Јединични вектори – проблеми и решења

1. Објекат се креће брзином v = (2i − 1.5j) m/s. Колико је померање објекта после 4 секунде?

Познато:

Хоризонтална компонента брзине (v _x ) = 2 m/s

Вертикална компонента брзине (v _y ) = 1.5 m/s

Временски интервал (t) = 4 секунди

Тражи се: Расељавање

Решење:

Резултанта брзине (v):

Јединични вектори – проблеми и решења 1

Премештај:

s = vt = (2.5 м/с)(4 с)

s = 10 метара

2. Вектор F1 = ₁₄ N и F2 ₌ 10 N. Одредити резултујући вектор ако је наведено у R = i + j.

Јединични вектори – проблеми и решења 2

Решење:

Јединични вектори – проблеми и решења 3 Компоненте вектора:

F1x = (F1 ₎ (cos60o ^{) = (14)(0.5) = -7 N}₍ Негативно јер ова компонента вектора показује дуж негативне x осе (лево))

F1y = (F1 ₎₍ sin 60 ^o ) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (Позитивно јер ова компонента вектора показује дуж позитивне y осе (десно))

F²x = ₁₀ N

F _2y = 0

Компоненте резултујућих вектора:

Fx ₌ F1x + _F2x + _{F3x = -7 +}₁₀ = 3N

Ф _и = Ф _1и + Ф _2и + Ф _3и = 7√3 + 0 = 7√3 Н

Резултујући вектор у јединичном вектору:

R = 3 i + 7√3 j

Шта је јединични вектор? одговорЈединични вектор је вектор магнитуде 1. Он обично представља смер без преношења било каквих информација о величини.
Зашто су јединични вектори важни у векторској математици и физици? одговорЈединични вектори су неопходни јер пружају стандардизован начин за описивање праваца. Могу се скалирати за одређену величину да би се добио вектор жељене дужине у одређеном правцу.
Како се добија јединични вектор из датог вектора? одговорЈединични вектор у правцу датог вектора може се добити дељењем вектора његовом величином.
Који су стандардни јединични вектори у картезијанским координатама и који су њихови правци? одговорСтандардни јединични вектори у картезијанским координатама су i, j, i k. i тачке у правцу x-осе, j тачке у правцу y-осе, и k тачке у правцу z-осе.
Може ли јединични вектор имати компоненте које нису 1 или -1? одговорДа. Компоненте јединичног вектора зависе од његовог правца. Само су јединични вектори поравнати са координатним осама (као i, j, k у картезијанским координатама) ће имати компоненте од 1, -1 или 0.
Да ли је збир два јединична вектора нужно јединични вектор? одговорНе. Збир два јединична вектора генерално није јединични вектор осим ако два вектора нису колинеарни и супротно усмерени.
Може ли се јединични вектор скалирати тако да представља вектор различите величине, али истог смера? одговорДа. Множење јединичног вектора скаларом ће променити његову величину, а смер ће остати исти.
Колика је величина векторског производа два јединична вектора? одговорВеличина векторског производа два јединична вектора једнака је синусу угла између њих. Максимална вредност је 1 када су вектори нормални, а минимална је 0 када су вектори паралелни.
Зашто скаларни производ два јединична вектора даје косинус угла између њих? одговорФормула за скаларни производ два вектора дата је производом њихових величина и косинуса угла између њих. Када су оба вектора јединични вектори, њихове величине су 1, па се скаларни производ поједностављује на косинус угла.
Како се концепт јединичног вектора проширује на некартезијанске координатне системе? Одговор : У некартезијанским координатним системима, као што су сферне или цилиндричне координате, постоје различити јединични вектори који одговарају сваком координатном правцу. На пример, у сферним координатама, јединични вектори су r (радијални правац), θ (правац поларног угла) и φ (азимутални правац).