Arbete-kinetisk energi-satsen säger att det totala arbetet, eller den totala ansträngningen, som en nettokraft utför på ett objekt är lika med förändringen i objektets kinetiska energi. Om nettokraften utför positivt arbete (nettokraften är i samma riktning som förskjutningen), ökar objektets kinetiska energi. Omvänt, om nettokraften utför negativt arbete (nettokraften är i motsatt riktning mot förskjutningen), minskar objektets kinetiska energi.
W totalt = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Om endast konservativa krafter verkar på ett objekt, som i fallet med ett fritt fallande objekt , är nettokraften lika med den konservativa kraften. Satsen om arbete-kinetisk energi kan omvandlas till totalt arbete, eller så är arbetet som utförs av den konservativa kraften lika med förändringen i kinetisk energi. Om den konservativa kraften utför positivt arbete (den konservativa kraften är i samma riktning som förskjutningen), ökar objektets kinetiska energi. Omvänt, om den konservativa kraften utför negativt arbete (den konservativa kraften är i motsatt riktning mot förskjutningen), minskar objektets kinetiska energi.
W c = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Det arbete som en konservativ kraft utför på ett objekt är lika med den negativa förändringen i objektets potentiella energi. Om den konservativa kraften utför positivt arbete minskar den potentiella energin. Omvänt, om den konservativa kraften utför negativt arbete, ökar den potentiella energin.
W c = – (EP 2 – EP 1 ) = – mg (h 2 – h 1 ) = – mgh 2 + mgh 1 = mgh 1 – mgh 2
Baserat på den tidigare granskningen verkar det finnas ett samband mellan det arbete som en konservativ kraft utför på ett objekt och förändringarna i objektets kinetiska och potentiella energier. Om den konservativa kraften utför positivt arbete ökar den kinetiska energin, medan den potentiella energin minskar. Om den konservativa kraften utför negativt arbete minskar den kinetiska energin, medan den potentiella energin ökar.
Wc = Wc
EK 2 – EK 1 = EP 1 – EP 2
EP 1 + EK 1 = EP 2 + EK 2
EM 1 = EM 2
Sammanfattning:
EM 1 = initial mekanisk energi, EM 2 = slutlig mekanisk energi, EP 1 = initial potentiell energi, EP 2 = slutlig potentiell energi, EK 1 = initial kinetisk energi, EK 2 = slutlig kinetisk energi
Problem exempel
1. Ett block släpps utan initial hastighet vid toppen av ett slätt lutande plan (vid A). Blocket glider till botten av lutningen (vid E).
Om AB = BC = CD = DE, då är förhållandet mellan blockens hastighet vid C, D och E…
Diskussion
Det är känt:
AB + BC + CD + DE = 1
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Fråga: Jämförelse av blockens hastighet vid C, D och E.
Jawab:
Lagen om bevarande av mekanisk energi säger att initial mekanisk energi = slutlig mekanisk energi.
Initial mekanisk energi = gravitationell potentiell energi
Slutlig mekanisk energi = kinetisk energi
Vid toppen är blocket i vila, så dess kinetiska energi är noll och dess gravitationella potentiella energi är som högst. När det rör sig från toppen till botten av lutningen minskar dess gravitationella potentiella energi och omvandlas till kinetisk energi. När det når botten av lutningen är dess kinetiska energi som högst och dess gravitationella potentiella energi är noll.
Gravitationspotentialenergi vid punkt A = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg
Kinetisk energi vid punkt A = 1/2 mv² = 1/2 m ( 0² ) = 0
Gravitationspotentialenergi vid punkt B = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg
Kinetisk energi vid punkt B = 1/2 mv²
Gravitationspotentialenergi vid punkt C = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg
Kinetisk energi vid punkt C = 1/2 mv²
Gravitationspotentialenergi vid punkt D = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg
Kinetisk energi vid punkt D = 1/2 mv²
Gravitationspotentialenergi vid punkt E = mgh = mg (0) = 0
Kinetisk energi vid punkt E = 1/2 mv²
Mekanisk energi vid punkt A = Gravitationspotentialenergi + kinetisk energi = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg
Mekanisk energi vid punkt B = Gravitationspotentialenergi + kinetisk energi = 3/4 mg + 1/2 mV²
Mekanisk energi vid punkt C = Gravitationspotentialenergi + kinetisk energi = 2/4 mg + 1/2 mV²
Mekanisk energi vid punkt D = Gravitationspotentialenergi + kinetisk energi = 1/4 mg + 1/2 mv²
Mekanisk energi vid punkt E = Gravitationspotentialenergi + kinetisk energi = 0 + 1/2 mv² = 1/2 mv²
Blockets hastighet vid C:
Mekanisk energi vid punkt C = initial mekanisk energi (konstant mekanisk energi)
2/4 mg + 1/2 mv² = 4/4 mg
1/2 mv² = 4/4 mg – 2/4 mg
1/2 mV² = 2/2 mg
1/2 mV² = 1/2 mg
mv² = mg
v² = g
v = √g
Blockets hastighet vid D:
Mekanisk energi vid punkt D = initial mekanisk energi (konstant mekanisk energi)
1/4 mg + 1/2 mv² = 4/4 mg
1/2 mv² = 4/4 mg – 1/4 mg
1/2 mV² = 3/4 mg
1/2 v 2 = 3/4 g
v² = 2 (3/4) g
v² = (6/2) g
v² = (3/2) g
v2 = 1,5 g
v = √1,5 g
Blockets hastighet vid E:
Mekanisk energi vid punkt E = initial mekanisk energi (konstant mekanisk energi)
1/2 mV² = mg
1/2 v² = g
v2 = 2g
v = √2 g
Jämförelse av blockens hastighet vid C, D och E:
√g : √1,5g: √2g
√1 : √1,5 : √2 (multiplicera med 2)
√2 : √3 : √4
√2 :√3:2
2. Titta på följande bild!
Två objekt färdas nedför en bana från punkt A. Massan av det första objektet är m1 = 5 kg och det andra objektet är m2 = 15 kg. Om tyngdaccelerationen är g = 10 ms- 2 , då är förhållandet mellan kinetisk energi Ek1 : Ek2 vid punkt B…
A. 1:2
B. 1:3
C. 1:9
D. 2:1
E. 3: 1
Diskussion
Det är känt att:
Massa av objekt 1 (m² ) = 5 kg
Massa av objekt 2 (m² ) = 15 kg
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Avstånd mellan punkterna A och B (h) = 40 m – 30 m = 10 m
Fråga: Jämförelse av kinetisk energi Ek 1 : Ek 2 vid punkt B
Jawab:
Den potentiella gravitationsenergin för ett objekt vid A mäts från punkt B:
EP1 = m1gh = (5 kg)(10 m/s2 ) ( 10 m) = 500 joule
EP2 = m2gh = (15 kg)(10 m/s2 ) ( 10 m) = 1500 joule
Lagen om bevarande av mekanisk energi säger att initial mekanisk energi = slutlig mekanisk energi.
Initial mekanisk energi = gravitationell potentiell energi
Slutlig mekanisk energi = kinetisk energi
EP 1 = EK 1
500 Joule = EK1
EP 2 = EK 2
1500 Joule = EK2
EX 1 : EX 2
500: 1500
5: 15
1: 3
Det rätta svaret är B.
3. Titta på bilden!
En kula med massan m rullar nerför ett slätt halvcirkelformat plan utan initial hastighet från punkt A. Kulans hastighet vid punkt B är…
A. 10 ms-1
B. 2 √10 ms -1
C. √ 10 ms -1
D. 2 √5 ms -1
E. √ 5 ms -1
Diskussion
Det är känt att:
Höjdskillnaden mellan punkterna A och B (h) = 4 m – 2 m = 2 meter
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Marmormassa (m) = m
Fråga: Kulans hastighet vid punkt B
Jawab:
Initial mekanisk energi = mekanisk energi vid punkt A = gravitationell potentiell energi = mgh = (m)(10)(2) = 20m
Slutlig mekanisk energi = mekanisk energi vid punkt B = kinetisk energi = 1/2 mV²
Lagen om bevarande av mekanisk energi:
Initial mekanisk energi = slutlig mekanisk energi
20 m = 1/2 mV²
20 = 1/2 mot 2
2 (20) = v2
40 = v2
v = √40
v = √(4)(10)
v = 2√10 m/s
Det rätta svaret är B.
4. En boll glider på en hal bana som visas på bilden nedan.
Om bollens hastighet vid punkt A är 6 ms -1 , vid punkt B är √92 ms -1 , och g = 10 ms -2 , då är höjden för punkt B från banans botten...
A. 0,5 m
B. 0,5 √ 2 m
Ca 1 meter
D. √ 2 m
Ö. 2,8 m
Diskussion
Det är känt att:
Bollens hastighet vid punkt A (v A ) = 6 ms -1
Bollens hastighet vid punkt B (v B ) = √92 ms -1
Tyngdacceleration (g) = 10 ms -2
Höjd A (h A ) = 5,6 meter
Höjd B (h B ) = h
Fråga: Punkt B: s höjd från spårets undersida
Jawab:
Banan är hal, så det finns ingen friktion. Därför är den enda kraften som verkar på objektet gravitationen. Gravitationen är en konservativ kraft. Arbetet som utförs av en konservativ kraft beror inte på banans form utan snarare på förändringen i position.
Så vi kan beräkna höjden för punkt B från spårets botten med hjälp av formeln för lagen om bevarande av mekanisk energi.
Initial mekanisk energi = Gravitationspotentialenergi
När bollen är vid punkt A rör sig den inte ännu, så dess hastighet är noll. Bollens hastighet är noll, så bollens kinetiska energi är noll. Kinetisk energi: EK = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Men bollen är på en höjd av 5,6 meter från botten, så bollen har gravitationell potentiell energi. Gravitationell potentiell energi: EP = mgh = m (10)(5,6) = 56 m
Initial mekanisk energi = Gravitationspotentialenergi + Kinetisk energi = 56 m + 0 = 56 m
Slutlig mekanisk energi = Gravitationspotentialenergi + Kinetisk energi
När bollen är i punkt B är den höjd h. Gravitationspotentialenergi: EP = mgh = m (10) h = 10 mh
Punkt B ligger långt under punkt A, så bollen rör sig fortfarande med en viss hastighet. Bollen rör sig fortfarande med en viss hastighet, så bollen har kinetisk energi. Kinetisk energi: EK = 1/2 mv² = 1/2 m ( √92 ) ² = 1/2 m ( 92 ) = 46 m
Slutlig mekanisk energi = Gravitationspotentialenergi + Kinetisk energi = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Lagen om bevarande av mekanisk energi:
Initial mekanisk energi = Slutlig mekanisk energi
56 m = m (10 tim + 46)
56 = 10 timmar + 46
56 – 46 = 10 timmar
10 = 10 timmar
h = 10/10 = 1 meter
Det rätta svaret är C.
Frågekälla:
Nationella fysikfrågor för gymnasiet/yrkesgymnasiet
