నిశ్చలస్థితి క్షణం

1. కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం

భ్రమణం చెందుతున్న కణాన్ని సమీక్షించండి. m ద్రవ్యరాశి గల కణానికి F బలం ఇవ్వబడింది, తద్వారా ఆ కణం O అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఆ కణం భ్రమణ అక్షం నుండి r దూరంలో ఉంది. మొదట, కణం నిశ్చలంగా ఉంటుంది (v = 0). F బలం ద్వారా కదిలిన తరువాత, కణాలు ఒక నిర్దిష్ట వేగంతో కదులుతాయి, తద్వారా కణాలు స్పర్శరేఖీయ త్వరణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. కణాల బలం (F), ద్రవ్యరాశి (m) మరియు స్పర్శరేఖీయ త్వరణం మధ్య సంబంధం సమీకరణం 3 ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది:

F = ma _tan (సమీకరణం 3)

కణాలు భ్రమణం చెందడం వలన వాటికి కోణీయ త్వరణం ఉంటుంది. స్పర్శరేఖీయ త్వరణం మరియు కోణీయ త్వరణం మధ్య సంబంధాన్ని సమీకరణం 4 ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

a _tan = r α (సమీకరణం 4)

సమీకరణం 3లోని a స్థానంలో సమీకరణం 4లోని aను ప్రతిక్షేపించండి:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (సమీకరణం 5)

r F అనేది బలభ్రమణం మరియు mr ² అనేది కణం యొక్క జడత్వ భ్రమణం. సమీకరణం 5, భ్రమణం చెందుతున్న కణాల యొక్క బలభ్రమణం, జడత్వ భ్రమణం మరియు కోణీయ త్వరణం మధ్య సంబంధాన్ని తెలియజేస్తుంది. సమీకరణం 5 అనేది భ్రమణం చెందుతున్న కణాల కొరకు న్యూటన్ రెండవ నియమం యొక్క సమీకరణం.

ఒక కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం అనేది ఆ కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి (m) మరియు భ్రమణ అక్షంతో కణాల మధ్య దూరం యొక్క వర్గం (r² ⁾ ల లబ్ధానికి సమానం.

I = mr ² (సమీకరణం 6)

I = కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం, m = కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి, r = కణానికి మరియు భ్రమణ అక్షానికి మధ్య దూరం. కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకాన్ని నిర్ధారించడానికి సమీకరణం 6 ఉపయోగించబడుతుంది.

3.2 కణం యొక్క జడత్వ భ్రమణం యొక్క నమూనా సమస్యలు

నమూనా సమస్య 1.

2 కిలోగ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల ఒక కణాన్ని 0.5 మీటర్ల పొడవు గల తాడుకు కట్టి, ఆపై దానిని తిప్పారు. భ్రమణం చెందుతున్నప్పుడు కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

పరిష్కారం:

నేను = మిస్టర్ ²

I = (2 కిలోలు) (0.5 మీ) ²

I = 0.5 kg m ²

నమూనా సమస్య 2.

2 కిలోగ్రాములు మరియు 4 కిలోగ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, 2 మీటర్ల పొడవు గల ఒక తేలికపాటి తీగతో అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. తీగల ద్రవ్యరాశిని విస్మరించండి. కింది షరతులు వర్తిస్తే, ఆ రెండు కణాల జడత్వ భ్రమణాన్ని కనుగొనండి:

a) భ్రమణ అక్షం రెండు కణాల మధ్య ఉంటుంది

పరిష్కారం:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg m ²

బి) భ్రమణ అక్షం 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల కణం నుండి 0.5 మీటర్ల దూరంలో ఉంది

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

c) భ్రమణ అక్షం 4 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల కణం నుండి 0.5 మీటర్ల దూరంలో ఉంది

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

పై లెక్కల ఫలితాల ఆధారంగా, జడత్వ భ్రామకం భ్రమణ అక్షం యొక్క స్థానం ద్వారా బలంగా ప్రభావితమవుతుంది. ఆకారం మరియు పరిమాణం ఒకేలా ఉన్నప్పటికీ, భ్రమణ అక్షం యొక్క స్థానం భిన్నంగా ఉండటం వల్ల, జడత్వ భ్రామకం కూడా భిన్నంగా ఉంటుంది.

భ్రమణ అక్షానికి దగ్గరగా ఉన్న కణాలకు జడత్వ భ్రామకం తక్కువగా ఉంటుంది, అయితే భ్రమణ అక్షానికి దూరంగా ఉన్న కణాలకు జడత్వ భ్రామకం ఎక్కువగా ఉంటుంది. పైన ఉన్న రెండు కణాలను దృఢమైన వస్తువులుగా భావిస్తే, అప్పుడు ప్రతి కణం భ్రమణ అక్షానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.

భ్రమణ అక్షం నుండి మరింత దూరంలో ఉన్న కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం కంటే దీనికి తక్కువ జడత్వ భ్రామకం ఉంటుంది.

3.3 సజాతీయ దృఢ వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రామకం

దృఢ వస్తువులు అనేక కణాలతో ఏర్పడి ఉంటాయి. ఒక దృఢ వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రామకం అనేది, ఆ వస్తువును నిర్మించే ప్రతి కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకాల మొత్తం సంఖ్య.

I = Σ mr ²

I = m₁ r₁² + మ₂ r₂² + మ₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

ఒక దృఢ వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రమణాన్ని నిర్ధారించడానికి, ఆ వస్తువు భ్రమణం చెందుతున్నప్పుడు దానిని సమీక్షించవలసి ఉంటుంది, ఎందుకంటే భ్రమణ అక్షం యొక్క స్థానం వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రమణాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది. ప్రతి కణం యొక్క జడత్వ భ్రమణం (I) ఆ కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి (m) మరియు భ్రమణ అక్షం నుండి ఆ కణానికి గల దూరం యొక్క వర్గం (r²) మీద కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది ^. వస్తువును నిర్మించే అన్ని కణాల ద్రవ్యరాశియే ఆ వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి.

సమస్య ఏమిటంటే, భ్రమణ అక్షం నుండి ప్రతి కణం యొక్క దూరం మారుతూ ఉంటుంది.

R వేళ్లు మరియు M ద్రవ్యరాశి కలిగిన సన్నని ఉంగరం యొక్క జడత్వ భ్రమణ సూత్రంలో తగ్గుదలను సమీక్షించండి.

భ్రమణ అక్షం వలయం యొక్క కేంద్రం వద్ద ఉన్నట్లయితే, సన్నని వలయంలోని అన్ని కణాలు భ్రమణ అక్షం నుండి దూరంగా ఉంటాయి. సన్నని వలయం యొక్క జడత్వ భ్రామకం అన్ని కణాల జడత్వ భ్రామకానికి సమానం:

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² + మ₂ r₂² + మ₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

అన్ని కణాల ద్రవ్యరాశి = సన్నని వలయం యొక్క ద్రవ్యరాశి (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

పలుచని వలయంలోని ప్రతి కణం భ్రమణ అక్షం నుండి r దూరంలో ఉంటుంది, అందువల్ల r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

సన్నని రింగ్ యొక్క జడత్వ భ్రమణ సమీకరణం:

I = MR ²

I = సన్నని వలయం యొక్క జడత్వ భ్రామకం, M = సన్నని వలయం యొక్క ద్రవ్యరాశి, R = సన్నని వలయం యొక్క వ్యాసార్థం.

భ్రమణ అక్షం వలయం యొక్క కేంద్రంలో లేకపోతే ఏమి జరుగుతుంది? భ్రమణ అక్షం వలయం యొక్క కేంద్రంలో లేకపోతే, పై పద్ధతిని ఉపయోగించి సన్నని వలయం యొక్క జడత్వ భ్రమణ సూత్రాన్ని రాబట్టలేము.

ఎందుకంటే భ్రమణ అక్షం నుండి ప్రతి కణం యొక్క దూరం భిన్నంగా ఉంటుంది. ఇలాంటి సమస్యకు జడత్వ భ్రమణ సూత్రాన్ని రాబట్టడం ఈ అంశంలో చర్చించబడలేదు.

కొన్ని దృఢ వస్తువుల జడత్వ భ్రమణ సూత్రం

3.4 సజాతీయ దృఢ వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రమణం యొక్క నమూనా సమస్య

నమూనా సమస్య 1:

B అక్షం గుండా తిప్పబడినప్పుడు, రాడ్ సిలిండర్ AB యొక్క ద్రవ్యరాశి 3 kg ఉంటుంది.

జడత్వ భ్రామకం 27 kg m ^2. అయితే జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

C ద్వారా తిప్పబడిందా?

పరిష్కారం:

పరిష్కారం:

సజాతీయ ఘన కడ్డీ యొక్క జడత్వ భ్రమణ సూత్రం (భ్రమణ అక్షం కడ్డీ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది):

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

సజాతీయ ఘన కడ్డీ యొక్క జడత్వ భ్రమణ సూత్రం (కడ్డీ అంచుపై భ్రమణ అక్షం):

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²