Технике за одређивање просечног одступања у статистичким подацима
У статистици, само разумевање „центра“ података – на пример, кроз средњу вредност или медијану – често није довољно. Два скупа података могу имати исти просек, али се значајно разликовати у нивоима „варијације“. Стога су мере дисперзије важне. Једна мера дисперзије коју је релативно лако разумети и користити је средње одступање. Овај чланак разматра технике за одређивање средњег одступања у различитим облицима статистичких података, заједно са корацима израчунавања и примерима.
Разумевање просечног одступања
Средње одступање је мера која показује просечну удаљеност сваке тачке података од мере централне тенденције, обично аритметичка средина (средња вредност) или медијана. Дотична удаљеност је апсолутна вредност разлике између података и централне вредности, тако да ниједна негативна разлика не „поништава“ позитивну разлику.
Генерално, средње одступање описује колико су подаци распоређени од своје централне вредности. Што је средње одступање мање, то су подаци гушће груписани око центра; што је вредност већа, то су подаци променљивији.
Зашто користити апсолутну вредност?
Ако израчунамо просек разлика између података и средње вредности без апсолутне вредности, збир разлика ће увек бити нула (јер је средња вредност тачка равнотеже). На пример, ако постоје разлике од +5 и -5, оне се сабирају до 0. Стога се користе апсолутне вредности како би одступања заиста одражавала удаљеност података од центра.
Формула за средње одступање за појединачне податке
За појединачне податке (негруписане), просечно одступање од средње вредности се формулише:
\[
SR = ∫|x_i – ∫{x}|}{n}
\]
Информације:
– \( SR \): просечно одступање
– \( x_i \): i-ти податак
– \( \bar{x} \): аритметичка средина (средња вредност)
– \( n \): количина података
Техника израчунавања појединачних података (кораци)
1. Израчунајте средњу вредност \( \bar{x} \) свих података.
2. Израчунајте разлику између сваког податка и средње вредности: \( x_i – \bar{x} \).
3. Израчунајте апсолутну вредност сваке разлике: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Саберите све апсолутне вредности разлика.
5. Поделити са бројем података \( n \).
Пример једног податка
Вредност података: 6, 8, 10, 12, 14
1) Средња вредност:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Апсолутна вредност разлике:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Укупно = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Просечно одступање:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
То значи да у просеку свака вредност одступа за 2,4 јединице од средње вредности (10).
Средње одступање за честе (дискретне) податке
Ако су подаци представљени у облику вредности и фреквенција (нпр. табела), формула постаје:
\[
SR = ∫sum f_i |x_i – x|−∫sum f_i
\]
Информације:
– \( f_i \): фреквенција података \( x_i \)
Технике израчунавања фреквентних података
1. Израчунајте средњу вредност: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. Израчунај \( |x_i-\bar{x}| \)
3. Помножите са фреквенцијом: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. Саберите све резултате из корака 3
5. Поделите са укупном фреквенцијом
Примери дискретних података
| Вредност (x) | Фреквенција (f) |
|—|—|
|. | 5 | 2 |
|. | 7 | 3 |
|. | 9 | 1 |
Укупна фреквенција: \(2+3+1=6\)
Значити:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Израчунајте одступање:
– За x=5: |5−6,67|=1,67 → пута f=2 → 3,34
– За x=7: |7−6,67|=0,33 → пута f=3 → 0,99
– За x=9: |9−6,67|=2,33 → пута f=1 → 2,33
Укупно: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Просечно одступање:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Средње одступање за груписане податке (интервал класе)
У груписаним подацима (на пример, расподеле интервалних фреквенција), вредности података се не приказују појединачно, већ у класама. У ту сврху, средња тачка класе (xi) се користи за представљање података унутар класе.
Формула:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Међутим, \(x_i\) је средња тачка класе.
Технике израчунавања групних података
1. Одредите средњу тачку сваке класе:
\[
x_i=\frac{\text{доња граница + горња граница}}{2}
\]
2. Израчунајте средњу вредност групе:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. Израчунај \( |x_i-\bar{x}| \)
4. Помножите са фреквенцијом \( f_i \)
5. Саберите све резултате, а затим поделите са укупном фреквенцијом.
Пример групних података
| Класа | ф |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
Средња тачка:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Укупно f = 10
Значити:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Одступање:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Укупно = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Просечно одступање:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Средње одступање од медијане
Поред средње вредности, просечно одступање се такође може израчунати из медијане. Принцип је исти, само је централна вредност другачија. Ово је корисно када подаци садрже аномалије јер је медијана отпорнија на екстремне вредности.
За појединачне податке:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
За податке о фреквенцији:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
Предности и ограничења средњег одступања
Предности:
1. Лако за разумевање јер користи „просечну удаљеност“ од центра података.
2. Користите све податке (не само одређене податке).
3. Може се израчунати за различите облике презентације података.
Ограничења:
1. Мање популаран од стандардне девијације у напредној статистичкој анализи.
2. Употреба апсолутних вредности чини је мање погодном за неке алгебарске манипулације.
3. Није тако јако као стандардна девијација у многим инференцијалним методама.
Пенутуп
Техника за одређивање средњег одступања у статистичким подацима у суштини прати доследан образац: одредити централну вредност (средњу вредност или медијану), израчунати апсолутну удаљеност сваке тачке података (или средње тачке класе) од центра, а затим их усредњати — узимајући у обзир фреквенцију ако су подаци представљени у табели. Средње одступање је погодна мера дисперзије за интуитивно описивање варијабилности података. Разумевањем корака, можете упоредити варијације између скупова података и потпуније проценити стабилност скупа података.
Ако желите, могу вам помоћи да направите верзију овог чланка у формату школског задатка (са уводом–дискусијом–закључком) или да додате вежбе уз дискусију.
