కోణీయ మొమెంటం

కోణీయ మొమెంటం

భ్రమణ చలనం యొక్క పరిమాణం, ఇది రేఖీయ చలనంలోని ద్రవ్యరాశి (m) కి సమానం, దానిని జడత్వ భ్రామకం (I) అంటారు. భ్రమణ చలనం యొక్క పరిమాణం, ఇది రేఖీయ చలనంలోని వేగం (v) కి సమానం, దానిని కోణీయ వేగం (ω) అంటారు. అందువల్ల, భ్రమణం చెందుతున్న వస్తువు కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీనిని ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

L = I ω

L = కోణీయ ద్రవ్యవేగం (kg m ² /s), I = జడత్వ భ్రామకం (kg m ² ), ω = కోణీయ వేగం (rad/s)

కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క నమూనా సమస్యలు

నమూనా సమస్య 1.

0.5 గ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల ఒక కణం 2 రేడియన్లు/సెకను స్థిర కోణీయ వేగంతో వృత్తాకారంలో కదులుతోంది. కణం యొక్క పథం వ్యాసార్థం 10 సెంటీమీటర్లు అయితే, ఆ కణం యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం:

I = mr ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-1 m) ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-2 m ² ) = 0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ²

కణం యొక్క కోణీయ వేగం:

ω = 2 రేడియన్లు/సెకను

కణం యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగం:

L = (0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ² )(2 rad/s) = 1 x 10 ^-5 kg ​​​​m ² /s

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ఒక దృఢ వస్తువు భ్రమణం చెందుతున్నప్పుడు దానిపై పనిచేసే ఫలిత బలం యొక్క భ్రమణ బలం సున్నా అయితే, భ్రమణం చెందుతున్నప్పుడు ఆ దృఢ వస్తువు యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది. న్యూటన్ రెండవ కోణీయ ద్రవ్యవేగ నియమం యొక్క సమీకరణాన్ని సవరించడం ద్వారా కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని గణితశాస్త్రపరంగా రాబట్టవచ్చు. న్యూటన్ రెండవ కోణీయ ద్రవ్యవేగ నియమం యొక్క సమీకరణం ఇక్కడ ఉంది:

ఫలిత బలభ్రమణం సున్నా అయితే, పై సమీకరణం ఈ విధంగా మారుతుంది:

I _t = తుది జడత్వ భ్రామకం, I _o = ప్రారంభ జడత్వ భ్రామకం, ω _t = తుది కోణీయ వేగం, ω _o = ప్రారంభ కోణీయ వేగం, L _t = తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగం, L _o = ప్రారంభ కోణీయ ద్రవ్యవేగం.

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం యొక్క నమూనా సమస్యలు

నమూనా సమస్య 1.

ఒక సజాతీయ ఘన స్థూపాకార డిస్క్ ప్రారంభంలో దాని అక్షం మీద 4 rad/s వేగంతో తిరుగుతోంది. ఆ డిస్క్ యొక్క ద్రవ్యరాశి 1 kg మరియు వ్యాసార్థం 0.5 m. ఆ పలక పైన 0.2 kg ద్రవ్యరాశి మరియు 0.1 m వ్యాసార్థం కలిగిన ఒక ఉంగరాన్ని ఉంచినట్లయితే మరియు ఆ ఉంగరం యొక్క కేంద్రం,

డిస్క్ కేంద్రానికి కొంచెం పైన, అప్పుడు డిస్క్ మరియు రింగ్ కలిసి ..... కోణీయ వేగంతో తిరుగుతాయి.

పరిష్కారం:

ఘన స్థూపం యొక్క జడత్వ భ్రామకం : I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg m ²

ఉంగరం యొక్క జడత్వ భ్రామకం : I = mr ² = (0.2 kg)(0.1 m) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg m ²

ప్రారంభ కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L ₁ ) = తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L ₂ )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m ² )(4 rad/s) = (0.125 kg m ² + 0.002 kg m ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 rad/s

భావనాత్మక ప్రశ్నలు మరియు సమాధానాలు

1. కోణీయ ద్రవ్యవేగం అంటే ఏమిటి?
   సమాధానం: కోణీయ ద్రవ్యవేగం అనేది ఒక వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు ఆకారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, అది కలిగి ఉన్న భ్రమణ పరిమాణాన్ని కొలిచే ఒక కొలమానం. ఇది రేఖీయ ద్రవ్యవేగానికి భ్రమణ సంబంధమైన అనలాగ్.
2. కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని గణితశాస్త్రపరంగా ఎలా నిర్ధారిస్తారు?
   సమాధానం: కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L) ను ఈ విధంగా నిర్వచిస్తారు $L=r\times p$, ఎక్కడ $r$ భ్రమణ అక్షం నుండి అనువర్తన బిందువుకు గల స్థాన సదిశ, మరియు $p$ రేఖీయ ద్రవ్యవేగం.
3. కోణీయ ద్రవ్యవేగం అదిశ రాశా లేక సదిశ రాశా?
   సమాధానం: కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఒక సదిశ రాశి.
4. SI పద్ధతిలో కోణీయ ద్రవ్యవేగానికి ప్రమాణం ఏమిటి?
   సమాధానం: SI పద్ధతిలో కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క ప్రమాణం కిలోగ్రామ్-మీటర్ స్క్వేర్డ్ పర్ సెకను (kg·m²)²/s).
5. కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఎలా సంరక్షించబడుతుంది?
   సమాధానం: బాహ్య టార్క్‌లు లేని క్లోజ్డ్ సిస్టమ్‌లో, మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుంది.
6. కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం అంటే ఏమిటి?
   సమాధానం: బాహ్య టార్క్ పనిచేయనంత వరకు ఒక సంవృత వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుందని ఈ సూత్రం చెబుతుంది.
7. ఫిగర్ స్కేటర్ యొక్క భ్రమణానికి, కోణీయ ద్రవ్యవేగానికి సంబంధం ఏమిటి?
   సమాధానం: ఒక ఫిగర్ స్కేటర్ స్పిన్ చేసేటప్పుడు తన చేతులు, కాళ్ళను శరీరానికి దగ్గరగా లాగినప్పుడు, వారి జడత్వ భ్రమణం తగ్గి, వారు మరింత వేగంగా తిరుగుతారు. ఇది కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది.
8. టార్క్ మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం మధ్య సంబంధం ఏమిటి?
   సమాధానం: టార్క్ ($\tau$) అనేది కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క మార్పు రేటు. గణితశాస్త్రపరంగా, τ=dL/సెకను​.
9. ఒక వస్తువుకు కోణీయ వేగం లేకుండా కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఉండటం సాధ్యమేనా?
   సమాధానం: లేదు, ఒక వస్తువుకు కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఉంటే, దానికి కోణీయ వేగం కూడా ఉంటుంది. కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ జడత్వ భ్రమణం మరియు కోణీయ వేగం రెండింటిపై ఆధారపడి ఉంటాయి.
10. జడత్వ భ్రామకం కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది?
    సమాధానం: కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L) అనేది జడత్వ భ్రామకం (I) మరియు కోణీయ వేగం (ω) ల లబ్ధం. $L=I\omega$ఒక నిర్దిష్ట కోణీయ వేగానికి జడత్వ భ్రమణం పెరిగితే, కోణీయ ద్రవ్యవేగం కూడా పెరుగుతుంది.
11. క్వాంటం మెకానిక్స్‌లో స్పిన్ మరియు ఆర్బిటల్ యాంగ్యులర్ మొమెంటం మధ్య తేడా ఏమిటి?
    సమాధానం: స్పిన్ కోణీయ ద్రవ్యవేగం అనేది ఎలక్ట్రాన్‌ల వంటి కణాల యొక్క అంతర్గత లక్షణం, మరియు ఇది అంతరిక్షంలోని చలనం వల్ల ఉత్పన్నం కాదు. మరోవైపు, కక్ష్య కోణీయ ద్రవ్యవేగం అనేది ఒక కణం కేంద్ర బిందువు చుట్టూ చేసే చలనం వల్ల ఉత్పన్నమవుతుంది.
12. గ్రహ వ్యవస్థల ఏర్పాటులో కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఏ పాత్ర పోషిస్తుంది?
    సమాధానం: అణు మేఘం కుప్పకూలి నక్షత్రాలు, గ్రహాలుగా ఏర్పడుతున్నప్పుడు, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం కారణంగా ఆ పదార్థం కొత్తగా పుట్టిన నక్షత్రం చుట్టూ ఒక పళ్ళెంలా చదునుగా మారుతుంది, దాని నుండి గ్రహాలు ఏర్పడతాయి.
13. గైరోస్కోప్ అంతరిక్షంలో తన దిశను ఎలా నిలుపుకుంటుంది?
    సమాధానం: భ్రమణం చెందుతున్న గైరోస్కోప్‌కు కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఉంటుంది. ఒక బాహ్య టార్క్ దాని దిశను మార్చడానికి ప్రయత్నించినప్పుడు, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం కారణంగా, గైరోస్కోప్ ప్రయోగించిన టార్క్‌కు లంబంగా ఉండే దిశలో పురోగమనం చెందుతుంది, అంటే దాని భ్రమణ అక్షం మారుతుంది.
14. తిరిగే బొంగరంలో పురోగమనానికి కారణం ఏమిటి?
    సమాధానం: తిరుగుతున్న బొంగరంలో పురోగమనం అనేది, దాని ఆధార బిందువు నుండి పక్కకు ఉన్న ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే టార్క్ కారణంగా ఏర్పడుతుంది. ఈ టార్క్ బొంగరం యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగం దిశలో మార్పుకు దారితీసి, అది పురోగమించేలా చేస్తుంది.
15. నక్షత్రాలు వాటి ధ్రువాల వద్ద ఎందుకు చదునుగా ఉంటాయి?
    సమాధానం: నక్షత్రాలు తిరుగుతున్నప్పుడు, అవి పదార్థాన్ని బయటకు నెట్టే అపకేంద్ర బలాన్ని అనుభవిస్తాయి. ఈ ప్రభావం ధ్రువాల కంటే భూమధ్యరేఖ వద్ద బలంగా ఉంటుంది, దీనివల్ల నక్షత్రాలు అండాకారంగా లేదా చదునుగా తయారవుతాయి.
16. కోణీయ ద్రవ్యవేగానికి, కెప్లర్ రెండవ నియమానికి సంబంధం ఏమిటి?
    సమాధానం: కెప్లర్ రెండవ నియమం ప్రకారం, ఒక గ్రహాన్ని మరియు సూర్యుడిని కలిపే రేఖాఖండం సమాన కాల వ్యవధులలో సమాన వైశాల్యాలను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం యొక్క పర్యవసానం.
17. పిల్లి కింద పడినప్పుడు ఎప్పుడూ తన కాళ్ల మీదే ఎందుకు దిగుతుంది?
    సమాధానం: పిల్లులు కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాయి. గాలిలో తమ శరీరాలను మెలితిప్పడం ద్వారా మరియు వాటి జడత్వ భ్రమణాలను మార్చడం ద్వారా, అవి నిత్యత్వ నియమాలను ఉల్లంఘించకుండా తమ కాళ్లపై నిలబడటానికి తమను తాము తిరిగి సరిచేసుకోగలవు.
18. ఎలక్ట్రాన్లలో అయస్కాంత భ్రామకం మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం మధ్య సంబంధం ఏమిటి?
    సమాధానం: ఎలక్ట్రాన్ యొక్క అయస్కాంత క్షణం దాని స్పిన్ మరియు కక్ష్య కోణీయ ద్రవ్యవేగం నుండి ఉత్పన్నమవుతుంది. అయస్కాంత క్షణం ఎలక్ట్రాన్ యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగానికి అనుపాతంలో ఉంటుంది.
19. ధ్రువ నిరూపకాల పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగం అంటే ఏమిటి?
    సమాధానం: ధ్రువ నిరూపక వ్యవస్థలో, కోణీయ ద్రవ్యవేగం $L$ ఒక బిందు ద్రవ్యరాశికి ఈ విధంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు $L=mrv$, ఎక్కడ $m$ ద్రవ్యరాశి, $r$ వ్యాసార్థ దూరం, మరియు $v$ ఇది స్పర్శరేఖీయ వేగం.
20. రెండు వస్తువులు ఢీకొన్నప్పుడు ఒక సంవృత వ్యవస్థ యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగానికి ఏమవుతుంది?
    సమాధానం: రెండు వస్తువులు ఢీకొనే ఒక సంవృత వ్యవస్థలో, వ్యవస్థపై బాహ్య టార్క్‌లు ఏవీ పనిచేయవని భావించినట్లయితే, ఢీకొనడానికి ముందు మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగం, ఢీకొన్న తర్వాత మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగానికి సమానంగా ఉంటుంది.

సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

సమస్య: m = 2 kg ద్రవ్యరాశి గల ఒక బిందువు, r = 4 m వ్యాసార్థం గల వృత్తంలో v = 3 m/s వేగంతో కదులుతోంది. వృత్త కేంద్రం దృష్ట్యా దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని లెక్కించండి.

సాధన: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg.m ² /s

2. సమస్య: 3 కిలోల ద్రవ్యరాశి మరియు 0.5 మీటర్ల వ్యాసార్థం గల ఒక ఘన గోళం దాని వ్యాసం చుట్టూ ω = 2 రేడియన్లు/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరుగుతోంది. దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఎంత?

పరిష్కారం: ఒక ఘన గోళానికి, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. సమస్య: 3 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక బిందు ద్రవ్యరాశి ఒక సరళరేఖలో 4 మీ/సె వేగంతో కదులుతోంది. దాని గమన రేఖ నుండి 5 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న ఒక బిందువు వద్ద దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఎంత?

పరిష్కారం:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m ² /s

4. సమస్య: 5 కిలోల ద్రవ్యరాశి మరియు 3 మీటర్ల వ్యాసార్థం గల ఒక డిస్క్ 2 రేడియన్లు/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరుగుతోంది. దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం: ఒక డిస్క్‌కు, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. సమస్య: 4 మీ పొడవు మరియు 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక కడ్డీ ఒక చివర చుట్టూ 3 రేడియన్/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరుగుతోంది. దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం: ఒక కడ్డీకి ఒక చివరన, I = 1/3 మీ l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. సమస్య: ఒక భ్రమణ వస్తువు తన కోణీయ వేగాన్ని రెట్టింపు చేస్తే, దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగంలో మార్పు ఎంత?

సాధన: కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L) మరియు కోణీయ వేగం (ω) ల మధ్య సంబంధం $L=I\times \omega$ . ω రెట్టింపు అయితే, కోణీయ ద్రవ్యవేగం కూడా రెట్టింపు అవుతుంది.

7. సమస్య: ఒక చలన కణం యొక్క వేగాన్ని స్థిరంగా ఉంచి, దాని వృత్తాకార మార్గం యొక్క వ్యాసార్థం రెట్టింపు అయితే, కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఏ కారకం మేరకు మారుతుంది?

సాధన: కోణీయ ద్రవ్యవేగం, $L=m\times r\times v$ . r రెట్టింపు అయితే, L కూడా రెట్టింపు అవుతుంది.

8. సమస్య: 30 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక పిల్లవాడు నిశ్చలంగా ఉన్న ఒక రంగులరాట్నం అంచున నిలబడి ఉన్నాడు. ఆ రంగులరాట్నం యొక్క వ్యాసార్థం 2 మీ. ఆ పిల్లవాడు నేలకు సంబంధించి 2 మీ/సె వేగంతో అంచు వెంబడి పరిగెత్తడం ప్రారంభిస్తే, కేంద్రానికి సంబంధించి ఆ పిల్లవాడి కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుగొనండి.

సాధన: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg.m ² /s

9. సమస్య: 6 కిలోల ద్రవ్యరాశి మరియు 2 మీటర్ల వ్యాసార్థం గల ఒక స్థూపం దాని కేంద్ర అక్షం చుట్టూ 5 రేడియన్/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరుగుతోంది. దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం: ఒక స్థూపానికి, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ² ×5=120 kg.m ² /s

10. సమస్య: ఒక వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రమణం సగానికి తగ్గించి, దాని కోణీయ వేగాన్ని మూడు రెట్లు పెంచితే, ఆ వస్తువు యొక్క కొత్త కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఎంత ఉంటుంది?

సాధన: $L=I\times \omega$ అని ఇవ్వబడింది , $I\; ని$ సగానికి తగ్గించి, $\omega$ ని మూడు రెట్లు చేస్తే, కొత్త $L$ అసలు దాని కంటే 1/2×3=1.5 రెట్లు ఉంటుంది .

11. సమస్య: 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి మరియు 1 మీటరు వ్యాసార్థం గల ఒక వలయం 4 రేడియన్లు/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరుగుతోంది. దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం: ఒక వలయానికి, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m ² /s

12. సమస్య: ఒక ఫ్యాన్‌కు 0.5 మీటర్ల పొడవు గల రెక్కలు మరియు 1 కిలోగ్రాము మొత్తం ద్రవ్యరాశి ఉన్నాయి. అది 10 రేడియన్లు/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరిగితే, దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం: ఫ్యాన్ బ్లేడ్‌లు ఒక చివర చుట్టూ తిరిగే కడ్డీల వలె ఉన్నాయని భావిస్తే, I = 1/3 మీ l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ² ×10=0.833 kg.m ² /s

13. సమస్య: భ్రమణం కారణంగా భూమికి దాని స్వంత అక్షం చుట్టూ ఉండే కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని లెక్కించండి. ఇవ్వబడినవి: భూమి ద్రవ్యరాశి ⁼ 5.972×10²⁴ ^{కిలోగ్రాములు} , వ్యాసార్థం $r=6371\text{కి.మీ.}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁵రేడియన్లు\text{/సెకను}$.

పరిష్కారం: భూమిని ఒక ఘన గోళంగా భావిస్తే, I = 2/5 మీ r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. సమస్య: ఒక పిల్లవాడు తిరుగుతున్న ప్లాట్‌ఫారమ్ యొక్క కేంద్రం వైపు కదులుతున్నాడు. కోణీయ ద్రవ్యవేగం పెరుగుతుందా, తగ్గుతుందా లేదా అలాగే ఉంటుందా?

పరిష్కారం: కోణీయ ద్రవ్యవేగం సంరక్షించబడుతుంది. పిల్లవాడు కేంద్రం వైపు కదులుతున్నప్పుడు, జడత్వ భ్రామకం తగ్గుతుంది. కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని సంరక్షించడానికి, కోణీయ వేగం పెరుగుతుంది. అందువల్ల, కోణీయ ద్రవ్యవేగం మారదు.

15. సమస్య: భ్రమణం చెందుతున్న వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి రెట్టింపు అయితే, దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఏ కారకం మేరకు మారుతుంది?

సాధన: గతిజ శక్తి K = 1/2 I ω ² మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం $L=I\omega$ . గతిజ శక్తి రెట్టింపు అయితే మరియు $I$ స్థిరంగా ఉంటే, ω ² రెట్టింపు అవుతుంది. దీని అర్థం $\omega$ √ 2 కారకం ద్వారా పెరుగుతుంది .$అందువల్ల,\; L$ కూడా √ 2 కారకం ద్వారా పెరుగుతుంది .

16. సమస్య: 0.3 మీటర్ల వ్యాసార్థం గల ఒక సైకిల్ చక్రం యొక్క రిమ్ ద్రవ్యరాశి 1.5 కిలోలు. అది 5 రేడియన్లు/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరుగుతుంటే, దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం: అంచును ఒక వలయంగా భావిస్తే, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m ² /s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. సమస్య: ఒక ఐస్ స్కేటర్ తిరుగుతూ తన చేతులను లోపలికి లాగుతుంది. ఆమె కోణీయ ద్రవ్యవేగానికి ఏమవుతుంది?

పరిష్కారం: స్కేటర్ యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగం సంరక్షించబడుతుంది. ఆమె తన చేతులను లోపలికి లాగడం ద్వారా, తన జడత్వ భ్రమణాన్ని తగ్గిస్తుంది, తద్వారా తన కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని సంరక్షించుకోవడానికి వేగంగా తిరుగుతుంది (కోణీయ వేగం పెరుగుతుంది).

18. సమస్య: ఒక ఫ్లైవీల్ 0.2 $\text{జడత్వ}$ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంది మరియు 10 rad/s కోణీయ వేగంతో తిరుగుతోంది. దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుగొనండి^.

పరిష్కారం:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m ² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m ² / s

19. సమస్య: ఒక వ్యవస్థపై నికర బాహ్య టార్క్ సున్నాగా పనిచేస్తోంది. దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగం గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

పరిష్కారం: నికర బాహ్య టార్క్ సున్నా అయితే, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుంది.

20. సమస్య: m = 5 kg ద్రవ్యరాశి గల ఒక బిందువు, దానిని P అనే బిందువుకు కలిపే రేఖకు లంబంగా v = 3 m/s వేగంతో కదులుతోంది. P బిందువు నుండి దూరం 4 m అయితే, P బిందువుకు సంబంధించి దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s