Унвон: Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи муодилаҳои хатҳои тангенсӣ ба каҷҳо
Пендахулуан
Муодилаи тангенси каҷ як мафҳуми муҳим дар математика, бахусус ҳисоб ва геометрияи таҳлилӣ мебошад. Тангенси каҷ хатест, ки ба каҷ дар нуқтаи муайян бе буридани он мерасад. Ин хат дорои нишебӣ бо каҷ дар он нуқта аст. Ҳадафи ин мақола пешниҳоди мисолҳо ва муҳокимаҳои муодилаи тангенси каҷ аст, то хонандагон ин мафҳумро амиқ дарк кунанд.
Таъриф ва мафҳумҳои асосӣ
Пеш аз он ки ба масъалаҳои мисолӣ гузарем, беҳтар аст, ки баъзе мафҳумҳои асосиро аз назар гузаронем. Муодилаи хати тангенс ба каҷравии \(y = f(x) \) дар нуқтаи \((a, f(a)) \)-ро бо истифода аз ҳосилаи аввали функсия муайян кардан мумкин аст. Қадамҳои умумӣ чунинанд:
1. Муайян кардани ҳосилаи функсия: Ҳосилаи аввалини \(f'(x) \)-и функсияи \(f(x) \)-ро ёбед.
2. Муайян кардани градиент (нишебӣ): Қимати \(x = a \)-ро ба ҳосилаи аввал \(f'(x) \) иваз кунед, то нишебии хати тангенсро дар нуқтаи \(a \) ба даст оред.
3. Муодилаи хати тангенсро муайян кунед: Барои ташкил додани муодилаи хати тангенс аз нуқтаи \((a, f(a))\) ва нишебии ёфтаатон истифода баред. Муодилаи хати ростро метавон дар шакли \(y – y_1 = m(x – x_1) \) навишт, ки дар он \((x_1, y_1)\) нуқта дар хати рост ва \(m\) нишебӣ аст.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Биёед барои равшантар кардани фаҳмиши худ чанд саволи мисолиро баррасӣ кунем.
Намунаи саволи 1
Бо назардошти хати тангенсӣ ба хати тангенсӣ дар нуқтае, ки хати абсисса дорад, хати тангенсӣ (x = 1)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
1. Ҳосилаи аввалро муайян кунед:
\[
y = x^2 + 2x + 1
\]
Ҳосилаи аввалини \(y \) чунин аст:
\[
\frac{dy}{dx} = 2x + 2
\]
2. Градиентро дар \(x = 1 \) муайян кунед:
\( x = 1 \)-ро ба ҳосилаи аввал иваз кунед:
\[
м = 2(1) + 2 = 4
\]
3. Муайян кардани нуқтаи тангенсӣ:
Қимати \(y \)-ро дар \(x = 1 \) ёбед:
\[
y = (1)^2 + 2(1) + 1 = 4
\]
Пас, нуқтаи тангенсӣ \( (1, 4) \) аст.
4. Муайян кардани муодилаи хати тангенс:
Муодилаи хати \(y – y_1 = m(x – x_1) \)-ро истифода баред:
\[
y – 4 = 4(x – 1)
\]
Содда кунед:
\[
у – 4 = 4х – 4
\]
\[
y = 4x – 4 + 4
\]
\[
y = 4x
\]
Пас, муодилаи хати тангенс \(y = 4x \) аст.
Намунаи саволи 2
Бо назардошти хати тангенсӣ ба хати тангенсӣ дар нуқтае, ки хати абсисса дорад, хати тангенсӣ бо хати абсиссаи 1 (x = 1) муайян карда мешавад.
Муҳокима:
1. Ҳосилаи аввалро муайян кунед:
\[
y = \cos(x)
\]
Ҳосилаи аввалини \(y \) чунин аст:
\[
\frac{dy}{dx} = -\sin(x)
\]
2. Градиентро дар \( x = \frac{\pi}{2} \) муайян кунед:
\( x = \frac{\pi}{2} \)-ро ба ҳосилаи аввал иваз кунед:
\[
m = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1
\]
3. Муайян кардани нуқтаи тангенсӣ:
Қимати \(y \)-ро дар \(x = \frac{\pi}{2} \) ёбед:
\[
y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
Пас, нуқтаи тангенсӣ ин аст: \( \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \).
4. Муайян кардани муодилаи хати тангенс:
Муодилаи хати \(y – y_1 = m(x – x_1) \)-ро истифода баред:
\[
y – 0 = -1\left(x – \frac{\pi}{2}\right)
\]
\[
y = -x + \frac{\pi}{2}
\]
Пас, муодилаи хати тангенсӣ \( y = -x + \frac{\pi}{2} \) аст.
Намунаи саволи 3
Бо назардошти хати тангенсӣ ба хати тангенсӣ дар нуқтае, ки хати абсисса дорад, хати тангенсӣ (x = 0)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
1. Ҳосилаи аввалро муайян кунед:
\[
y = e^x
\]
Ҳосилаи аввалини \(y \) чунин аст:
\[
$\frac{dy}{dx} = e^x $$
\]
2. Градиентро дар \(x = 0 \) муайян кунед:
\( x = 0 \)-ро ба ҳосилаи аввал иваз кунед:
\[
м = e^0 = 1
\]
3. Муайян кардани нуқтаи тангенсӣ:
Қимати \(y \)-ро дар \(x = 0 \) ёбед:
\[
y = e^0 = 1
\]
Пас, нуқтаи тангенсӣ \( (0, 1) \) аст.
4. Муайян кардани муодилаи хати тангенс:
Муодилаи хати \(y – y_1 = m(x – x_1) \)-ро истифода баред:
\[
y – 1 = 1(x – 0)
\]
\[
y – 1 = x
\]
\[
y = x + 1
\]
Пас, муодилаи хати тангенс \(y = x + 1 \) аст.
Penutup
Бо фаҳмидани тарзи муайян кардани муодилаи хати тангенс ба каҷ, мо метавонем беҳтар дарк кунем, ки чӣ гуна геометрия ва алгебра барои омӯхтани хусусиятҳои каҷҳо якҷоя кор мекунанд. Қадамҳои умумӣ ёфтани ҳосила, муайян кардани нишебӣ ва сохтани муодилаи хати тангенс дар асоси нуқтаҳо ва нишебии ёфтшуда мебошанд. Ҳар қадар машқ бештар бошад, фаҳмиши мо дар бораи ин мавзӯъ амиқтар мешавад. Омӯзиши хуб!
