Korsmultiplikationsmaterial med hjälp av enhetsvektorkomponenter
Vi kan beräkna korsprodukten direkt om vi känner till vektorernas komponenter. Proceduren är densamma som för punktprodukten . Först multiplicerar vi enhetsvektorerna i , j och k . Vektorprodukten mellan samma enhetsvektorer är noll.
i x i = j x j = k x k = 0
Genom att hänvisa till den tidigare härledda vektormultiplikationsekvationen (A x B = AB synd θ) och den antikommutativa egenskapen hos vektormultiplikation (A x B = - B x A), då får vi:
ixj = -jxi = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Nu uttrycker vi vektorerna A och B i termer av deras komponenter, sönderdelar deras produkt och använder produkten av enhetsvektorerna.
A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
eftersom i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, så:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz Lagring
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
Ay B x ( -k ) + Ay B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( - i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Om C = A x B är komponenterna i C följande:
Cx = Ay Bz – Az By
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
