Momenti këndor

Momenti këndor

Sasia e lëvizjes rrotulluese, e cila është identike me masën (m) në lëvizjen lineare, është Momenti i inercisë (I). Sasia e lëvizjes rrotulluese, e cila është identike me shpejtësinë (v) në lëvizjen lineare, është shpejtësia këndore (ω). Kështu, objekti që rrotullohet ka një moment këndor që mund të llogaritet duke përdorur ekuacionin:

L = I ω

L = momenti këndor (kg m²/s), I = momenti i inercisë (kg m²), ω = shpejtësia këndore (rad/s)

Probleme shembullore të momentit këndor

Problemi shembull 1.

Një grimcë me një masë prej 0.5 gramësh lëviz në një rreth me një shpejtësi këndore konstante prej 2 rad/s. Përcaktoni momentin këndor të grimcës nëse rrezja e trajektores së grimcës është 10 cm.

Zgjidhja:

Momenti i inercisë së grimcës:

Unë = Z.² = (0.5 x 10^-3 kg)(1 x 10^-1 m)² = (0.5 x 10^-3 kg)(1 x 10^-2 m²) = 0.5 x 10^-5 kg m²

Shpejtësia këndore e grimcës:

ω = 2 rad/s

Momenti këndor i grimcës:

L = (0.5 x 10^-5 kg m²)(2 rad/s) = 1 x 10^-5 kg m²/s

Ligji i ruajtjes së momentit këndor

Ligji i ruajtjes së momentit këndor thotë se nëse momenti rezultues i forcës në një trup të ngurtë kur rrotullohet është zero, atëherë momenti këndor i trupit të ngurtë kur rrotullohet është gjithmonë konstant. Ligji i ruajtjes së momentit këndor mund të nxirret matematikisht duke modifikuar ekuacionin e ligjit të dytë të Njutonit për momentin këndor. Ja ekuacioni i njutonLigji i dytë mbi impulsin këndor:

Nëse momenti rezultues i forcës është zero, atëherë ekuacioni i mësipërm ndryshon në:

I_t = momenti i fundit i inercisë, I_o = momenti fillestar i inercisë, ω_t = shpejtësia këndore përfundimtare, ω_o = shpejtësia këndore fillestare, L_t = momenti këndor përfundimtar, L_o = momenti këndor fillestar.

Probleme shembullore të ligjit të ruajtjes së momentit këndor

Problemi shembull 1.

Një disk cilindrik i ngurtë homogjen fillimisht rrotullohet rreth boshtit të tij me një shpejtësi prej 4 rad/s. Masa dhe rrezja e diskut janë 1 kg dhe 0.5 m. Nëse sipër pllakës vendoset një unazë që ka një masë dhe një rreze prej 0.2 kg dhe 0.1 m dhe qendra e unazës,

pak mbi qendrën e diskut, atëherë disku dhe unaza do të rrotullohen së bashku me shpejtësinë këndore prej ...

Zgjidhja:

Momenti i inercisë së cilindrit të ngurtë: I = 1⁄2 mr² = 1⁄2 (1 kg)(0.5 m)² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg m²

Momenti i inercisë së unazës: I = mr² = (0.2 kg)(0.1 m)² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg m²

Momenti këndor fillestar (L₁) = Momenti këndor përfundimtar (L₂)

I₁ ω₁ = I₂ ω₂

(0.125 kg m²)(4 rad/s) = (0.125 kg m² + 0.002 kg m²)(ω₂)

(0.5) = (0.127)(ω₂)

ω₂ = 0.5 : 0.127

ω₂ = 4 rad / s

Pyetje dhe përgjigje konceptuale

1. Çfarë është momenti këndor?
   Përgjigje: Impulsi këndor është një masë e sasisë së rrotullimit që ka një objekt, duke marrë parasysh masën dhe formën e tij. Është analogu rrotullues i impulsit linear.
2. Si përcaktohet matematikisht momenti këndor?
   Përgjigje: Momenti këndor (L) përcaktohet si $L=r\times p$, Ku $r$ është vektori i pozicionit nga boshti i rrotullimit deri në pikën e aplikimit, dhe $p$ është impulsi linear.
3. A është momenti këndor një madhësi skalare apo vektoriale?
   Përgjigje: Impulsi këndor është një madhësi vektoriale.
4. Cila është njësia e momentit këndor në sistemin SI?
   Përgjigje: Njësia e momentit këndor në sistemin SI është kilogram-metër në katror për sekondë (kg·m²/ s).
5. Si ruhet momenti këndor?
   Përgjigje: Në një sistem të mbyllur pa çift rrotullues të jashtëm, impulsi këndor total mbetet konstant.
6. Cili është parimi i ruajtjes së momentit këndor?
   Përgjigje: Parimi pohon se momenti këndor total i një sistemi të mbyllur mbetet konstant nëse nuk veprohet nga një çift rrotullues i jashtëm.
7. Si lidhet rrotullimi i një patinatori artistik me momentumin këndor?
   Përgjigje: Kur një patinator artistik i tërheq krahët dhe këmbët pranë trupit gjatë një rrotullimi, ai ul momentin e inercisë, duke bërë që të rrotullohet më shpejt. Kjo tregon ruajtjen e momentit këndor.
8. Cila është lidhja midis momentit rrotullues dhe momentit këndor?
   Përgjigje: Çift rrotullues ($\tau$) është shkalla e ndryshimit të momentit këndor. Matematikisht, τ=dL/sekâ € <.
9. A është e mundur që një objekt të ketë moment këndor pa shpejtësi këndore?
   Përgjigje: Jo, nëse një objekt ka moment këndor, ai ka edhe shpejtësi këndore. Madhësia dhe drejtimi i momentit këndor varen si nga momenti i inercisë ashtu edhe nga shpejtësia këndore.
10. Si ndikon momenti i inercisë në impulsin këndor?
    Përgjigje: Momenti këndor (L) është produkt i momentit të inercisë (I) dhe shpejtësisë këndore (ω). SHBA $L=I\omega$, një rritje në momentin e inercisë për një shpejtësi këndore të caktuar do të rrisë impulsin këndor.
11. Cili është ndryshimi midis spinit dhe momentit këndor orbital në mekanikën kuantike?
    Përgjigje: Momenti këndor i spinit është një veti e brendshme e grimcave, si elektronet, dhe nuk lind nga lëvizja në hapësirë. Momenti këndor orbital, nga ana tjetër, lind nga lëvizja e një grimce rreth një pike qendrore.
12. Çfarë roli luan momenti këndor në formimin e sistemeve planetare?
    Përgjigje: Ndërsa një re molekulare shembet për të formuar yje dhe planetë, ruajtja e momentit këndor bën që materiali të rrafshohet në një disk rreth yllit të porsalindur, nga i cili mund të formohen planetë.
13. Si e ruan një xhiroskop orientimin e tij në hapësirë?
    Përgjigje: Një xhiroskop rrotullues ka moment këndor. Kur një moment rrotullues i jashtëm përpiqet të ndryshojë orientimin e tij, xhiroskopi përparon, ose ndryshon boshtin e tij të rrotullimit, në një drejtim pingul me momentin rrotullues të aplikuar për shkak të ruajtjes së momentit këndor.
14. Çfarë e shkakton precesionin në një tjerrëse?
    Përgjigje: Precesioni në një majë rrotulluese shkaktohet nga momenti rrotullues për shkak të gravitetit që vepron mbi qendrën e masës së majës, e cila është e zhvendosur nga pika e saj e rrotullimit. Ky moment rrotullues rezulton në një ndryshim në drejtimin e momentit këndor të majës, duke shkaktuar precesionin e saj.
15. Pse yjet rrafshohen në polet e tyre?
    Përgjigje: Ndërsa yjet rrotullohen, ato përjetojnë një forcë centrifugale që e shtyn materien jashtë. Ky efekt është më i fortë në ekuator sesa në pole, duke çuar në një formë të shtypur ose të rrafshuar.
16. Si lidhet impulsi këndor me ligjin e dytë të Keplerit?
    Përgjigje: Ligji i dytë i Keplerit thotë se një segment vije që bashkon një planet dhe Diellin përshkon sipërfaqe të barabarta gjatë intervaleve të barabarta kohore. Kjo është pasojë e ruajtjes së momentit këndor.
17. Pse një mace gjithmonë bie në këmbë kur bie?
    Përgjigje: Macet përdorin parimin e ruajtjes së momentit këndor. Duke i përdredhur trupat e tyre dhe duke ndryshuar momentet e inercisë në ajër, ato mund të riorientohen për t'u ulur në këmbë pa shkelur ligjet e ruajtjes.
18. Si lidhet momenti magnetik me momentin këndor te elektronet?
    Përgjigje: Momenti magnetik i një elektroni rrjedh nga spini i tij dhe impulsi këndor orbital. Momenti magnetik është proporcional me impulsin këndor të elektronit.
19. Çfarë është momenti këndor në terma të koordinatave polare?
    Përgjigje: Në koordinatat polare, momenti këndor $L$ për një masë pikësore mund të shprehet si $L=mrv$, Ku $m$ është masa, $r$ është distanca radiale, dhe $v$ është shpejtësia tangjenciale.
20. Çfarë ndodh me momentumin këndor të një sistemi të mbyllur kur dy objekte përplasen?
    Përgjigje: Në një sistem të mbyllur ku dy objekte përplasen, impulsi këndor total para përplasjes është i barabartë me impulsin këndor total pas përplasjes, duke supozuar se nuk veprojnë çifte rrotulluese të jashtme në sistem.

Problemet dhe zgjidhjet

1. Problemi: Një masë pikësore m = 2 kg lëviz me një shpejtësi v = 3 m/s në një rreth me rreze r = 4 m. Llogaritni momentin këndor të tij rreth qendrës së rrethit.

Zgjidhja: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m²/s

2. Problemi: Një sferë e ngurtë me masë 3 kg dhe rreze 0.5 m rrotullohet rreth diametrit të saj me një shpejtësi këndore ω = 2 rad/s. Cili është momenti këndor i saj?

Zgjidhja: Për një sferë të ngurtë, I=2/5 â € <m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5)²×2=0.6 kg.m²/s

3. Problemi: Një masë pikësore prej 3 kg lëviz me një shpejtësi prej 4 m/s në një vijë të drejtë. Cili është momenti këndor i saj rreth një pike 5 m larg vijës së saj të lëvizjes?

Zgjidhja:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m²/s

4. Problemi: Një disk me masë 5 kg dhe rreze 3 m rrotullohet me një shpejtësi këndore prej 2 rad/s. Llogaritni momentin këndor të tij.

Zgjidhja: Për një disk, I=1/2â € <m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3²×2=45 kg.m²/s

5. Problemi: Një shufër me gjatësi 4 m dhe masë 2 kg rrotullohet rreth njërit skaj me një shpejtësi këndore prej 3 rad/s. Gjeni momentin këndor të saj.

Zgjidhja: Për një shufër rreth njërës anë, I=1/3â € < m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4²×3=96 kg.m²/s

6. Problemi: Cili është ndryshimi në momentin këndor nëse një trup që rrotullohet dyfishon shpejtësinë e tij këndore?

Zgjidhja: Marrëdhënia midis momentit këndor (L) dhe shpejtësisë këndore (ω) është $L=I\times \omega$Nëse ω dyfishohet, edhe impulsi këndor do të dyfishohet.

7. Problemi: Nëse rrezja e një trajektore rrethore të një grimce në lëvizje dyfishohet duke e mbajtur shpejtësinë konstante, me çfarë faktori ndryshon impulsi këndor?

Zgjidhja: Impulsi këndor, $L=m\times r\times v$Nëse r dyfishohet, edhe L do të dyfishohet.

8. Problemi: Një fëmijë me masë 30 kg qëndron në buzë të një karuseli që është në qetësi. Rrezja e karuselit është 2 m. Nëse fëmija fillon të vrapojë me një shpejtësi prej 2m/s në lidhje me tokën përgjatë skajit, gjeni momentin këndor të fëmijës në lidhje me qendrën.

Zgjidhja: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m²/s

9. Problemi: Një cilindër me masë 6 kg dhe rreze 2 m rrotullohet rreth boshtit të tij qendror me një shpejtësi këndore prej 5 rad/s. Llogaritni momentin këndor të tij.

Zgjidhja: Për një cilindër, I=1/2 â € <m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2²×5=120 kg.m²/s

10. Problemi: Cili do të jetë impulsi i ri këndor i një trupi nëse momenti i inercisë së tij përgjysmohet dhe shpejtësia këndore e tij trefishohet?

Zgjidhja: Dhënë $L=I\times \omega$, Në qoftë se $I$ është përgjysmuar dhe $\omega$ është trefishuar, e reja $L$ do të jetë 1/2×3=1.5× origjinale.

11. Problemi: Një rreth me masë 2kg dhe rreze 1m rrotullohet me një shpejtësi këndore prej 4 rad/s. Llogaritni momentin këndor të tij.

Zgjidhja: Për një rreth, I=m r²

$L=I\times \omega$

L=2×1²×4=8 kg.m²/s

12. Problemi: Një ventilator ka fletë me gjatësi 0.5 m dhe masë totale 1 kg. Nëse rrotullohet me një shpejtësi këndore prej 10 rad/s, përcaktoni momentumin këndor të tij.

Zgjidhja: Duke supozuar se fletët e ventilatorit janë si shufra që rrotullohen rreth njërit skaj, I= 1 / 3 â € <ml²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5²×10=0.833 kg.m²/s

13. Problemi: Llogaritni momentin këndor të Tokës rreth boshtit të saj për shkak të rrotullimit të saj. Jepet: Masa e Tokës =5.972×10²⁴ kg, Rrezja $r=6371\text{km}$, ω=7.27×10^-5rad / s.

Zgjidhja: Duke supozuar Tokën si një sferë të ngurtë, I=2/5 â € <mr²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10²⁴×(6371×10³)²7.27 × 10^-5

L≈7.07×10³³kg.m²/s

14. Problemi: Një fëmijë lëviz drejt qendrës së një platforme rrotulluese. A rritet, ulet apo mbetet i njëjtë impulsi këndor?

Zgjidhja: Impulsi këndor ruhet. Ndërsa fëmija lëviz drejt qendrës, momenti i inercisë zvogëlohet. Për të ruajtur impulsin këndor, shpejtësia këndore rritet. Kështu, impulsi këndor mbetet i njëjtë.

15. Problemi: Nëse energjia kinetike e një trupi që rrotullohet dyfishohet, me çfarë faktori ndryshon impulsi këndor i tij?

Zgjidhja: Energjia kinetike K= 1 / 2 â € <Iω² dhe impulsi këndor $L=I\omega$Nëse energjia kinetike dyfishohet dhe $I$ mbetet konstante, ω² dyfishohet. Kjo nënkupton që $\omega$ rritet me një faktor prej √2â € <. Kështu, $L$ rritet gjithashtu me një faktor prej √2â € <.

16. Problemi: Një rrotë biçiklete me rreze 0.3 m ka një buzë me masë 1.5 kg. Nëse rrotullohet me një shpejtësi këndore prej 5 rad/s, gjeni momentumin këndor të saj.

Zgjidhja: Duke supozuar buzën si një rreth, I=mr²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m²/s

L=1.5×0.32×5=6.75kg.m²/s

17. Problemi: Një patinatore në akull i tërheq krahët nga brenda ndërsa rrotullohet. Çfarë i ndodh momentit këndor të saj?

Zgjidhja: Momenti këndor i patinatores ruhet. Duke tërhequr krahët brenda, ajo zvogëlon momentin e inercisë dhe kështu rrotullohet më shpejt (shpejtësi këndore e rritur) për të ruajtur momentumin këndor.

18. Problemi: Një volant ka një moment inercie prej 0.2 kg.m²kg.m² dhe rrotullohet me një shpejtësi këndore prej 10 rad/s. Gjeni momentin këndor të tij.

Zgjidhja:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m²/s

L=0.2×10=2 kg.m²/s

19. Problemi: Një sistem ka një çift rrotullues të jashtëm neto zero që vepron mbi të. Çfarë mund të thoni për momentin këndor të tij?

Zgjidhja: Nëse momenti rrotullues neto i jashtëm është zero, atëherë sipas ruajtjes së momentit këndor, momenti këndor total i sistemit mbetet konstant.

20. Problemi: Një masë pikësore m = 5 kg lëviz me një shpejtësi v = 3 m/s pingule me vijën që e lidh atë me një pikë P. Nëse distanca nga pika P është 4 m, gjeni momentumin këndor të saj rreth pikës P.

Zgjidhja:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m²/s

L=5×4×3=60kg.m²/s