Torricellis sats – problem och lösningar

Torricellis sats – problem och lösningar

1. Ett rör med en höjd av 100 cm fyllt med vatten. Ett hål Q är placerat 10 cm över marken. Vad är det horisontella avståndet (x)?

Känd:

Avstånd mellan hålet och vattenytan (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Acceleration på grund av gravitation (g) = 10 m/s²

Efterlyst: Avstånd x

lösning:

Vattenflödets hastighet vid hålet

v= fart, g = acceleration på grund av gravitationen, h = avståndet mellan hålet och vattenytan

Vattenflödets hastighet vid hålet:

Tid i luften

Vattnets rörelse från hålet till marken är kaströrelseProjektilrörelsen kan förstås genom att analysera rörelsens horisontella och vertikala komponenter separat. X-rörelsen sker med konstant hastighet och y-rörelsen sker med konstant tyngdacceleration.

I det här problemet, vertikal rörelse analyseras som rörelse i fritt fall.

Beräkna tiden i luft med hjälp av ekvationen för rörelse i fritt fall.

Känd:

Hålets höjd (y) = 10 cm = 0.1 m

Tyngdacceleration (g) = 10 m/s²

Önskad: Tidsintervall (t)

lösning:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) ton²

0.1 = 5 ton²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 sekunder

Det horisontella avståndet (x):

Känd:

Den initiala hastigheten (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Tid i luft (t) = √0.02 sekunder

Önskad: Det horisontella avståndet (x)

lösning:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 meter

2. En tank som innehåller vatten och är 1 meter hög. Vid punkten P finns ett hål. Vad är vattenflödets hastighet vid hålet? Tyngdaccelerationen är 10 m/s².

Känd:

Avstånd mellan hålet och vattenytan (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Tyngdacceleration (g) = 10 m/s²

Efterlyst: Vattenflödets hastighet vid hålet (v)

lösning:

Vattenflödets hastighet vid hålet:

3. En storbadkar innehåller vatten och det finns en kran som visas på bilden nedan. Om g = 10 ms^-2, då är vattenhastigheten ut ur kranen…

Känd:

Höjd (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 meter

Tyngdacceleration (g) = 10 m/s²

Efterlyst: Vattnets hastighet (v)

lösning:

TOrricellis sats säger att vattnets hastighet genom ett hål på avstånd h från vattenytan är lika med hastighet av fritt fallanvändning vatten från en höjd av h.

Vattenhastigheten beräknas med hjälp av formeln för fritt falla v_t² = 2 gh

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A tub fylld med vatten och på en vägg finns ett hål (se figur nedan). Hastigheten på vattnet som kommer ut ur hålet är… (g = 10 ms^-2)

Känd:

Höjd (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 meter

Tyngdacceleration (g) = 10 m/s²

Önskad: Svattnets hastighet (V)

lösning:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. En tank som innehåller vatten så högt som 1 meter (g = 10 ms^-2) och på väggen finns ett läckhål (se figur nedan). Hastigheten på vattnet som kommer ut ur hålet är...

Känd:

Höjd (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 meter

Tyngdacceleration (g) = 10 m/s²

Önskad: Svattnets hastighet (V)

lösning:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Vad beskriver Torricellis sats?
   • Svar: Torricellis sats relaterar hastigheten på en vätska som strömmar ut ur en öppning till vätskepelarens höjd ovanför öppningen, under antagandet av ett stadigt, ovisköst (ingen viskositet) och inkompressibelt flöde.
2. Hur uttrycks Torricellis sats matematiskt?
   • Svar: Satsen uttrycks som v=√2gh​Där $v$ är utflödets hastighet, $g$ är tyngdaccelerationen, och $h$ är vätskepelarens höjd över mynningen.
3. Under vilka antaganden härleddes Torricellis sats?
   • Svar: Satsen antar att vätskan är inkompressibel och icke-viskös, att flödet är konstant och att ingen ytterligare energi läggs till eller tas från vätskan.
4. Om en behållare har två hål på olika djup, hur kommer hastigheterna på vätskorna som kommer ut ur hålen att jämföras?
   • Svar: Vätskan som kommer ut från hålet närmare basen kommer att ha en högre hastighet än vätskan från det högre upp belägna hålet. Detta beror på att trycket (och därmed den potentiella energin) är större på djupare djup.
5. Varför beror inte utflödeshastigheten på behållarens form eller tvärsnittsarea?
   • Svar: Torricellis sats tar endast hänsyn till den potentiella energin på grund av vätskepelarens höjd ovanför mynningen. Behållarens form ändrar inte denna höjd, så utflödeshastigheten förblir densamma.
6. Hur skiljer sig den faktiska hastigheten på vätskan som strömmar ut ur en öppning från den förutsägelse som Torricellis sats gör i verkliga situationer?
   • Svar: I verkliga situationer kan faktorer som vätskeviskositet, turbulens och öppningens form påverka den faktiska hastigheten, vilket ofta gör den lägre än vad Torricellis sats förutsäger.
7. Vad är sambandet mellan Torricellis sats och energins bevarande?
   • Svar: Torricellis sats härleds från bevarandet av mekanisk energi. Den likställer den potentiella energin vid vätskans yta med den kinetiska energin vid mynningen.
8. Om det finns en öppning högst upp i en vätskefylld behållare, hur beskriver Torricellis sats utflödeshastigheten?
   • Svar: Höjden $h$ ovanför öppningen skulle vara noll, så enligt Torricellis sats skulle utflödeshastigheten vara noll.
9. Hur påverkar närvaron av atmosfärstryck förutsägelserna i Torricellis sats?
   • Svar: Torricellis sats antar att behållaren är öppen mot atmosfären, och att atmosfärstrycket därmed verkar lika över vätskans yta. Detta tryck utjämnas när man beaktar tryckskillnaden över vätskans höjd, så satsen förblir giltig.
10. Vad händer med utflödeshastigheten när vätskan i behållaren minskar?

• Svar: Allt eftersom vätskenivån minskar, ökar höjden $h$ ovanför öppningen minskar. Enligt Torricellis sats skulle utflödeshastigheten minska när v=√2gh​.

Dessa frågor och svar utforskar grunderna, implikationerna och tillämpningarna av Torricellis sats inom fluiddynamik.