Punktmultiplikationsmaterial med hjälp av enhetsvektorkomponenter
Vi kan beräkna skalärprodukten direkt om vi känner till x-, y- och z-komponenterna av vektorerna A och B (de kända vektorerna).
För att beräkna en punktprodukt på detta sätt beräknar vi först en punktprodukt av enhetsvektorerna, därefter uttrycker vi vektorerna A och B i deras komponenter, sönderdelar produkten och använder produkten av enhetsvektorerna.
Enhetsvektorerna i , j och k är vinkelräta mot varandra, vilket gör beräkningarna enklare. Med hjälp av den skalära multiplikationsekvationen som härletts ovan ( AB = AB cos theta ) får vi:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nu uttrycker vi vektorerna A och B i termer av deras komponenter, sönderdelar deras produkt och använder produkten av enhetsvektorerna.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
eftersom i . i = j . j = k . k = 1 och i . j = i . k = j . k = 0, då:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz Lagring +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz Lagring +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz Lagring
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay By ( 1 ) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Baserat på resultaten av denna beräkning kan man dra slutsatsen att skalärprodukten eller punktprodukten av två vektorer är summan av produkterna av deras liknande komponenter.
Exempelfråga 1:
Stor vektor A dan B är 5 respektive 4, som visas på bilden nedan. Den bildade vinkeln är 90oRäkna det punktprodukt båda vektorerna.
Diskussion
Innan vi beräknar punktprodukten av vektorerna A och B behöver vi först känna till komponenterna i den andra vektorn.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Vektor A har endast vektorkomponenter på x-axeln och vektor B har endast vektorkomponenter på y-axeln. Z-komponenten är noll eftersom vektorerna A och B ligger i xy-planet.
Nu beräknar vi punktprodukten mellan vektorerna A och B med hjälp av punktproduktekvationen med komponentvektorer:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Låt oss jämföra det med den första metoden
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Resultatet är detsamma.
Exempelfråga 2:
Stor vektor A dan B är 5 respektive 4, som visas på bilden nedan. Beräkna punktprodukt båda vektorerna, om den bildade vinkeln är 30o
Diskussion
Innan vi beräknar punktprodukten av vektorerna A och B behöver vi först känna till komponenterna i den andra vektorn.
Z-komponenten är noll eftersom vektorerna A och B ligger i xy-planet.
Nu beräknar vi punktprodukten mellan vektorerna A och B med hjälp av punktproduktekvationen med komponentvektorer:
Jämför med den första metoden.
