Технике за израчунавање медијане за појединачне и груписане податке
Медијана је мера централне тенденције која се често користи у статистици. За разлику од просека (средње вредности), који сабира све вредности, а затим дели са бројем вредности, медијана наглашава „средњу вредност“ сортираног скупа података. Због свог фокуса на позицију, медијана је релативно отпорна на екстремне вредности (аутлајере), као што је када је једна вредност веома велика или веома мала у поређењу са другима. Због тога се медијана широко користи у анализи економских података, образовању, друштвеним истраживањима, па чак и у процени резултата тестова.
У овом чланку ћемо размотрити технике за израчунавање медијане за две врсте података: појединачне податке (негруписане) и груписане податке (представљене у табели расподеле фреквенција). Поред формуле, дискусија ће обухватити практичне кораке за једноставну имплементацију.
-
1. Основни концепт медијане
Медијана је средња вредност након што се подаци сортирају од најмање до највеће. Ако је број тачака података непаран, медијана је тачна средња вредност. Ако је број тачака података паран, медијана је просек две средње вредности.
Интуитивно, медијана дели податке на два дела:
– 50% података је испод (или једнако) медијани
– 50% података је изнад (или једнако) медијани
Пошто је медијана заснована на редоследу, први корак који је скоро увек потребан је сортирање података.
-
2. Израчунавање медијане за појединачне податке
Појединачни подаци су подаци који су представљени онакви какви јесу (на пример, листа оцена ученика), а не сумирани у интервалним часовима као код групних података.
А. Општи кораци
1. Сортирајте податке од најмање до највеће вредности.
2. Одредити количину података, на пример n.
3. Одредити положај медијане:
– Ако је n непарно, медијана је на позицији \((n+1)/2\).
– Ако је n паран број, медијана је просек података на позицијама \(n/2\) и \((n/2)+1\).
Б. Медијанска формула за појединачне податке
– Ако је n непарно:
\[
Me = x_{(n+1)/2}
\]
То значи да је медијана вредност података у \((n+1)/2\)-том редоследу.
– Ако је n парно:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Пример једног податка (n непарних)
Подаци: 7, 2, 9, 4, 3
1) Сортирај: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (непарно)
3) Медијална позиција = \((5+1)/2 = 3\)
Медијана = 3. податак = 4
Дакле, медијана података је 4.
D. Пример појединачних података (n парних)
Подаци: 10, 4, 6, 8
1) Сортирај: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (парно)
3) Средња позиција је други и трећи податак
Медијана = \((6 + 8)/2 = 7\)
Дакле, медијана података је 7.
E. Важна напомена: Подаци који имају фреквенцију
Понекад се један скуп података може дати као вредност и фреквенција (нпр. 60 се појављује два пута, 70 се појављује пет пута). У овом случају, медијана се и даље проналази на основу „редоследа“ података, али можемо користити кумулативну фреквенцију да одредимо позицију медијане без навођења тачака података појединачно. Принцип је исти: пронаћи (n+1)/2. позицију (непарна) или (n/2) и (n/2)+1. позицију (парна), а затим погледати вредности које покривају ту позицију на основу акумулиране фреквенције.
-
3. Израчунавање медијане за груписане податке
Груписани подаци су подаци који су сумирани у интервале класа и њихове фреквенције. На пример: 3 особе висине 150–154 цм, 8 особа висине 155–159 цм и тако даље. За разлику од појединачних података, медијана груписаних података обично није прецизно одређена јер не знамо појединачне вредности унутар интервала. Стога се медијана израчунава помоћу апроксимације (процене) користећи формулу медијане за груписане дистрибуције.
А. Важни термини у медијани групних података
Пре него што употребимо формулу, морамо разумети неколико компоненти:
– n = укупна фреквенција (укупан број података)
– n/2 = кумулативна средња позиција
– Медијална класа = прва интервална класа која производи кумулативну фреквенцију ≥ n/2
– L = доња ивица средње класе (не доња граница, већ ивица класе; за континуиране податке обично се користи прилагођавање од 0,5 ако су подаци цели бројеви)
– F = кумулативна фреквенција пре средње класе
– f = средња фреквенција класе
– c = дужина класе (ширина интервала)
Б. Кораци за одређивање медијане групних података
1. Направите табелу расподеле фреквенција и додајте колону са кумулативним фреквенцијама.
2. Израчунајте n (број фреквенција) и одредите n/2.
3. Одредити медијалну класу, односно класу која укључује n/2 позиције на основу кумулативне фреквенције.
4. Унесите вредности у формулу медијане за групне податке.
C. Медијанска формула за групне податке
\[
Me = L + (n² – Ff) пута c
\]
Ова формула врши линеарну интерполацију унутар средње класе, под претпоставком да су подаци равномерно распоређени по интервалу класе.
D. Пример медијане групних података
На пример, следећи подаци о резултатима теста:
| Интервал вредности | Фреквенција (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Укупна фреквенција:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) Израчунај n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Кумулативна фреквенција:
– 40–49: 5
– 50–59: 5 + 8 = 13
– 60–69: 13 + 12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Позиција 20 је у класи са првим кумулативним резултатом ≥ 20, односно 60–69. Дакле, ово је средња класа.
4) Одредите компоненте:
– L = доња ивица средње класе. За интервал 60–69, доња ивица је 59,5 (ако је податак целобројна вредност).
– F = кумулативна фреквенција пре средње класе = 13
– f = средња фреквенција класе = 12
– c = дужина часа = 10
5) Унесите у формулу:
\[
Me = 59,5 + (20 – 13 12) пута 10
\]
\[
Me = 59,5 + \left(\frac{7}{12}\right)\пута 10
\]
\[
Ја = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Дакле, медијана групних података је приближно 65,33.
-
4. Уобичајене грешке
Неке уобичајене грешке при израчунавању медијане:
1. Подаци се не сортирају за појединачне податке, тако да средња вредност није тачна.
2. Погрешно одређивање положаја медијане када је n парно (мора се узети просек две средње вредности).
3. За групне податке, погрешно је бирати медијалну класу јер она не ствара кумулативну фреквенцију.
4. Коришћење доње границе класе доње ивице (L) када су подаци континуирани/интервали су цели бројеви.
5. Неправилно одређивање дужине часа (c), посебно ако су интервали недоследни.
-
5. Пенутуп
Медијана је једноставна, али моћна мера централне тенденције, посебно када подаци садрже екстремне вредности. За појединачне скупове података, медијана се одређује директно из средње позиције након што су подаци сортирани, са различитим третманом за парне и непарне бројеве скупова података. У међувремену, за груписане скупове података, медијана се израчунава помоћу интерполационе формуле засноване на класи медијане, кумулативној фреквенцији и дужини класе.
Разумевањем концепта и корака, можете брзо и прецизно израчунати медијану, како на једноставним подацима, тако и на подацима сумираним у табелама. У многим аналитичким ситуацијама, медијана је репрезентативнији избор од средње вредности, посебно када је расподела података асиметрична или садржи аутсајдере.
Ако желите, могу додати и вежбовна питања заједно са дискусијама како бих ојачао ваше разумевање медијане појединачних и групних података.
