நேர்மாறு திசையன்களைப் பற்றி விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

நேர்மாறு திசையன்கள் பற்றிய சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டு

வெக்டர் என்பது எண்மதிப்பு மற்றும் திசை ஆகிய இரண்டையும் கொண்ட ஒரு கணிதப் பொருளாகும். வெக்டர்களைப் பற்றிய ஆய்வில், நாம் பெரும்பாலும் குறிப்பிட்ட பண்புகளைக் கொண்ட வெக்டர்களை எதிர்கொள்கிறோம். வெக்டர்களில் உள்ள ஒரு அடிப்படைக் கருத்து நேர்மாறு வெக்டர் அல்லது எதிர்மறை வெக்டர் ஆகும். இந்தக் கட்டுரை நேர்மாறு வெக்டர்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகளையும் ஒரு கலந்துரையாடலையும் உள்ளடக்கும்.

நேர்மாறு திசையன்களைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

நேர்மாறு திசையன், பெரும்பாலும் எதிர்மறை திசையன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது அசல் திசையனின் அதே அளவு ஆனால் எதிர் திசையைக் கொண்ட ஒரு திசையன் ஆகும். ஒரு திசையன் \(\vec{a}\) எனக் குறிக்கப்பட்டால், அதன் நேர்மாறு திசையன் \(-\vec{a}\) ஆகும். கணிதரீதியாக, \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) எனில், \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1

\(\vec{a} = (3, 4, -2)\) என்ற வெக்டர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. \(\vec{a}\)-இன் நேர்மாறு வெக்டரைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

\(\vec{a}\)-இன் நேர்மாறு திசையனைக் கண்டறிய, அதன் ஒவ்வொரு திசையன் கூறுகளையும் எதிர்மறையாக மாற்றினால் மட்டும் போதும்:

\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]

எனவே, \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) இன் நேர்மாறு திசையன் \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2

வெக்டர் \(\vec{b} = (7, -5, 0)\) என்க. \(\vec{b}\)-இன் நேர்மாறு வெக்டரைக் கண்டறிந்து, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\) என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

கலந்துரையாடல்:

முதலில், \(\vec{b}\)-இன் நேர்மாறு திசையனை நாம் வரையறுக்கிறோம்:

\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]

அடுத்து, \(\vec{b}\) என்ற திசையனையும் அதன் நேர்மாறு திசையனையும் கூட்டினால் பூஜ்ஜிய திசையன் கிடைக்கிறது என்பதை நாம் சரிபார்க்கிறோம்:

\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]

திசையனின் கூறுகளை நாம் கூட்டுகிறோம்:

\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]

ஆகவே, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\) என்பதிலிருந்து, \(\vec{b}\) என்ற திசையனையும் அதன் நேர்மாறு திசையனையும் கூட்டினால் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு பூஜ்ஜிய திசையன் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3

\(\vec{u} = (2, -1)\) மற்றும் \(\vec{v} = (-2, 1)\) என்ற வெக்டர்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. \(\vec{u}\) என்பது \(\vec{v}\)-இன் நேர்மாறு வெக்டரா?

கலந்துரையாடல்:

\(\vec{u}\) மற்றும் \(\vec{v}\) ஆகியவை நேர்மாறு திசையன்களா என்பதைத் தீர்மானிக்க, \(\vec{v} = -\vec{u}\) என்பதை நாம் சரிபார்க்க வேண்டும்.

\(-\vec{u}\) ஐக் கணக்கிடுங்கள்:

\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]

\(-\vec{u} = \vec{v}\) எனத் தெரியவருகிறது, இதன் பொருள் வெக்டர் \(\vec{u}\) என்பது உண்மையில் வெக்டர் \(\vec{v}\)-இன் நேர்மாறு வெக்டர் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 4

வெக்டர் \(\vec{w}\) இன் அளவு 5 மற்றும் அதன் திசை வெக்டர் \(\vec{p} = (4, 3)\) க்கு எதிரானது எனத் தெரிந்தால், \(\vec{w}\) ஐ கூறு வடிவத்தில் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

முதலில், நாம் \(\vec{p}\) என்ற திசையனின் அளவைக் கண்டறிகிறோம்:

\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

\(\vec{w}\) ஆனது \(\vec{p}\) இன் அதே எண் மதிப்பையும் ஆனால் எதிர் திசையையும் கொண்டிருப்பதால், பின்வருமாறு:

\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]

எனவே, கூறு வடிவத்தில் உள்ள வெக்டர் \(\vec{w}\) என்பது \(\vec{w} = (-4, -3)\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 5

புள்ளி A(2, 3) மற்றும் புள்ளி B(4, 7) கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. புள்ளி A-இலிருந்து புள்ளி B-க்கான நிலை திசையனையும், அந்த திசையனுக்கு எதிரான திசையனையும் கண்டறியவும்.

கலந்துரையாடல்:

புள்ளி A இலிருந்து புள்ளி B க்கு உள்ள நிலை திசையன்:

\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]

\(\vec{AB}\)-இன் நேர்மாறு திசையன்:

\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]

எனவே, நிலை திசையன் \(\vec{AB} = (2, 4)\) க்கு நேர்மாறு திசையன் \(-\vec{AB} = (-2, -4)\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 6

\(\vec{m} = (x, y)\) என்ற ஒரு வெக்டர் மற்றும் \(\vec{m}\)-இன் நேர்மாறு வெக்டர் \( (-5, 12)\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. x மற்றும் y-இன் மதிப்புகளைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

\(\vec{m}\)-இன் நேர்மாறு திசையன் \( (-x, -y) \) ஆகும், மற்றும் கணக்கின்படி, \((-x, -y) = (-5, 12)\).

திசையன் கூறுகளைப் பொருத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுவது:

\[
-x = -5 \implies x = 5
\]
\[
-y = 12 \implies y = -12
\]

எனவே, \(x\) இன் மதிப்பு 5 மற்றும் \(y\) இன் மதிப்பு -12 ஆகும்.

முடிவுரை

நேர்மாறு திசையன்கள் என்பவை ஒரே எண் மதிப்பையும் எதிர் திசையையும் கொண்ட திசையன்கள் ஆகும். நேர்மாறு திசையன்கள் பற்றிய கருத்தைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், ஒரு திசையனின் எதிர்மறை மதிப்பைக் கண்டறிதல், திசையன்களின் கூட்டல் பூஜ்ஜியமா என்பதைச் சரிபார்த்தல் போன்ற திசையன்கள் தொடர்பான பல்வேறு சிக்கல்களை நம்மால் தீர்க்க முடியும். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுச் சிக்கல்கள் பற்றிய விவாதம், நேர்மாறு திசையன்களுடன் செயல்படுவது குறித்த நமது அறிவையும் புரிதலையும் அதிகரிக்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது.