กฎของเกาส์

บทความเกี่ยวกับกฎของเกาส์

ในส่วนของกฎของคูลอมบ์นั้นได้มีการศึกษาแรงระหว่างประจุไฟฟ้า ในการทบทวนเรื่องสนามไฟฟ้า ได้มีการกล่าวถึงกฎของคูลอมบ์อีกรูปแบบหนึ่ง ซึ่งแสดงโดยสมการ F = q E

โดยที่ F คือแรงทางไฟฟ้า, q คือประจุไฟฟ้า และ E คือสนามไฟฟ้า กล่าวได้ว่ากฎของคูลอมบ์เป็นกฎทางฟิสิกส์ที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างประจุไฟฟ้า (q) และสนามไฟฟ้า (E)

กฎของเกาส์เป็นอีกหนึ่งกฎทางฟิสิกส์ที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างประจุไฟฟ้าและสนามไฟฟ้า กฎของเกาส์ถูกคิดค้นโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ค.ศ. 1777-1855) นักฟิสิกส์ทฤษฎีและนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

สนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุไฟฟ้าหนึ่งตัวหรือหลายตัวสามารถคำนวณได้ง่ายโดยใช้กฎของคูลอมบ์ แต่การคำนวณจะซับซ้อนมากขึ้นหากสิ่งที่ต้องการหาคือสนามไฟฟ้าที่เกิดจากการกระจายตัวของประจุไฟฟ้า กฎของเกาส์ให้วิธีการที่เป็นธรรมชาติมากกว่าในการหาค่าสนามไฟฟ้าที่เกิดจากการกระจายตัวของประจุไฟฟ้า นอกจากนี้ หากทราบสนามไฟฟ้าแล้ว กฎของเกาส์ยังสามารถใช้ในการหาการกระจายตัวของประจุไฟฟ้าที่ก่อให้เกิดสนามไฟฟ้าได้ ต่อไปนี้เป็นการทบทวนแนวคิดและสมการของกฎของเกาส์

พิจารณาประจุไฟฟ้าบวกที่อยู่ตรงกลางทรงกลมดังแสดงในรูปด้านข้าง ถ้าหากรัศมีของทรงกลมคือ R แล้ว ความเข้มของสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุนั้นทั่วทรงกลมคือ E = k Q/R² และพื้นที่ผิวของทรงกลมคือ A = 4 π r².

เพื่อแสดงภาพสนามไฟฟ้า จึงมีการวาดเส้นสนามไฟฟ้า แต่ในภาพแสดงเพียงสี่เส้นสนามไฟฟ้าเท่านั้น ประจุไฟฟ้าเป็นบวก ดังนั้นเส้นสนามไฟฟ้าจึงถูกลากออกจากจุดศูนย์กลางของลูกบอลซึ่งเป็นที่ตั้งของประจุไฟฟ้า

และเส้นแรงไฟฟ้าแต่ละเส้นจะตั้งฉากกับพื้นผิวของลูกบอลที่ผ่านเส้นนั้น ยิ่งอยู่ห่างจากประจุไฟฟ้ามากเท่าใด สนามไฟฟ้าก็จะยิ่งเล็กลง ดังนั้นระยะห่างระหว่างเส้นแรงไฟฟ้าก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวของทรงกลมคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

^{F = ฟ}ลักซ์ไฟฟ้า, Q = ประจุไฟฟ้า, k = 9 x 10⁹ ^N m² ^/ C² ^, ε₀ ₍ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของสุญญากาศ) = 8.85 x ^10⁻¹² C² /N ^m² , π = 3.14

จากสมการนี้ สรุปได้ว่าฟลักซ์ไฟฟ้า (F) ที่ผ่านพื้นผิวทรงกลมเป็นสัดส่วนโดยตรงกับปริมาณประจุไฟฟ้า (Q) ในนั้น และไม่ขึ้นอยู่กับรัศมีของลูกบอล (R)

ภาพด้านข้างแสดงพื้นผิวปิดสี่พื้นผิวซึ่งมีประจุไฟฟ้า Q อยู่ พื้นผิวแรกเป็นวงกลม ในขณะที่พื้นผิวอื่นๆ มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ ประจุไฟฟ้าเป็นบวก ดังนั้นเส้นแรงไฟฟ้าที่แสดงด้วยลูกศรทั้งสี่จึงลากออกจากประจุ เส้นแรงไฟฟ้าทั้งสี่ผ่านพื้นผิววงกลม และพื้นผิวอื่นๆ ที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอก็ผ่านเส้นแรงไฟฟ้าทั้งสี่นี้ด้วย

ในการทบทวนเรื่องฟลักซ์ไฟฟ้า ระบุว่า ฟลักซ์ไฟฟ้าคือเส้นของสนามไฟฟ้าที่แทรกซึมผ่านพื้นที่ผิวที่กำหนด

เส้นสนามไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวทั้งสี่นั้นเหมือนกัน ดังนั้นฟลักซ์ไฟฟ้าบนพื้นผิวทั้งสี่จึงมีขนาดเท่ากัน ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวทรงกลมคือ Φ = Q/ε_o ดังนั้นฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวอื่นๆ ที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอจึงมีขนาดเท่ากัน กล่าวคือ Φ = Q/ε_o.

จากคำอธิบายนี้ สามารถสรุปได้ว่า ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวปิดที่มีประจุไฟฟ้า ไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของพื้นผิว และขนาดคือ Φ = 4 π k Q = Q/ ε _o

รูปด้านข้างแสดงประจุไฟฟ้าสองตัวที่อยู่ภายในพื้นผิวปิด Q₁ และ Q₂ เป็นไปในทางบวก ดังนั้นหากพวกเขาเป็นเช่นนั้น เมื่อวาดเส้นสนามไฟฟ้าแต่ละเส้น ประจุแต่ละตัวจะมีเส้นสนามไฟฟ้าที่ทะลุออกมาจากภายในพื้นผิว ฟลักซ์ไฟฟ้ารวมคือจำนวนเส้นสนามไฟฟ้าทั้งหมดที่ทะลุออกมาจากพื้นผิวปิด เนื่องจากเส้นสนามไฟฟ้าของประจุ Q₁ เทียบเท่ากับฟลักซ์ไฟฟ้า Φ = Q₁/ ε_o และเส้นของสนามไฟฟ้าของประจุ Q₂

เมื่อเปรียบเทียบกับฟลักซ์ไฟฟ้า Φ = Q ₂ /ε _oจำนวนเส้นสนามไฟฟ้าทั้งหมดจะเท่ากับ Q ₁ /ε _o + Q ₂ /ε _o = 1 / ε _o (Q ₁ + Q ₂ )

จากคำอธิบายนี้ สรุปได้ว่าฟลักซ์ไฟฟ้าทั้งหมดเท่ากับ 1/εo _คูณด้วยประจุไฟฟ้าทั้งหมดในพื้นผิวปิด ซึ่งข้อความนี้คือ กฎของเกาส์ ในทางคณิตศาสตร์:

Φ _net = 1/ε _o (Q _net) ———- สมการของกฎของเกาส์

Q สุทธิ คือปริมาณประจุไฟฟ้าทั้งหมดที่อยู่ภายในพื้นผิวปิด หากมีประจุไฟฟ้าอยู่ภายนอกพื้นผิวปิด ประจุนั้นจะไม่ถูกนำมาคำนวณเนื่องจากฟลักซ์ไฟฟ้าที่เกิดขึ้นมีค่าเป็นศูนย์ ฟลักซ์ไฟฟ้าเป็นศูนย์เนื่องจากเส้นแรงของสนามไฟฟ้าที่มาจากประจุจะทะลุผ่านพื้นผิวปิดแล้วจึงออกไปอีกครั้ง

พื้นผิวปิดของกฎของเกาส์คือพื้นผิวสมมติที่ใช้ในการคำนวณฟลักซ์ไฟฟ้าที่เกิดจากประจุไฟฟ้า

กฎของเกาส์สามารถใช้ในการกำหนดสนามไฟฟ้าได้หากทราบการกระจายตัวของประจุไฟฟ้า หรือสามารถใช้ในการกำหนดการกระจายตัวของประจุไฟฟ้าได้หากทราบสนามไฟฟ้า การใช้กฎของเกาส์ในการแก้ปัญหาต่างๆ ได้อธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้กฎของเกาส์แล้ว