முடிவிலா பெருக்குத் தொடர்கள் பற்றிய எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

முடிவிலா பெருக்குத் தொடர்கள் பற்றிய எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

முடிவிலா பெருக்குத் தொடர் என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடரில் முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு தொடராகும். இந்தத் தொடர்களின் கூட்டுத்தொகை (அல்லது எல்லை) கணக்கிடக்கூடியதாக இருப்பதற்கு, அவற்றுக்குக் குறிப்பிட்ட தேவைகள் உள்ளன. இந்தக் கட்டுரையில், முடிவிலா பெருக்குத் தொடர்களின் அடிப்படைக் கருத்து, அவற்றை உருவாக்குவதற்கான தேவைகள், மற்றும் பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுகள் பற்றி விவாதிப்போம்.

முடிவிலா வடிவியல் தொடர்களின் அடிப்படைக் கருத்து

அடிப்படையில், ஒரு பெருக்குத் தொடர் என்பது, முதல் உறுப்பிற்குப் பிறகு வரும் ஒவ்வொரு உறுப்பும், அதற்கு முந்தைய உறுப்பை பொது விகிதம் (r) எனப்படும் ஒரு மாறிலியால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் எண்களின் வரிசையாகும். நம்மிடம் ஒரு பெருக்குத் தொடர் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]

ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடருக்கு, அத்தொடரில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கூடுதலை நாம் கருத்தில் கொள்கிறோம். இந்தத் தொடரின் கூடுதல் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]

ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை, அதன் விகிதம் \( |r| < 1 \) ஆக இருந்தால் மட்டுமே ஒருங்கும் (வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டிருக்கும்). \( |r| ≥ 1 \) எனில், அத்தொடர் விரியும் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டிருக்காது (முடிவிலிக்குச் செல்லும்).

\( |r| < 1 \) எனில், ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை S பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: \[ S = \frac{a}{1-r} \] இதில்: - \( S \) என்பது தொடரின் கூட்டுத்தொகை, - \( a \) என்பது முதல் உறுப்பு, - \( r \) என்பது விகிதம். எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 1 கேள்வி: பின்வரும் தொடருக்கான முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] கலந்துரையாடல்: தொடரின் முக்கிய உறுப்புகளை அடையாளம் காண்போம்: முதல் உறுப்பு \( a = 3 \) இரண்டாவது உறுப்பை முதல் உறுப்பால் வகுப்பதன் மூலம் விகிதம் \( r \) ஐக் காணலாம், அதாவது: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] \( |r| = 0.5 < 1 \) என்பதால், இந்தத் தொடர் ஒருங்குகிறது, மேலும் நாம் முடிவிலா தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடலாம். ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் கூடுதலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] எனவே, முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் கூடுதல் 6 ஆகும். எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 2 கேள்வி: முதல் உறுப்பு 8 மற்றும் விகிதம் \( r = -\frac{1}{3} \) கொண்ட ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் கூடுதலைக் காண்க. விவாதம்: முதல் உறுப்பு \( a = 8 \) விகிதம் \( r = -\frac{1}{3} \) \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \) என்பதால், இந்தத் தொடர் ஒருங்குகிறது, மேலும் நாம் முடிவிலாத் தொடரின் தொகையைக் கணக்கிடலாம். ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] எனவே, முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் தொகை 6 ஆகும். எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 3 கேள்வி: பின்வரும் தொடருக்கு முடிவிலாத் தொகை உள்ளதா? ஆம் எனில், தொகையைக் காண்க. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] கலந்துரையாடல்: முதல் உறுப்பு \( a = 5 \) இரண்டாவது உறுப்பை முதல் உறுப்பால் வகுப்பதன் மூலம் விகிதம் \( r \) ஐக் காணலாம், அதாவது: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] \( |r| = 0.5 < 1 \) என்பதால், இந்தத் தொடர் ஒருங்குகிறது, மேலும் நாம் முடிவிலா தொடரின் தொகையைக் கணக்கிடலாம். ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] எனவே, முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை 10 ஆகும். எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 4 கேள்வி: பின்வரும் தொடர் ஒருங்கு தொடரா அல்லது விரிவு தொடரா எனத் தீர்மானிக்கவும்: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] கலந்துரையாடல்: முதல் உறுப்பு \( a = 4 \) இரண்டாவது உறுப்பை முதல் உறுப்பால் வகுப்பதன் மூலம் விகிதம் \( r \) ஐக் காணலாம், அதாவது: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] \( |r| = 1.5 > 1 \) என்பதால், இந்தத் தொடர் விரிவடைவதாகவும், இதற்கு வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகை இல்லை.

ஆகவே, இந்தத் தொடர் மாறுபட்டது.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 5
கேள்வி: உங்களிடம் பின்வரும் முடிவிலாத் தொடர் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
தொடரின் கூடுதலைக் கண்டறியவும்.

கலந்துரையாடல்:
முதல் உறுப்பு \( a = \frac{1}{2} \)
இரண்டாவது உறுப்பை முதல் உறுப்பால் வகுப்பதன் மூலம் விகிதம் \( r \) -ஐக் கண்டறியலாம், அதாவது:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]

\( |r| = \frac{1}{2} < 1 \) என்பதால், இந்தத் தொடர் ஒருங்குகிறது, மேலும் நாம் முடிவிலாத் தொடரின் தொகையைக் கணக்கிடலாம். ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] எனவே, முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் தொகை 1 ஆகும். முடிவுரை: முடிவிலா பெருக்குத் தொடர் என்பது பல்வேறு துறைகளில் பரந்த பயன்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு முக்கியமான கணிதக் கருத்து ஆகும். ஒரு முடிவிலா பெருக்குத் தொடரின் தொகையைத் தீர்மானிக்க, விகிதம் \( |r| < 1 \) என்பதை நாம் உறுதி செய்ய வேண்டும். இவ்வாறு, ஒரு எளிய மற்றும் நேரடியான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடரின் தொகையைக் கணக்கிடலாம். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளிலிருந்து, இந்த நுட்பம் முடிவிலா பெருக்குத் தொடர்கள் சம்பந்தப்பட்ட கணக்குகளைத் தீர்ப்பதை மிகவும் எளிதாக்குகிறது என்பதை நாம் காணலாம்.