zaman aralığı 1 saniye ve 3 saniye olduğunda aynıdır. Cismin havadaki zaman aralığı nedir?
Çözüm :
Nesne 4 saniye boyunca havada kaldı.
3. Bir uçak yatay olarak saniyede 50 m hızla hareket etmektedir . 2 km yükseklikte, uçaktan bir cisim bırakılıyor. Yerçekimi ivmesi = 10 m/ s² ise, cismin yere düşmesine kadar geçen süre nedir?
Bilinenler:
Yükseklik = 2 km = 2000 metre
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ s²
Aranan: Zaman aralığı (t)
Çözüm :
h = 1/2 gt 2
2000 = 1/2 (10) t 2
2000 = 5 t 2
t 2 = 2000/5 = 400
t = √400 = 20 saniye
4. Tekmeyle fırlatılan bir futbol topu, yatay düzlemle θ = 45 ° açı yaparak 25 m/s'lik ilk hızla yerden ayrılıyor . X mesafesini belirleyin. Yerçekimi ivmesi 10 m/ s²'dir.
Bilinenler:
Başlangıç hızı (v o ) = 25 m/s
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ s²
Açı (θ) = 45 °
Aranıyor: X
Çözüm :
Başlangıç hızının yatay bileşeni:
v öküz = v o çünkü θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Başlangıç hızının dikey bileşeni:
v oy = v o sin θ = (25 m/s)(sin 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Mermi hareketi, hareketin yatay ve dikey bileşenleri ayrı ayrı analiz edilerek anlaşılabilir. X eksenindeki hareket sabit hızla, Y eksenindeki hareket ise sabit yerçekimi ivmesiyle gerçekleşir.
Havada kalma süresi (t):
Havada kalma süresi, yukarı doğru dikey hareket denklemiyle hesaplanır.
Yukarı yönü pozitif, aşağı yönü negatif olarak seçin.
Bilinenler:
Başlangıç hızı (v o ) = 12.5√2 m/s (yukarı yön, pozitif)
Yerçekimi ivmesi (g) = -10 m/s² ( aşağı doğru, negatif)
Yükseklik (h) = 0
İstenen: Zaman aralığı (t)
Çözüm :
h = v o t + 1/2 gt 2
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t 2
0 = 12.5√2 t – 5 t 2
12.5√2 t = 5 t 2
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2 saniye
Yatay mesafe (X):
Sabit hızla gerçekleşen düzgün doğrusal hareket denklemi kullanılarak hesaplanmıştır .
Bilinenler:
Hız (v) = 12.5√2 m/s
Zaman aralığı (t) = 2.5√2 saniye
Aranan: Mesafe
Çözüm :
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metre
5. Yatay düzlemle θ = 30 ° açı yapacak şekilde yukarı doğru fırlatılan bir cismin ilk hızı 20 m/s'dir. Yerçekimi ivmesi 10 m/s²'dir . Maksimum yüksekliği belirleyiniz.
Bilinenler:
Başlangıç hızı (vo) = 20 m/s
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ s²
Açı (θ) = 30 °
Aranan : Maksimum yükseklik
Çözüm :
Öncelikle, ilk hızın dikey bileşenini (v oy ) bulun:
v oy = v o sin 30 o = (20)(sin 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
Maksimum yüksekliği hesaplayın. Yukarı yönü pozitif, aşağı yönü negatif olarak seçin.
Bilinenler:
Yerçekimi ivmesi (g) = -10 m/s² ( aşağı doğru , negatif )
Başlangıç hızının dikey bileşeni (v oy ) = 10 m/s ( yukarı yön, pozitif )
Maksimum yükseklikteki hız (v ty ) = 0
İstenen: Maksimum yükseklik (h)
Çözüm :
v t 2 = v o 2 + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) h
0 = 100 – 20 saat
100 = 20 saat
h = 100/20
h = 5 metre
Azami yüksekliği 5 metredir.
6. Bir cisim belirli bir yükselme açısıyla fırlatılıyor. Cismin yüksekliği 1 saniye ve 3 saniye sonra aynı kalıyor. Cismin havada kalma süresini belirleyiniz.
A. 3.6 s
B. 4.0 s
C. 5.6 s
D. 6.4 s
Çözüm
Havada kalma süresi = 4 saniye.
Doğru cevap B'dir.
7. Bir uçak yatay olarak saniyede 50 m hızla hareket etmektedir. Uçak 2 km yüksekliğe ulaştığında, bir cisim uçaktan serbestçe düşebilir. Bu hareketin türünü belirleyiniz.
A. Serbest düşme hareketi
B. Yüzme hareketi
C. Yatay hareket
D. Mermi hareketi
Çözüm :
Cisim, hareket halindeki uçaktan bırakılıyor çünkü uçağın hızıyla aynı hıza, yani 50 m/s hıza sahip. Cisimlerin hareketi serbest düşme hareketi gibi değil, parabolik harekettir. Bu durum, hareket halindeki bir arabanın içinden cisim bırakmaya benzer.
Doğru cevap D'dir.
8. Bir top, 60 metre yüksekliğindeki bir uçurumdan yatay olarak saniyede 15 metre hızla atılıyor. Topun yere düşmesi ne kadar sürer?
Çözüm: \( h = \frac{1}{2} gt^2 \) formülünü kullanarak, zamanın \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \) olduğunu buluyoruz.
9. Bir mermi, yatay düzlemle 30° açı yapacak şekilde ve 20 m/s'lik ilk hızla fırlatılıyor. Ulaştığı maksimum yükseklik nedir?
Çözüm: \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) formülünü kullanarak, maksimum yükseklik \( h \approx 10.2\ \text{m} \) olur.
10. 80 metre yüksekliğindeki bir kuleden yatay olarak saniyede 10 m hızla bir taş atılıyor. Taşın yere düşmeden önce kat ettiği yatay mesafeyi bulun.
Çözüm: Problem 1'e benzer şekilde bulunan zamanı kullanarak yatay mesafe \( d = vt \approx 40\ \text{m} \) olur.
11. Bir top mermisi 40 m/s hızla 45° açıyla ateşleniyor. Uçuş süresini bulunuz.
Çözüm: \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) formülünü kullanarak uçuş süresi \( t \approx 5.8\ \text{s} \) olur.
12. Bir beyzbol topu 60° açıyla ve 12 m/s hızla atılıyor. Yatay menzili bulun.
Çözüm: \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) kullanılarak, aralık \( R \approx 14.0\ \text{m} \) olur.
13. Bir cisim, yatay düzlemden 37° yukarıda, 50 m/s'lik bir ilk hızla fırlatılıyor. Dikey hız bileşeni nedir?
Çözüm: Dikey bileşen \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \) şeklindedir.
14. Bir cisim 100 metre yükseklikten yatay olarak saniyede 20 m hızla fırlatılıyor. Yere çarpmadan hemen önceki dikey hızı nedir?
Çözüm: \( v_y = \sqrt{2gh} \) formülünü kullanarak, dikey hız \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \) olur.
15. Bir taş, yatay düzlemle 25° açı yapacak şekilde ve 15 m/s'lik ilk hızla atılıyor. Taşın yatay ve dikey hız bileşenleri nelerdir?
Çözüm: Yatay bileşen \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), dikey bileşen ise \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \)'dir.
16. Bir futbol topu, yatay düzlemle 40° açı yapacak şekilde, saniyede 30 m'lik bir ilk hızla tekmeleniyor. Topun yatay hız bileşeni nedir?
Çözüm: Yatay bileşen \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \)'dir.
17. Bir golf topu, 20°'lik bir açıyla 70 m/s'lik bir ilk hızla vuruluyor. Topun uçuş süresi nedir?
Çözüm: Uçuş süresi denklemini kullanarak, süre \( t \approx 4.9\ \text{s} \) olur.
18. Bir cisim yerden yatay düzlemle 53° açı yapacak şekilde 25 m/s hızla fırlatılıyor. İlk dikey hız bileşeni nedir?
Çözüm: Dikey bileşen \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \) şeklindedir.
19. Bir beyzbol topu, 20 m/s'lik ilk hızla 50°'lik bir açıyla fırlatılıyor. Topun ulaşabileceği maksimum yükseklik nedir?
Çözüm: Maksimum yükseklik denklemini kullanarak, yükseklik \( h \approx 15.3\ \text{m} \) olur.
20. Bir mermi, 10 metre yükseklikten yatay olarak saniyede 200 m hızla ateşleniyor. Yere düşmesi ne kadar sürer?
Çözüm: Zaman denklemini kullanarak, zaman \( t \approx 1.4\ \text{s} \) olur.
21. Bir gülle 45 m/s hızla 30° açıyla ateşleniyor. Menzili bulun.
Çözüm: Menzil denklemini kullanarak menzil \( R \approx 88.2\ \text{m} \) olur.
22. Bir basketbol topu 75° açıyla ve 10 m/s hızla atılıyor. Yatay menzili bulun.
Çözüm: Menzil denklemini kullanarak menzil \( R \approx 5.3\ \text{m} \) olur.
23. Bir cisim, yatay düzlemden 22° yukarı açıyla 30 m/s'lik ilk hızla fırlatılıyor. Yere çarpmadan hemen önceki dikey hızı nedir?
Çözüm: Dikey hız denklemini kullanarak, dikey hız \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \) olur.
24. 40 metre yüksekliğindeki bir kuleden yatay olarak saniyede 8 m hızla bir taş atılıyor. Taşın yatay olarak kat ettiği mesafe nedir?
Çözüm: Yatay mesafe denklemini kullanarak, mesafe \( d \approx 16\ \text{m} \) olur.
25. Bir futbol topu, yatay düzlemle 30° açı yapacak şekilde, saniyede 12 m'lik bir ilk hızla tekmeleniyor. Topun yatay ve dikey hız bileşenleri nelerdir?
Çözüm: Yatay bileşen \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), dikey bileşen ise \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \)'dir.
26. Bir golf topu, 15°'lik bir açıyla 50 m/s'lik bir ilk hızla vuruluyor. Topun uçuş süresi nedir?
Çözüm: Uçuş süresi denklemini kullanarak, süre \( t \approx 2.6\ \text{s} \) olur.
27. Bir cisim yerden yatay düzleme 60° açıyla ve saniyede 40 m hızla fırlatılıyor. İlk yatay hız bileşeni nedir?
Çözüm: Yatay bileşen \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \)'dir.
