Dairesel hareket – problemler ve çözümler

Dairesel hareket – sorunlar ve çözümler

1. 10 kg kütleli bir cisim, saniyede 4 m sabit hızla bir daire içinde hareket etmektedir. Dairenin yarıçapı 0.5 metre ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1) Dairelerin frekansı 4/π Hz'dir.

2) Merkezcil ivme 32 ms⁻²'dir^.

3) Merkezcil kuvvet 320 N'dir.

4) Periyot 4π s'dir.

Hangi ifadeler doğrudur?

Bilinenler:

Cismin kütlesi (m) = 10 kg

Doğrusal hız (v) = 4 m/s

Çemberin yarıçapı (r) = 0.5 metre

Çözüm :

1) Dairenin frekansı

v = 2 π rf

4 = 2 π (0.5) f

4 = π f

f = 4/π Hertz

2) Merkezcil ivme

a _s = v ² / r = 4 ² / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/s ²

3) Merkezcil kuvvet

F = ma _s = (10)(32) = 320 N

4) Dönem

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. Bir cisim 6 metre yarıçaplı bir daire içinde hareket etmektedir. Cisim 2 dakikada 16 tur atıyorsa, cismin doğrusal hızı nedir?

Bilinenler:

Yarıçap (r) = 6 metre

Açısal hız (ω) = 16 devir / 2 dakika = 8 devir / dakika = 8 devir / 60 saniye = 0.13 devir/saniye.

Aranan: Doğrusal hız (v)?

Çözüm :

v = r ω = (6 metre)(0.13 devir/saniye) = 0.8 metre/saniye

Radyan cinsinden:

1 devir = 2π radyan = 2(3.14) = 6.28 radyan

Açısal hız = 8 (6.28) radyan / 60 saniye = 50.24 radyan / 60 saniye = 0.84 radyan/saniye

v = r ω = (6 metre)(0.84 radyan/saniye) = 5.04 radyan/saniye.

3. Yarıçapı 20/π cm olan bir cisim 1 saniyede 4 kez dönüyor. Cismin kenarının doğrusal hızı nedir?

Bilinenler:

Yarıçap (r) = 20/π cm = 20 / 3.14 cm = 6.4 cm = 0.064 metre

Açısal hız (ω) = 4 devir / 1 saniye = 4 devir / saniye.

1 devir = (2)(3.14) radyan = 6.28 radyan

Açısal hız (ω) = (4)(6.28) radyan/saniye = 25.12 radyan/saniye

İstenen: Nesnenin kenarının doğrusal hızı (v)

Çözüm :

v = r ω = (0.064 metre)(25.12 radyan/saniye) = 1.6 metre/saniye

4. Sabit hızla dairesel hareket eden bir cismin doğrusal hızı şunlara bağlıdır…

Çözüm :

Dairesel hareketin doğrusal hız denklemi:

v = doğrusal hız

d = 2πr = çevre

T = periyot = bir tam devir için gereken süre.

5. Bir cisim 50 metre yarıçaplı bir daire içinde hareket etmektedir. Cismin açısal hızı 120 devir/dakika ise, zaman aralığı ve cismin doğrusal hızı nedir?

Bilinenler:

Yarıçap (r) = 50 cm = 0.5 metre

Açısal hız (ω) = 120 devir/dakika = 120 devir / 1 dakika = 120 devir / 60 dakika = 2 devir / 1 saniye

1 devir = 2π radyan

Açısal hız (ω) = 2 (2π radyan) / 1 saniye = 4π radyan/saniye

İstenen: Zaman aralığı (T) ve doğrusal hız (v)

Çözüm :

Dönem (T):

Periyot, bir tam devir için gereken süredir.

Bir cisim 1 saniyede iki devir yapar = 0.5 saniyede 1 devir. Periyot = 0.5 saniye.

Doğrusal hız (v):

v = r ω = (0.5 metre)(4π radyan/saniye) = 2π metre/saniye.

Dairesel harekette teğetsel hız ile açısal hız arasındaki fark nedir?
Cevap : Teğetsel hız, dönen bir cisim üzerindeki bir noktanın doğrusal hızıdır ve noktanın dairesel yörüngesi boyunca ne kadar hızlı hareket ettiğini gösterir. Açısal hız ise, cisim dönerken açının ne kadar hızlı değiştiğini ifade eder. Teğetsel hız genellikle metre/saniye (m/s) cinsinden ölçülürken, açısal hız genellikle radyan/saniye (rad/s) cinsinden ölçülür.
Merkezcil ivme nedir ve dairesel hareketle ilişkisi nedir?
Cevap : Merkezcil ivme, dairesel bir yörüngede hareket eden bir cismin maruz kaldığı ivmedir. Her zaman çemberin merkezine doğrudur ve cismin dairesel yörüngesinde kalmasından sorumludur. Merkezcil ivmenin formülü $a_{c} = v² ^{/ r'dir}$ burada $v$ teğetsel hız ve $r$ çemberin yarıçapıdır.
Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin hızı sabit olsa bile neden ivmesi vardır?
Cevap : Düzgün dairesel harekette hızın büyüklüğü (veya boyutu) sabit kalırken, hızın yönü değişir. İvme, hızdaki bir değişim olarak tanımlandığından ve hız hem büyüklüğü hem de yönü olan vektörel bir nicelik olduğundan, yöndeki herhangi bir değişiklik ivme oluşturur. Bu durumda, bu merkezcil ivmedir.
Dairesel hareketi sürdürmek için gereken kuvvet, cismin kütlesi ve çemberin yarıçapı ile nasıl ilişkilidir?
Cevap : Dairesel hareketi sürdürmek $için gereken kuvvet, merkezcil kuvvet formülüyle verilir: Fc = m \times ac =_{m}$ × $v² / r . Denklemden_{de} görüldüğü gibi, ^{gereken kuvvet}$
Bir araba keskin bir viraj aldığında (örneğin, döner kavşakta) neden dışarı doğru itildiğinizi hissedersiniz?
Cevap : Bu, dairesel bir yörüngede hareket eden bir cisme dışa doğru etki eden algılanan bir kuvvet olan "hayali" merkezkaç kuvvetinden kaynaklanmaktadır. Bu, itme veya çekme anlamında gerçek bir kuvvet değil, atalet etkisidir. Vücudunuz düz bir çizgide hareket etmek ister (Newton'un birinci yasası), ancak arabanın duvarları veya emniyet kemeri sizi dairesel bir yörüngede hareket ettirmek için bir kuvvet uygular. Bu, dışa doğru itilme hissi yaratır.
Sürtünme, özellikle bir araba yolda dönerken, dairesel harekette ne gibi bir rol oynar?
Cevap : Lastikler ile yol arasındaki sürtünme, bir aracın dönmesini sağlayan gerekli merkezcil kuvveti sağlar. Yeterli sürtünme olmasaydı, araç kayar veya savrulur ve amaçlanan dairesel yörüngeyi izleyemezdi.
Dairesel yörüngenin yarıçapı yarıya indirilirse ancak hız aynı kalırsa merkezcil kuvvet nasıl değişir?
Cevap : Yarıçap yarıya indirilirse ve hız aynı kalırsa, merkezcil kuvvet iki katına çıkar, çünkü merkezcil kuvvet yarıçapla ters orantılıdır.
Dairesel harekette neden merkezcil kuvvet olmadan merkezkaç kuvveti olamaz?
Cevap : Merkezkaç kuvveti, dönen bir referans çerçevesinde gözlemlenen tepkisel veya "hayali" bir kuvvettir. Nesneleri dönme merkezinden dışarı doğru itiyormuş gibi görünür. Bununla birlikte, bir nesnenin dairesel bir yörüngede hareket etmesi için, merkeze doğru etki eden gerçek bir kuvvet, yani merkezcil kuvvet olmalıdır. Merkezcil kuvvet olmasaydı, dairesel hareket olmazdı ve dolayısıyla merkezkaç kuvveti algısı da olmazdı.
Dünya ile Ay arasındaki yerçekimi kuvveti, Ay'ın dairesel yörüngesinden nasıl sorumludur?
Cevap : Dünya ile Ay arasındaki yerçekimi kuvveti, Ay'ı Dünya etrafındaki yörüngesinde tutan merkezcil kuvvet görevi görür. Bu yerçekimi çekimi olmasaydı, Ay dairesel (veya daha doğru bir ifadeyle, elips şeklindeki) yörüngesi yerine düz bir çizgide hareket ederdi.
Bir topa bağlı ip yarıya kısaltılırken top aynı hızda daire şeklinde döndürülürse, ipteki gerilim nasıl değişir?

Cevap : Eğer hız sabit tutulurken ipin uzunluğu (dairesel yolun yarıçapına karşılık gelir) yarıya indirilirse, gereken merkezcil kuvvet (ve dolayısıyla ipteki gerilim) iki katına çıkar. Bunun nedeni, merkezcil kuvvetin (ve bu senaryoda değişen gerilimin) yarıçapla ters orantılı olmasıdır.