குழுத் தரவுகளின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகல்
புள்ளிவிவரவியல் என்பது தரவுகளைச் சேகரிக்க, ஒழுங்கமைக்க, பகுப்பாய்வு செய்ய, விளக்கமளிக்க மற்றும் முன்வைக்கப் பயன்படும் கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். புள்ளிவிவரவியலில் உள்ள ஒரு முக்கியமான கருத்து, மாறுபாட்டுத்தன்மையை அல்லது தரவுகளின் பரவலை அளவிடுவதாகும். மாறுபாட்டுத்தன்மையின் இரண்டு முதன்மை அளவீடுகள் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகும். இந்தக் கட்டுரை, குறிப்பாகக் குழுத் தரவுகளின் பின்னணியில், மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தை ஆழமாக ஆராயும்.
மாறுபாட்டின் வரையறை மற்றும் முக்கியத்துவம்
மாறுபாடு என்பது, ஒரு தரவு அதன் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவுகிறது என்பதை அளவிடுகிறது. மாறுபாட்டை அளவிடுவது முக்கியமானது, ஏனெனில் சராசரி போன்ற மையப் போக்கின் அளவீடுகளிலிருந்து மட்டும் பெற முடியாத கூடுதல் நுண்ணறிவுகளை அது வழங்குகிறது. மாறுபாட்டின் அளவை அறிவதன் மூலம், தரவு எவ்வளவு சீராக உள்ளது என்பதை நாம் புரிந்துகொள்ளலாம் மற்றும் சாத்தியமான புறத்தன்மைகள் அல்லது முரண்பாடுகளை அடையாளம் காணலாம்.
மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகலைப் புரிந்துகொள்ளுதல்
மாறுபாடு என்பது தரவுகளின் பரவலைக் காட்டும் ஒரு அளவீடு ஆகும். இது ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளியும் அதன் சராசரியிலிருந்து வர்க்க அலகுகளில் எவ்வளவு தூரம் விலகி உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இது ஒரு மக்கள் தொகைக்கு \( \sigma^2 \) என்ற குறியீட்டாலும், ஒரு மாதிரிக்கு \( s^2 \) என்ற குறியீட்டாலும் குறிக்கப்படுகிறது. மக்கள் தொகைத் தரவுகளுக்கான மாறுபாட்டின் சூத்திரம்:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum (X_i – \mu)^2}{N} \]
மாதிரியைப் பொறுத்தவரை, சூத்திரம் இதுதான்:
\[ s^2 = \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n-1} \]
எங்கே:
– \( X_i \) என்பது தனிப்பட்ட தரவு மதிப்பாகும்.
– \( \mu \) என்பது மக்கள்தொகை சராசரி
– \( \bar{X} \) என்பது மாதிரி சராசரி
– \( N \) என்பது மக்கள்தொகை அளவு
– \( n \) என்பது மாதிரி அளவு
திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும். இது ஒரு மக்கள் தொகைக்கு \( \sigma \) என்ற குறியீட்டாலும், ஒரு மாதிரிக்கு \( s \) என்ற குறியீட்டாலும் கொடுக்கப்படுகிறது. திட்ட விலக்கம் தரவு அலகுகளை அவற்றின் அசல் வடிவத்திற்குத் திருப்பித் தருகிறது, இதனால் மாறுபாட்டை விட இதை விளக்குவது எளிதாகிறது.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
\[ s = \sqrt{s^2} \]
குழு தரவு
தொகுக்கப்பட்ட தரவு என்பது பல பிரிவுகளாக அல்லது இடைவெளிகளாக வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, மாணவர்களின் உயரங்கள் 150-155 செ.மீ, 155-160 செ.மீ போன்ற இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. தனிப்பட்ட தரவைப் பகுப்பாய்வு செய்வதிலிருந்து மாறுபட்டு, தொகுக்கப்பட்ட தரவில் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்வதற்குச் சற்று வித்தியாசமான அணுகுமுறை தேவைப்படுகிறது.
குழுத் தரவுகளுக்கான மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள்
குழுத் தரவுகளின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலையைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள் பின்வருமாறு:
1. நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணையை உருவாக்கவும்
தரவுகள் பல பிரிவுகளாக அல்லது இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன.
– ஒவ்வொரு இடைவெளியின் நிகழ்வெண் (ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் உள்ள தரவுகளின் எண்ணிக்கை) பதிவு செய்யப்படுகிறது.
2. வகுப்பின் மையப்புள்ளியைத் தீர்மானித்தல்
– ஒவ்வொரு இடைவெளியின் மையப்புள்ளி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது: \( \text{மையப்புள்ளி} = \frac{\text{கீழ் எல்லை} + \text{மேல் எல்லை}}{2} \)
3. தற்காலிக சராசரியைக் கணக்கிடுதல் (\( \bar{X} \))
– சராசரியானது பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது: \( \bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
– இதில் \( f_i \) என்பது அதிர்வெண் மற்றும் \( x_i \) என்பது இடைவெளியின் மையப்புள்ளி ஆகும்.
4. சராசரி மற்றும் அதன் வர்க்கத்திலிருந்து விலகலைக் கணக்கிடுதல்
– ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும், சராசரியிலிருந்து விலகல் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது: \( d_i = x_i – \bar{X} \)
– பிறகு வர்க்கத்தைக் கணக்கிடுங்கள்: \( d_i^2 \)
5. மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுதல்
– மாறுபாடு பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது: \( s^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i – 1} \)
– திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம்: \( s = \sqrt{s^2} \)
கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டு
மாணவர்களின் உயரத் தரவுகள் பின்வருமாறு தொகுக்கப்பட்டுள்ளதாக வைத்துக்கொள்வோம்:
| இடைவெளி (செ.மீ) | அதிர்வெண் (ஃபாரன்ஹீட்) |
|—————|—————|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 10 |
| 160 – 164 | 15 |
| 165 – 169 | 8 |
| 170 – 174 | 2 |
1. நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணை:
| இடைவெளி (செ.மீ) | அதிர்வெண் (f) | மையப்புள்ளி (x) | \( f \cdot x \) | \( d = x – \bar{X} \) | \( d^2 \) | \( f \cdot d^2 \) |
|——————|——————|——————|——————–|——————–|——————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | | | |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | | | |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | | | |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | | | |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | | | |
மொத்தம் | 40 | 6440 |
2. சராசரியைக் கணக்கிடுதல் (\( \bar{X} \)):
\[ \bar{X} = \frac{6440}{40} = 161 \]
3. சராசரி மற்றும் அதன் வர்க்கத்திலிருந்து விலகலைக் கணக்கிடுதல்:
| இடைவெளி (செ.மீ) | அதிர்வெண் (f) | மையப்புள்ளி (x) | \( f \cdot x \) | \( d = x – 161 \) | \( d^2 \) | \( f \cdot d^2 \) |
|——————|——————|——————|——————–|——————-|——————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | -9 | 81 | 405 |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | -4 | 16 | 160 |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | 1 | 1 | 15 |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | 6 | 36 | 288 |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | 11 | 121 | 242 |
| மொத்தம் | 40 | | 6440 | | | 1110 |
4. மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுதல்:
\[ s^2 = \frac{1110}{40 – 1} = \frac{1110}{39} \approx 28.46 \]
5. திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுதல்:
\[ s = \sqrt{28.46} \approx 5.33 \]
முடிவுரை
மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகியவை புள்ளியியலில், ஒரு தரவின் சராசரியைச் சுற்றியுள்ள அதன் பரவலை விவரிக்கும் முக்கியமான அளவீடுகள் ஆகும். இந்தக் கருத்துக்களைத் தனிப்பட்ட தரவுகளுக்குப் பயன்படுத்த முடிந்தாலும், தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான கணக்கீட்டுச் செயல்முறை சற்றே வேறுபட்டது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டிலிருந்து, தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான விரிவான படிகளை நாம் காணலாம். இந்தத் தகவல், கல்விசார் ஆராய்ச்சி முதல் வணிகம் மற்றும் உற்பத்திப் பகுப்பாய்வு வரை பல்வேறு பயன்பாடுகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.
மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் பற்றிய நல்ல புரிதலுடன், நம்மிடம் உள்ள தரவுகளின் அடிப்படையில் நாம் மிகவும் துல்லியமாக விளக்கமளித்து முடிவுகளை எடுக்க முடியும். இது, துல்லியமானவை மட்டுமல்லாமல் பொருத்தமானவையாகவும் இருக்கும் முடிவுகளைப் பராமரிக்க நமக்கு உதவுகிறது.
