Како израчунати квартиле, дециле и перцентиле у статистичким подацима
У статистици често морамо да одредимо позицију вредности унутар скупа података. Само израчунавање средње вредности или медијане није довољно, јер ове мере не описују како су подаци дистрибуирани и како се посматрање упоређује са другима. Ту долазе до изражаја квартили, децили и перцентили. Ове три су позиционе мере које деле сортиране податке на једнаке делове. Овај чланак разматра дефиниције, опште кораке и како израчунати квартиле, дециле и перцентиле за појединачне и груписане скупове података.
-
1. Основни концепт: Подаци морају бити сортирани
Пре израчунавања квартила, децила или перцентила, најважнији корак је сортирање података од најмањег до највећег. Када се подаци сортирају, можемо одредити локацију квартила, децила или перцентила на основу њихових индексних позиција.
Генерално:
– Квартили деле податке на 4 дела.
– Децили деле податке на 10 делова.
– Перцентили деле податке на 100 делова.
У пракси, квартили, децили и перцентили се обично користе за анализу резултата тестова, података о приходима, антропометријских мерења (висина/тежина) и процену учинка.
-
2. Како израчунати квартиле (Q1, Q2, Q3)
А. Квартили у појединачним подацима (негруписани)
Квартили се састоје од:
– К1: доњи квартил (25% података је испод њега)
– К2: медијана (50%)
– К3: горњи квартил (75%)
Кораци за израчунавање појединачних квартила података:
1. Сортирајте податке.
2. Израчунајте позицију квартила користећи формулу за позицију:
– Позиција Q1 = \((n+1)/4\)
– Позиција Q2 = \(2(n+1)/4\) или \((n+1)/2\)
– Позиција Q3 = \(3(n+1)/4\)
Ако је позиција цео број, узмите вредност на тој позицији. Ако је позиција разломак, интерполирајте (узмите вредност између две најближе тачке података).
Брзи пример:
Сортирани подаци: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Позиција Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → налази се између 2. и 3. податка.
Дакле, Q1 је између 6 и 7. Интерполација:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
Б. Квартили у груписаним подацима (дистрибуција фреквенција)
За груписане податке (нпр. интервале класа), квартили се израчунавају помоћу формуле:
\[
Q_k = L + (((k4n – F)f) x c
\]
Информације:
– \(Q_k\): k-ти квартил (k = 1,2,3)
– \(L\): доња ивица квартилне класе
– \(n\): број података (укупна фреквенција)
– \(F\): кумулативна фреквенција пре квартилне класе
– \(f\): фреквенција у квартилној класи
– \(c\): дужина разреда
Општи кораци:
1. Направите кумулативну фреквенцију.
2. Одредити локацију квартила: \(k/4 \пута n\).
3. Пронађите класу која садржи ту позицију.
4. Унесите у формулу.
-
3. Како израчунати дециле (D1 до D9)
Децили деле податке на 10 делова, тако да:
– \(D_1\) приказује доњу границу од 10% података,
– \(D_5\) је једнако медијани,
– \(D_9\) означава ограничење од 90% података.
А. Децили у појединачним подацима
Формула за децилну позицију:
\[
\text{Позиција} D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
са \(k = 1,2,\tačke,9\).
Када се добије позиција, метод за узимање вредности је исти као и за квартил: ако је цео, узима се директно, ако је разломљени, интерполира се.
-
Б. Децили у груписаним подацима
Децилна формула за груписане податке:
\[
D_k = L + (((k10n – F)f) x c
\]
Опис је исти као и квартил, само што је делилац 10.
Лангках:
1. Израчунајте \(k/10 \путано n\).
2. Одредити децилну класу на основу кумулативне фреквенције.
3. Замените у формулу.
Децили се често користе у економској анализи, на пример, дељењем прихода људи у 10 група (децил 1 је најсиромашнији, а децил 10 је најбогатији).
-
4. Како израчунати перцентиле (од П1 до П99)
Перцентили су детаљнији јер деле податке на 100 делова. Вредност P25 = Q1, P50 = медијана, а P75 = Q3. То значи да су квартили заправо посебан случај перцентила.
А. Перцентили на појединачним подацима
Формула за перцентилну позицију:
\[
\text{Позиција} P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
са \(k = 1,2,\tačke,99\).
Поступак је исти: сортирајте податке, израчунајте позицију, затим узмите вредност или интерполирајте.
-
Б. Перцентили у груписаним подацима
Формула за перцентил груписаних података:
\[
P_k = L + ((k100n – F)f) x c
\]
Кораци су идентични као и за дециле/квартиле:
1. Одредити положај \(k/100 \пута n\).
2. Пронађите перцентилну класу кумулативне фреквенције.
3. Користите формулу.
Перцентили се често користе у академским и здравственим проценама. На пример, висина детета на 80. перцентилу значи да је дете више од 80% деце његовог или њеног узраста.
-
5. Важни савети и уобичајене грешке
1. Подаци морају бити сортирани (посебно за појединачне податке). Без сортирања, квартили/децили/перцентили су бесмислени.
2. Обавезно користите ивице класа на груписаним подацима (не границе класа) ако користите континуиране концепте.
3. Кумулативна фреквенција мора бити тачна, јер се квартилна/децилна/перцентилна класа одређује из акумулиране фреквенције.
4. Обратите пажњу на дужину часа (c). Дужина часа не сме бити погрешна, јер утиче на резултате прорачуна.
5. Интерполација је важна када позиције нису заокружене. Многи студенти одмах заокружују позиције, иако то може смањити тачност.
-
6. Пенутуп
Квартили, децили и перцентили су важни статистички алати за разумевање дистрибуције података. Квартили су погодни за једноставне резимее (нпр. у бокс дијаграму), децили су корисни за детаљнија груписања као што је анализа прихода, док перцентили помажу у процени положаја веома специфичне особе унутар популације. Разумевањем основних корака – уређивања података, одређивања положаја и коришћења одговарајућих формула за појединачне или груписане податке – можете израчунати квартиле, дециле и перцентиле са већом тачношћу и поуздањем.
Ако желите, могу додати комплетан пример груписане табеле података (интервал, фреквенција, кумулативна фреквенција), а затим детаљно израчунати Q1, D7 и P85 како би било лакше за вежбање.
